Sala de Estudo: Operações com algarismos romanos – DIVISÃO

Algoritmo da divisão

Antes de apresentarmos o algoritmo da divisão para números representados no sistema romano de numeração, precisamos apresentar os processos que irão gerar esse algoritmo. Dados dois números naturais não nulos [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex], dividendo e divisor, precisamos determinar números naturais [tex]q[/tex] e [tex]r[/tex], respectivamente quociente e resto da divisão de [tex]a[/tex] por [tex]b[/tex], tais que:

[tex]a=b\times q+r[/tex], com [tex]0 \leqslant r \lt b[/tex],

lembrando que não existe representação para o zero no sistema romano. Dessa forma, um "resto de zero" será simplesmente "nenhum resto".
Para que vocês entendam direitinho o processo, vamos apresentá-lo utilizando o sistema de numeração com o qual estamos habituados.
Percebam que, essencialmente, podemos executar uma divisão utilizando repetidas subtrações: se contarmos o número de vezes que podemos subtrair o divisor do dividendo, até que o dividendo se torne menor que o divisor, o quociente será o resultado da contagem e o resto será o que sobrou.
Por exemplo, vamos dividir [tex]53[/tex] por [tex]9:[/tex]
\begin{array}{|c|c| c| c|}
\hline
\text{Valor}&\text{Podemos subtrair 9?}& \text{Diferença}&\text{Contagem}\\
\hline
53 & \text{sim} & 53-9=44 & 1\\
\hline
44 & \text{sim} & 44-9=35 & 2\\
\hline
35 & \text{sim} & 35-9=26 & 3\\
\hline
26 & \text{sim} &26-9= 17 & 4\\
\hline
17 & \text{sim} & 17-9=\fcolorbox{black}{#eae2d3}{$8$} & \fcolorbox{black}{#eae2d3}{$5$}\\
\hline
8 & \text{não} & – & – \\
\hline\end{array}

Analisando os dados da tabela, concluímos que o quociente e o resto da divisão de [tex]53[/tex] por [tex]9[/tex] são, respectivamente, [tex]q=5[/tex] e [tex]r=8[/tex]. De fato, [tex]53=9\times 5+8[/tex] e [tex]0 \leqslant 8 \lt 9.[/tex]
Observem que esse processo funcionará em qualquer sistema de numeração, em particular, no romano. No entanto, avaliem o trabalho que teríamos ao dividir [tex]2359[/tex] por [tex]15[/tex], já que teríamos que fazer [tex]157[/tex] subtrações, uma vez que [tex]2359[/tex] dividido por [tex]15[/tex] tem quociente [tex]157[/tex] e deixa resto [tex]4.[/tex]
Mas não se desesperem! Podemos diminuir consideravelmente a quantidade de subtrações a serem efetuadas em uma divisão, multiplicando convenientemente o divisor por potências de dez ([tex]10, \, 100, \, 1000,\cdots[/tex]) e aumentando a nossa contagem de subtrações respectivamente de [tex]10[/tex] em [tex]10[/tex], de [tex]100[/tex] em [tex]100[/tex], de [tex]1000[/tex] em [tex]1000[/tex], etc.
Vejamos, então, a divisão de [tex]2359[/tex] por [tex]15[/tex]:
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Valor}&\text{Queremos subtrair}&\text{Podemos subtrair?}& \text{Diferença}&\text{Contagem}\\
\hline
2359 & 15 \times 100=\boxed{1500} & \text{sim} & 2359-1500=859& 100\\
\hline
859 & 15 \times 100=\boxed{1500} & \text{não} & – & – \\
\hline
859 & 15 \times 10=\boxed{150} & \text{sim} & 859-150=709& 100+10=110\\
\hline
709 & 15 \times 10=\boxed{150} & \text{sim} & 709-150=559& 110+10=120\\
\hline
559 & 15 \times 10=\boxed{150} & \text{sim} & 559-150=409& 120+10=130\\
\hline
409 & 15 \times 10=\boxed{150} & \text{sim} & 409-150=259& 130+10=140\\
\hline
259 & 15 \times 10=\boxed{150} & \text{sim} & 259-150=109 & 140+10=150\\
\hline
109 & 15 \times 10=\boxed{150} & \text{não} & – & – \\
\hline
109 & \boxed{15} & \text{sim} & 109-15=94 & 150+1=151\\
\hline
94 & \boxed{15} & \text{sim} & 94-15=79 & 151+1=152\\
\hline
79 & \boxed{15} & \text{sim} & 79-15=64 & 152+1=153\\
\hline
64 & \boxed{15} & \text{sim} & 64-15=49 & 153+1=154\\
\hline
49 & \boxed{15} & \text{sim} & 49-15=34 & 154+1=155\\
\hline
34 & \boxed{15} & \text{sim} & 34-15=19 & 155+1=156\\
\hline
19 & \boxed{15} & \text{sim} & 19-15=\fcolorbox{black}{#eae2d3}{$4$} & 156+1=\fcolorbox{black}{#eae2d3}{$157$}\\
\hline
4 & \boxed{15} & \text{não} & – & – \\
\hline\end{array}
Os dados da tabela nos mostram que o quociente e o resto da divisão de [tex]2359[/tex] por [tex]15[/tex] são, respectivamente, [tex]q=157[/tex] e [tex]r=4[/tex].
Assim, o nosso algoritmo da divisão envolverá quatro processos matemáticos: multiplicação por potências de dez, comparações entre dois números, subtrações e adições.
Considerando os processos desenvolvidos nas três Salas anteriores, precisaremos de um processo adicional: a partir da representação no sistema romano, determinar se um dado número é maior do que outro. E a comparação entre dois números escritos no sistema romano de numeração não é difícil; basta comparar as quantidades de símbolos que cada número possui:
passando dos símbolos de maior valor para os de menor valor, isto é, da esquerda para direita, ignoramos aqueles que aparecem em igual quantidade nos dois números que estão sendo comparados, até encontrarmos a primeira ocorrência em que há mais símbolos de certo valor em um dos dois números. O que contém mais símbolos é o maior.
Vejam os exemplos:

