Operando com algarismos romanos
Um probleminha para iniciar
Efetue:
- CCXIX+XLVII
- DXXVI–CXIV
- CLXII×XXXI
- XXXIX÷VIII
Se vocês fossem resolver o probleminha proposto, provavelmente em cada item converteriam os dois valores para o nosso sistema usual de numeração (sistema decimal posicional), efetuariam as continhas e converteriam o resultado para algarismos romanos:
CCXIX + XLVII \, \textcolor{#8B5A2B}{ \, \xmapsto [\text {sistema e fazer a conta}] {\text {converter para o nosso }}} \, 219+47=266 \, \textcolor{#8B5A2B}{\xmapsto [\text {para algarismos romanos}] {\text {converter o resultado }}} \, CCLXVI
DXXVI – CXIV \, \textcolor{#8B5A2B}{ \, \xmapsto [\text {sistema e fazer a conta}] {\text {converter para o nosso }}} \, 526-114=412 \, \textcolor{#8B5A2B}{\xmapsto [\text {para algarismos romanos}] {\text {converter o resultado }}} \, CDXII
CLXII \times XXXI \, \textcolor{#8B5A2B}{ \, \xmapsto [\text {sistema e fazer a conta}] {\text {converter para o nosso}}} \, 162 \times 31=5.022 \, \textcolor{#8B5A2B}{\xmapsto [\text {para algarismos romanos}] {\text {converter o resultado }}} \, \overline{V}XXII
XXXIX \div VIII \, \textcolor{#8B5A2B}{ \, \xmapsto [\text {sistema e fazer a conta}] {\text {converter para o nosso}}} \, 39\div 8=4,\text{resto 7} \, \textcolor{#8B5A2B}{\xmapsto [\text {para algarismos romanos}] {\text {converter o resultado}}} \, IV\text{resto VII}
Esse é um procedimento simples para quem sabe fazer as duas conversões e sabe também somar números decimais no sistema usual de numeração.
Mas e se fossemos romanos vivendo há cerca de dois mil anos?
Certamente os romanos antigos não poderiam fazer esse procedimento, já que eles não conheciam o nosso sistema atual de numeração (sistema decimal posicional). Eles precisariam de outra maneira para manipular diretamente os símbolos romanos e conseguir efetuar essas operações!
Esta atividade de estudo que estamos propondo tem como objetivo apresentar processos que permitam executar as quatro operações aritméticas básicas: adição, subtração, multiplicação e divisão, manipulando diretamente os símbolos romanos, sem antes convertê-los para a representação decimal com a qual estamos habituados a trabalhar.
Relembrando
Vamos dar uma espiadinha nas regras que permitem escrevermos números
naturais não nulos utilizando o sistema de numeração romano?
Regras para escrevermos numerais romanos
1. O sistema romano de numeração utiliza os seguintes símbolos:
2. Os símbolos I \, , \, X \, , \, C \, , \, M podem ser repetidos, seguidamente, até três vezes:
\qquad III= 3\quad XXX = 30 \quad CCC = 300 \quad MMM = 3.000.
3. Os símbolos \, \, V \, , \, L \, , \, D \, \, não podem ser repetidos.
4. Quando um símbolo é colocado à direita de outro de valor igual ou maior, somamos os dois valores. (Na notação aditiva, símbolos a serem somados podem ser repetidos.)
\qquad \qquad \quad LX = 50+10=60\qquad \qquad CLXXXVII = 100+50+10+10+10+5+1+1=187 \, .
5. Um símbolo colocado à esquerda de outro de maior valor tem seu valor subtraído do maior valor. (Na notação subtrativa, não se repetem os símbolos a serem subtraídos.)
\qquad \qquad \quad XL = 50-10=40\qquad \qquad \bcancel{XXXL}\qquad \bcancel{IIV} \, .
6. Os símbolos \, \, V \, , \, L \, , \, D \, \, não podem ser utilizados para subtrair.
7. O I apenas se antepõe a V e a X:
\qquad \qquad \quad IV = 4\qquad \qquad IX = 9 \, .
8. O X apenas se antepõe a L e a C:
\qquad \qquad \quad XL = 40\qquad \qquad XC = 90 \, .
9. O C apenas se antepõe a D e a M:
\qquad \qquad CD = 400\qquad \qquad CM = 900 \, .
10. Um traço horizontal colocado sobre um símbolo multiplica seu valor por 1.000. Essa regra só é utilizada para numeração a partir de 4.000. Veja alguns exemplos:
\quad \begin{array}{l l l l } \quad \overline{V}= 5.000 &\quad \overline{X} = 10.000 &\quad \overline{XXX} = 30.000 &\quad \overline{LXXVII}XXVIII = 77.028\\ \quad \overline{CC}= 200.000\ &\quad \overline{D} = 500.000 &\quad \overline{DCLII} = 652.000 &\quad \overline{M} = 1.000.000 \end{array} \, .
11. Dois traços horizontais colocados sobre um símbolo multiplicam seu valor por 1.000.000. Essa regra só é utilizada para numeração a partir de 4.000.000. Veja alguns exemplos:
\quad \overline{\overline{VII}}= 7.000.000\quad \overline{\overline{XXX}} = 30.000.000 \quad \overline{\overline{CC}} = 200.000.000 \quad \overline{\overline{DCI}} = 601.000.000 .
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Para outras informações sobre numeração romana, clique AQUI. |
Algoritmos para operações com algarismos romanos
A partir deste momento, vamos pensar apenas em termos dos numerais romanos e tentar desenvolver atalhos e esquemas que nos permitam somar, subtrair, multiplicar e dividir números que hoje chamamos de “números naturais não nulos”.
Os algoritmos que iremos apresentar envolverão apenas procedimentos de agrupamento e desagrupamento de símbolos, descompactação e compactação de notações subtrativas, organização de símbolos segundo a ordem de seus valores, eliminação e substituição de símbolos.
Para conhecer cada algoritmo e alguns exemplos,
basta clicar no botão correspondente à respectiva operação.
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Antes de encerrarmos, vale uma observação. |
Equipe COM – OBMEP
Março de 2019.
[1] CRILLY, Tony. 50 ideias de matemática que você precisa conhecer. (Original: 50 maths ideas you really need to know). São Paulo: Planeta, 2017.
[2] Revista do Professor de Matemática 5 – página 46 – Algarismos Romanos – Uma aula diferente – Márcia de Oliveira Rebello e Rosângela Tortora
[3] Roman Arithmetic (Último acesso em 23/02/19)
[4] http://rodcipriano.blogspot.com/2010/04/romanos.html (Último acesso em 23/06/20)
[5] https://br.guiainfantil.com/desenho-de-fantasia-de-romanos-para-colorir/ (Último acesso em 23/06/20)
[6] https://www.smartkids.com.br/colorir/desenho-vestuario-romanos (Último acesso em 23/06/20)
[7] https://principedaliberdade.wordpress.com/2016/08/15/erros-sobre-os-antigos-romanos/ (Último acesso em 23/06/20)