Sala de Estudo: Operando com algarismos romanos

Operando com algarismos romanos


Um probleminha para iniciar

Efetue:

  • [tex]CCXIX + XLVII[/tex]
  • [tex]DXXVI – CXIV[/tex]
  • [tex]CLXII \times XXXI[/tex]
  • [tex]XXXIX \div VIII[/tex]

Se vocês fossem resolver o probleminha proposto, provavelmente em cada item converteriam os dois valores para o nosso sistema usual de numeração (sistema decimal posicional), efetuariam as continhas e converteriam o resultado para algarismos romanos:

[tex]CCXIX + XLVII ~ \textcolor{#8B5A2B}{~\xmapsto [\text {sistema e fazer a conta}] {\text {converter para o nosso }}} ~ 219+47=266 ~ \textcolor{#8B5A2B}{\xmapsto [\text {para algarismos romanos}] {\text {converter o resultado }}} ~CCLXVI [/tex]

[tex]DXXVI – CXIV ~ \textcolor{#8B5A2B}{~\xmapsto [\text {sistema e fazer a conta}] {\text {converter para o nosso }}} ~ 526-114=412 ~ \textcolor{#8B5A2B}{\xmapsto [\text {para algarismos romanos}] {\text {converter o resultado }}} ~CDXII[/tex]

[tex]CLXII \times XXXI ~ \textcolor{#8B5A2B}{~\xmapsto [\text {sistema e fazer a conta}] {\text {converter para o nosso}}} ~ 162 \times 31=5.022 ~ \textcolor{#8B5A2B}{\xmapsto [\text {para algarismos romanos}] {\text {converter o resultado }}} ~\overline{V}XXII [/tex]

[tex]XXXIX \div VIII ~ \textcolor{#8B5A2B}{~\xmapsto [\text {sistema e fazer a conta}] {\text {converter para o nosso}}} ~ 39\div 8=4,\text{ resto 7} ~ \textcolor{#8B5A2B}{\xmapsto [\text {para algarismos romanos}] {\text {converter o resultado }}} ~IV\text{ resto VII}[/tex]

Esse é um procedimento simples para quem sabe fazer as duas conversões e sabe também somar números decimais no sistema usual de numeração.

Mas e se fossemos romanos vivendo há cerca de dois mil anos?

Certamente os romanos antigos não poderiam fazer esse procedimento, já que eles não conheciam o nosso sistema atual de numeração (sistema decimal posicional). Eles precisariam de outra maneira para manipular diretamente os símbolos romanos e conseguir efetuar essas operações!
Esta atividade de estudo que estamos propondo tem como objetivo apresentar processos que permitam executar as quatro operações aritméticas básicas: adição, subtração, multiplicação e divisão, manipulando diretamente os símbolos romanos, sem antes convertê-los para a representação decimal com a qual estamos habituados a trabalhar.




Relembrando

Vamos dar uma espiadinha nas regras que permitem escrevermos números
naturais não nulos utilizando o sistema de numeração romano?

Regras para escrevermos numerais romanos

1. O sistema romano de numeração utiliza os seguintes símbolos:

2. Os símbolos [tex] I~,~X~,~C~,~M[/tex] podem ser repetidos, seguidamente, até três vezes:

[tex]\qquad \qquad \quad III= 3\qquad \qquad XXX = 30 \qquad \qquad CCC = 300 \qquad \qquad MMM = 3.000.[/tex]

3. Os símbolos [tex] ~~V~, ~L ~, ~D~~[/tex] não podem ser repetidos.

4. Quando um símbolo é colocado à direita de outro de valor igual ou maior, somamos os dois valores. (Na notação aditiva, símbolos a serem somados podem ser repetidos.)

[tex] \qquad \qquad \quad LX = 50+10=60\qquad \qquad [/tex] [tex] CLXXXVII = 100+50+10+10+10+5+1+1=187~[/tex].

5. Um símbolo colocado à esquerda de outro de maior valor tem seu valor subtraído do maior valor. (Na notação subtrativa, não se repetem os símbolos a serem subtraídos.)

[tex] \qquad \qquad \quad XL = 50-10=40\qquad \qquad [/tex] [tex] \bcancel{XXXL}\qquad \bcancel{IIV}~[/tex].