• [tex]MMCXXXVIII[/tex] é menor do que [tex]MMCCCCXVI[/tex]. Com efeito, há a mesma quantidade de símbolos [tex]M[/tex] nos dois números, mas o segundo contém mais símbolos [tex]C[/tex].
• [tex]MCLVIII[/tex] é maior do que [tex]MCXXXVI[/tex], pois as quantidades de [tex]M[/tex] e [tex]C[/tex] são iguais nos dois números, mas existe um símbolo [tex] L[/tex] no primeiro e não existe esse símbolo no segundo.
• [tex]DXXXVI[/tex] é maior do que [tex]CCCCLVII[/tex] porque existe um símbolo [tex] D[/tex] no primeiro e o segundo não contém esse símbolo.

Pronto, estamos aptos a entender o algoritmo da divisão!

Alguns exemplos

Exemplo 1: [tex]XXXIX \div VIII[/tex]
Etapa 1:

\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
\textcolor{red}{\times} & \quad X\quad & \quad C \\
\hline
VIII & LXXX & DCCC \\
\hline
\end{array}
Observem que [tex]LXXX[/tex] e [tex]DCCC[/tex] são maiores do que [tex]XXXIX[/tex], assim faremos apenas subtrações sucessivas utilizando [tex]VIII.[/tex]

Etapa 2: [tex]XXX\textcolor{#00FF00}{IX} \div VIII\mapsto XXX\textcolor{#00FF00}{VIIII} \div VIII[/tex]
Etapa 3:
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Valor}&\text{Queremos subtrair}&\text{Podemos subtrair?}& \text{Diferença}&\text{Contagem}\\
\hline
XXXVIIII & VIII & XXX\cancel{VIII}I & XXXI & I\\
\hline
XX\textcolor{red}{X}I & VIII & XX\textcolor{red}{\cancel{VIII}II}I & XXIII & II\\
\hline
X\textcolor{blue}{X}III & VIII & X\textcolor{blue}{V}\cancel{\textcolor{blue}{V}III} & XV & III\\
\hline
\textcolor{#FF00FF}{XV} & VIII & \textcolor{#FF00FF}{V\cancel{VIII}II} & \fcolorbox{black}{#eae2d3}{$VII$} & \fcolorbox{black}{#eae2d3}{$IV$}\\
\hline
VII & VIII & \text{Não} & – & -\\
\hline
\end{array}
Etapa 4:

• Quociente da divisão: [tex]IV[/tex]
• Resto da divisão: [tex]VII[/tex]

Exemplo 2: [tex]CXX\div VI[/tex]
Etapa 1:
\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
\textcolor{red}{\times} & \quad X\quad & \quad C \\
\hline
VI & LX & DC \\
\hline
\end{array}
Observem que [tex]DC[/tex] é maior do que [tex]CXX[/tex], assim faremos apenas subtrações sucessivas utilizando [tex]LX[/tex] e [tex]VI[/tex], nessa ordem.

