Vocês já resolveram os problemas da Mega-Sena, das placas e dos fragmentos de DNA?
Então, confiram as respostas!
Fragmentos de DNA
Problema:
Quantos fragmentos diferentes de DNA podem ser sintetizados com dez pares de bases nitrogenadas de modo que um par A – T não esteja junto a um par T – A ou a outro par A – T, e que um par G – C não esteja junto a um par C – G ou a outro par G – C?
Solução:
Observe que:
há 4 possibilidades para o primeiro par de bases;
para o próximo, haverá 2 possibilidades;
escolhido este segundo par, haverá 2 possibilidades para o próximo, e assim por diante.
A quantidade total de possibilidades será, portanto, [tex]4\cdot2^9=2^{11}=2048[/tex].
Mural histórico
Problema (a):
Quantas placas de automóveis podem ser feitas com 6 dígitos?
Solução:
Há 10 possibilidades para cada dígito (algarismo).
Portanto, há [tex]10^6=1 000 000[/tex] possibilidades de placas.
Problema (b):
Quantas placas de automóveis podem ser feitas com 2 letras e 4 dígitos?
Solução:
Há 10 possibilidades para cada dígito (algarismo).
Para cada letra, há 26 possibilidades.
Portanto, há [tex]26^2\cdot 10^4=6 760 000 [/tex] possibilidades de placas.
Problema (c):
Quantas placas de automóveis podem ser feitas com 3 letras e 4 dígitos?
Solução:
Há 10 possibilidades para cada dígito (algarismo).
Para cada letra, há 26 possibilidades.
Portanto, há [tex] 26^3\cdot 10^4=175 760 000 [/tex] possibilidades de placas.
Problema (d):
Por que acrescentar uma letra e não um dígito?
Solução:
Há 10 possibilidades de dígitos e 26 possibilidades de letras.
Ao acrescentar uma letra, o número anterior de possibilidades fica multiplicado por 26: bem maior do que se fosse multiplicado por 10.
Para pensar:
Refaçam as contas, considerando que no Brasil não há placas com todos os dígitos iguais a 0.
Azar
Problema:
Quantas são as possíveis apostas para a Mega-Sena?
Solução:
Conforme sabemos, há 60 dezenas, das quais são escolhidas 6. Para a primeira escolha, temos 60 possibilidades. Escolhida a primeira dezena, restam 59 possibilidades de escolha para a segunda. Escolhida a segunda, temos 58 possibilidades para a terceira escolha.
Seguindo esta linha de pensamento e utilizando o Princípio Multiplicativo, encontramos 60x59x58x57x56x55=36 045 979 200 possibilidades de apostas! Será?
Vamos tomar um exemplo. Imagine que você escolha as dezenas 1, 10, 20, 30, 40 e 50, nesta ordem. É uma possibilidade, certo? Agora, de acordo com o cálculo que fizemos, escolhas como 10, 20, 40, 50, 30 e 1 ou 30, 40, 50, 20, 1 e 10 foram consideradas como outras possibilidades distintas, embora não seja assim! Na realidade, dada uma possibilidade de aposta, todas as suas permutações foram consideradas, erroneamente, distintas. Mas quantas são as permutações de seis números? Nós sabemos calcular: são 6!=720 permutações.
Assim, cada aposta foi contada 720 vezes; portanto para que a quantidade fique correta, basta dividirmos o resultado encontrado por 720, o que resulta em: 50 063 860 possibilidades de aposta para a Mega-Sena.
– Francimar de Brito Vieira – Noemi Zeraick Monteiro – Sonia Regina Di Giacomo
◆ Equipe COM – OBMEP
Mas e agora?
Nosso estudo sobre o Princípio Multiplicativo acabou?
Tudo que estudamos deve ser, sempre, aprofundado e aprimorado. Você continuará encontrando o PFC em livros, provas e em muitos outros lugares, inclusive aqui no Blog. Na Videoteca e na Sala de Leitura – Pequenos Textos, por exemplo, você pode encontrar outros materiais que utilizam ou falam sobre o PFC. Isso sem contar a Sala de Problemas, é claro.
Visite a última Sala e verifique uma importante conexão com o assunto tratado.
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