Problema
(A partir do 8º ano do E. F. – Nível de dificuldade: Médio)
Em uma urna, foram colocadas bolinhas numeradas de [tex]1[/tex] a [tex]6[/tex], uma de cada número.
Serão sorteadas três dessas bolinhas de modo que uma bolinha sorteada não volte para a urna.
Supondo que as seis bolinhas têm a mesma chance de serem sorteadas, em quantas possibilidades os números formados pela primeira, pela segunda e pela terceira bolinhas sorteadas, nessa ordem, começam pelo algarismo [tex]4[/tex]?
Ajuda
Princípio Fundamental da Contagem, ou Princípio Multiplicativo, para três eventos:
Se
- um evento E1 puder ocorrer de [tex] m_1 [/tex] maneiras,
- um evento E2 puder ocorrer de [tex]m_2 [/tex] maneiras,
- um evento E3 puder ocorrer de [tex]m_3 \, [/tex] maneiras,
e todos esses eventos forem independentes entre si, isto é, a ocorrência de um não muda a quantidade de possibilidades para a ocorrência de outro, então a quantidade de maneiras em que os três eventos ocorrem ao mesmo tempo é
[tex]\qquad \qquad \boxed{m_1\times m_2 \times m_3} \, .[/tex]
(Se você não se lembra desse Princípio, seria interessante dar uma passadinha nesta Sala de Estudo.)
Solução
Observe que:
- Vamos formar um número com três algarismos, cujo algarismo das centenas é [tex]4[/tex].
- Esse número terá os algarismos distintos, já que cada bolinha sorteada não volta para a urna.
- São seis os números disponíveis para o sorteio.
Assim, pelo Princípio Multiplicativo, o número pode ser formado de [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$1\times 5 \times 4=20$}[/tex] modos.
Observe as possibilidades:
[tex]\begin{array}{c c c}
\underline{\text{ 1 possibilidade}}&\underline{\text{ 5 possibilidades }}&\underline{\text{ 4 possibilidades }}\\
\substack{\text{algarismo das}\\ \text{centenas}}&\substack{\text{algarismo das}\\ \text{dezenas}}&\substack{\text{algarismo das}\\ \text{unidades}}
\end{array}[/tex].
Como a quantidade de algarismos é pequena, podemos desenhar a árvore de possibilidades para a formação dos números que atendem às exigências do enunciado:
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
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