6. Os símbolos [tex] ~~V~, ~L ~, ~D~~ [/tex] não podem ser utilizados para subtrair.

7. O [tex] I[/tex] apenas se antepõe a [tex] V[/tex] e a [tex] X[/tex]:

[tex] \qquad \qquad \quad IV = 4\qquad \qquad [/tex] [tex] IX = 9~[/tex].

8. O [tex] X[/tex] apenas se antepõe a [tex] L[/tex] e a [tex] C[/tex]:

[tex] \qquad \qquad \quad XL = 40\qquad \qquad [/tex] [tex] XC = 90~[/tex].

9. O [tex] C[/tex] apenas se antepõe a [tex] D[/tex] e a [tex] M[/tex]:

[tex] \qquad \qquad CD = 400\qquad \qquad [/tex] [tex] CM = 900~[/tex].

10. Um traço horizontal colocado sobre um símbolo multiplica seu valor por [tex]1.000[/tex]. Essa regra só é utilizada para numeração a partir de [tex]4.000[/tex]. Veja alguns exemplos:

[tex]\quad \begin{array}{l l l l }
\qquad \overline{V}= 5.000 &\qquad \overline{X} = 10.000 &\qquad \overline{XXX} = 30.000 &\qquad \overline{LXXVII}XXVIII = 77.028\\
\qquad \overline{CC}= 200.000\ &\qquad \overline{D} = 500.000 &\qquad \overline{DCLII} = 652.000 &\qquad \overline{M} = 1.000.000
\end{array}~[/tex].

11. Dois traços horizontais colocados sobre um símbolo multiplicam seu valor por [tex]1.000.000[/tex]. Essa regra só é utilizada para numeração a partir de [tex]4.000.000[/tex]. Veja alguns exemplos:

[tex]\qquad \overline{\overline{VII}}= 7.000.000\qquad \overline{\overline{XXX}} = 30.000.000 \qquad \overline{\overline{CC}} = 200.000.000 \qquad \overline{\overline{DCI}} = 601.000.000~.[/tex]

Para outras informações sobre numeração romana, clique AQUI.




Algoritmos para operações com algarismos romanos

A partir deste momento, vamos pensar apenas em termos dos numerais romanos e tentar desenvolver atalhos e esquemas que nos permitam somar, subtrair, multiplicar e dividir números que hoje chamamos de “números naturais não nulos”.

Os algoritmos que iremos apresentar envolverão apenas procedimentos de agrupamento e desagrupamento de símbolos, descompactação e compactação de notações subtrativas, organização de símbolos segundo a ordem de seus valores, eliminação e substituição de símbolos.

Para conhecer cada algoritmo e alguns exemplos,
basta clicar no botão correspondente à respectiva operação.

ADIÇÃO

SUBTRAÇÃO

MULTIPLICAÇÃO

DIVISÃO




Antes de encerrarmos, vale uma observação.
Embora tenhamos tentado nos comportar matematicamente como os antigos romanos, os procedimentos com os quais trabalhamos aqui muito provavelmente não foram utilizados por eles. Os algoritmos foram apresentados com a finalidade de se aprender um pouco mais de Matemática e não como uma reconstituição histórica!



Equipe COM – OBMEP

Referências (Textos, ideias e imagens.):
[1] CRILLY, Tony. 50 ideias de matemática que você precisa conhecer. (Original: 50 maths ideas you really need to know). São Paulo: Planeta, 2017.
[2] Revista do Professor de Matemática 5 – página 46 – Algarismos Romanos – Uma aula diferente – Márcia de Oliveira Rebello e Rosângela Tortora
[3] Roman Arithmetic (Último acesso em 23/02/19)
[4] http://rodcipriano.blogspot.com/2010/04/romanos.html (Último acesso em 23/02/19)
[5] https://br.guiainfantil.com/desenho-de-fantasia-de-romanos-para-colorir/ (Último acesso em 23/02/19)
[6] https://www.smartkids.com.br/colorir/desenho-vestuario-romanos (Último acesso em 23/02/19)
[7] https://principedaliberdade.wordpress.com/2016/08/15/erros-sobre-os-antigos-romanos/ (Último acesso em 23/02/19)

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