Problema
(Indicado a partir do 2º ano do E. M.)
A montagem da planificação indicada na figura irá gerar um dado com as respectivas letras apresentadas em suas faces. Se jogarmos esse dado duas vezes no chão e observarmos o que apareceu na face superior, qual é a probabilidade de obtermos duas letras iguais, porém em faces de cores distintas?
Adaptado do material do PIC 2018.
Lembretes
✏ Princípio Fundamental da Contagem, ou Princípio Multiplicativo, para dois eventos:
Se
- um evento E1 puder ocorrer de [tex] m_1 [/tex] maneiras,
- e um evento E2 puder ocorrer de [tex]m_2 [/tex] maneiras,
e esses dois eventos forem independentes entre si (isto é, a ocorrência de um não muda a quantidade de possibilidades para a ocorrência do outro), isto é, a ocorrência de um não muda a quantidade de possibilidades para a ocorrência de outro), então a quantidade de maneiras em que os dois eventos ocorrem ao mesmo tempo (E1 e E2) é
[tex]\qquad \qquad \boxed{m_1\times m_2} \,.[/tex]
(Se você não se lembra desse Princípio, seria interessante dar uma passadinha nesta Sala de Estudo.)
✏ Princípio Aditivo, para dois eventos: Se
- um evento E1 puder ocorrer de [tex] m_1 [/tex] maneiras,
- e um evento E2 puder ocorrer de [tex]m_2 [/tex] maneiras,
e esses eventos forem independentes entre si (isto é, a ocorrência de um não muda a quantidade de possibilidades para a ocorrência do outro), então a quantidade de maneiras de ocorrer um dos dois eventos (E1 ou E2) é
[tex]\qquad \qquad \boxed{m_1+ m_2 }\, .[/tex]
Solução
Para calcularmos a probabilidade solicitada, devemos contar o número de casos possíveis e o número de casos favoráveis, uma vez que o lançamento de dois dados é um experimento cujo espaço amostral é equiprovável.
- Inicialmente, observe que o Princípio Multiplicativo nos garante que o total de possibilidades para os dois lançamentos é [tex]\boxed{6\times 6=36}[/tex], já que o dado tem seis faces e vai ser lançado duas vezes.
- Agora, vamos contar os casos favoráveis. Perceba que podemos obter duas letras iguais em faces de cores distintas das seguintes formas:
- Duas letras A’s: Temos [tex]3[/tex] possibilidades para a primeira face e, como as cores devem ser distintas, [tex]2[/tex] possibilidades para a segunda face. Pelo Princípio Multiplicativo, são [tex]3\times 2=6[/tex] possibilidades distintas.
- Duas letras B’s: Seguindo raciocínio semelhante, temos [tex]2\times 1=2[/tex] possibilidades.
Logo, segundo o Princípio Aditivo, temos [tex]\boxed{6+2=8}[/tex] casos favoráveis.
Portanto, a probabilidade pedida é [tex]\dfrac{8}{36}=\,\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$\dfrac{2}{9}$}\,.[/tex]
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
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Caso queiram aprender um pouquinho mais sobre Probabilidade, visitem esta Sala.
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