Etapa 2: [tex]CXX\div VI[/tex]
Etapa 3:
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Valor}&\text{Queremos subtrair}&\text{Podemos subtrair?}& \text{Diferença}&\text{Contagem}\\
\hline
\textcolor{red}{C}XX & LX & \textcolor{red}{L}\cancel{\textcolor{red}{L}X}X & LX & X\\
\hline
LX & LX & \cancel{LX} & & XX\\
\hline
\end{array}

Etapa 4:

• Quociente da divisão: [tex]XX[/tex]
• Resto da divisão: Não tem

Exemplo 3: [tex]XCIV\div VII[/tex]
Etapa 1:
\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
\textcolor{red}{\times} & \quad X\quad & \quad C \\
\hline
VII & LXX & DCC \\
\hline
\end{array}
Observem que [tex]DCC[/tex] é maior do que [tex]XCIV[/tex], assim faremos apenas subtrações sucessivas utilizando [tex]LXX[/tex] e [tex]VII[/tex], nessa ordem.

Etapa 2: [tex]\textcolor{#00FF00}{(XC)(VI)} \div VII\mapsto\textcolor{#00FF00}{(LXXXX)(IIII)} \div VII[/tex]
Etapa 3:
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Valor}&\text{Queremos subtrair}&\text{Podemos subtrair?}& \text{Diferença}&\text{Contagem}\\
\hline
LXXXXIIII & LXX & \cancel{LXX}XXIIII & XXIIII & X\\
\hline
XXIIII & LXX & \text{Não} & – & -\\
\hline
X\textcolor{red}{X}IIII & VII & X\textcolor{red}{V}\cancel{\textcolor{red}{V}II}II & XVII & XI\\
\hline
XVII & VII & X\cancel{VII} & X & XII\\
\hline
\textcolor{blue}{X} & VII & \textcolor{blue}{\cancel{VII}III}& \fcolorbox{black}{#eae2d3}{$III$} & \fcolorbox{black}{#eae2d3}{$XIII$} \\
\hline
III & VII & \text{Não} & – & – \\
\hline
\end{array}

Etapa 4:

• Quociente da divisão: [tex]XIII[/tex]
• Resto da divisão: [tex]III[/tex]

Conferindo: Vocês podem verificar se as contas estão corretas, convertendo os valores para a notação regular:

• [tex]\boxed{XXXIX \div VIII}\mapsto \boxed{39\div 8}[/tex]

[tex]\qquad \qquad \begin{array}{r}
39 \, \end{array} \begin{array}{|r}
\, 8 \, \, \, \\ \hline
\end{array}[/tex]
[tex]\qquad \qquad\begin{array}{r}
\, 7
\end{array}\begin{array}{r}
\, \, \, 4
\end{array}[/tex]

• [tex]\boxed{CXX\div VI}\mapsto \boxed{120\div 6}[/tex]

[tex]\qquad \qquad \begin{array}{r}
120 \, \end{array} \begin{array}{|r}
\, 6 \, \, \, \\ \hline
\end{array}[/tex]
[tex]\qquad \qquad\begin{array}{r}
\, \, \, 0
\end{array}\begin{array}{r}
\, \, \, 20
\end{array}[/tex]

• [tex]\boxed{XCIV\div VII}\mapsto \boxed{94\div 7}[/tex]

[tex]\qquad \qquad \begin{array}{r}
94 \, \end{array} \begin{array}{|r}
\, 7 \, \, \, \\ \hline
\end{array}[/tex]
[tex]\qquad \qquad\begin{array}{r}
\, \, 3
\end{array}\begin{array}{r}
\, \, 13
\end{array}[/tex]