Algoritmo da multiplicação
Com o algoritmo da multiplicação que iremos apresentar será possível obter produtos da forma [tex]a\times b[/tex], sendo [tex]a,b[/tex] números naturais. Esse algoritmo se baseia em duas observações:
[tex] \qquad \textcolor{#A0522D}{\bullet}[/tex] O sistema de numeração romano é aditivo.
[tex] \qquad \textcolor{#A0522D}{\bullet}[/tex] Para multiplicarmos duas somas como, por exemplo, [tex] (m + n) \times (t + y + z)[/tex], multiplicamos cada parcela da primeira soma por cada parcela da segunda e, em seguida, adicionamos os resultados:
[tex]\qquad (m + n) \times (t + y + z)=(m \times t)+(m \times y)+(m \times z)+(n \times t)+(n \times y)+(n \times z).[/tex]
Para fazermos o produto entre os símbolos, precisaremos de uma "tabuada". Na tabela abaixo apresentaremos os produtos que serão utilizados nos nossos exemplos. Que tal completá-la como exercício?
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\textcolor{red}{\times} & \quad I \quad & V & \quad X\quad & L & \quad C\quad & D \\
\hline
I & I & V & X & L & C & D \\
\hline
V & V & XXV & L & CCL & D & MMD \\
\hline
X & X & L & C & D & M & \overline{V} \\
\hline
L & L & CCL & D & MMD & \overline{V} \\
\hline
C & C & D & M & \overline{V} & & \\
\hline
D & D & MMD & \overline{V} & & & \\
\hline
\end{array}
O algoritmo
Etapa 1: Descompactar todas as notações subtrativas de cada um dos dois fatores do produto.
- Por exemplo: transformar [tex]IV[/tex] em [tex]IIII[/tex]; transformar [tex]IX[/tex] em [tex]VIIII[/tex]; transformar [tex]XL[/tex] em [tex]XXXX[/tex]; etc.
Etapa 2: Para cada símbolo de um fator, efetuar o produto com todos os símbolos do outro fator. Em seguida, agrupar os resultados obtidos.
- Nesta etapa podemos utilizar um esquema multiplicativo similar ao esquema que utilizamos atualmente nas nossas multiplicações.
Etapa 3: Se necessário, organizar todos os símbolos em ordem, da esquerda para a direita, com os símbolos de maior valor à esquerda.
Etapa 4: Começando pelo lado direito, agrupar símbolos iguais que possam ser substituídos por um único símbolo, de maneira que seja mantida a soma dos valores dos símbolos que serão substituídos, e fazer as respectivas substituições. (Mantenha sempre a ordem estabelecida pela Etapa 3.)
Etapa 5: Sempre que possível, compactar o resultado final da Etapa 4, utilizando as regras subtrativas.
Alguns exemplos
Exemplo 1: [tex]LIV\times XXII[/tex]
Etapa 1: [tex]L\textcolor{#00FF00}{IV} \times XXII \mapsto LIIII\times XXII[/tex]
Etapa 2:
\begin{array}{r}
LIIII\\
\underline{\times \quad XXII}\\
LIIII\\
LIIII\\
DXXXX\\
DXXXX\\
\hline
(DD) \, (LL) \, (XXXXXXXX) \, (IIIIIIII)
\end{array}
Etapa 3: [tex] (DD) \, (LL) \, (XXXXXXXX) \, (IIIIIIII)[/tex]
Etapa 4:
[tex] \quad (DD) \, (LL) \, (XXXXXXXX) \, (\textcolor{red}{IIIII}III) \mapsto (DD) \, (LL) \, (XXXXXXXX) \, \textcolor{red}{V}III[/tex]
[tex] \quad (DD) \, (LL) \, (\textcolor{blue}{XXXXX}XXX)VIII \mapsto (DD) \, (LL\textcolor{blue}{L})XXXVIII[/tex]
[tex] \quad (DD) \, (\textcolor{#FF00FF}{LL}L)XXXVIII \mapsto (DD) \, \textcolor{#FF00FF}{C}LXXXVIII[/tex]
[tex] \quad (\textcolor{#00BFFF}{DD}) \, CLXXXVIII \mapsto \textcolor{#00BFFF}{M} \, CLXXXVIII[/tex]
Etapa 5: [tex] MCLXXXVIII[/tex]
Assim, [tex]\boxed{LIV\times XXII=MCLXXXVIII}[/tex]
Exemplo 2: [tex]CLXII \times XXXI[/tex]
Etapa 1: [tex]CLXII \times XXXI[/tex] (Nada para ser feito.)
Etapa 2:
\begin{array}{r}
CLXII \\
\underline{\times \quad XXXI}\\
CLXII \\
MDCXX\\
MDCXX\\
MDCXX\\
\hline
(MMM)(DDD) \, (CCCC) \, (L) \, (XXXXXXX) \, (II)
\end{array}
Etapa 3: [tex] (MMM)(DDD) \, (CCCC) \, (L) \, (XXXXXXX) \, (II)[/tex]
Etapa 4:
[tex] \quad (MMM)(DDD) \, (CCCC) \, (L) \, ( \, \textcolor{red}{XXXXX}XX)II \mapsto (MMM)(DDD) \, (CCCC) \, (L\textcolor{red}{L}) \, XXII[/tex]
[tex] \quad (MMM)(DDD) \, (CCCC) \, (\textcolor{blue}{LL}) \, XXII \mapsto (MMM)(DDD) \, (CCCC\textcolor{blue}{C}) \, XXII[/tex]
[tex] \quad (MMM)(DDD) \, (\textcolor{#00BFFF}{CCCCC}) \, XXII\mapsto (MMM)(DDD\textcolor{#00BFFF}{D}) \, XXII[/tex]
[tex] \quad (MMM)(\textcolor{#FF7F00}{DDDD}) \, XXII \mapsto (MMM\textcolor{#FF7F00}{MM}) \, XXII[/tex]
Etapa 5: [tex] MMMMMXXII \mapsto \overline{V}XXII [/tex]
Assim, [tex]\boxed{CLXII \times XXXI=\overline{V}XXII}[/tex]
Conferindo: Vocês podem verificar se as contas estão corretas, convertendo os valores para a notação regular:
- [tex]\boxed{LIV\times XXII=MCLXXXVIII}\mapsto \boxed{54 \times 22=1188}[/tex] ✓
- [tex]\boxed{CLXII \times XXXI=\overline{V}XXII}\mapsto \boxed{162\times 31=5022}[/tex] ✓