.Problema para ajudar na escola: Um desafio trigonométrico

Problema
(A partir da 1ª série do E. M. – Nível de dificuldade: Muito Difícil)


(ONEM, 2004 – Adaptado) Sejam [tex]x[/tex], [tex]y[/tex] e [tex]z[/tex] números reais, com [tex]0 \lt x,\, y,\, z \lt \pi[/tex], tais que
\begin{align*}cos\, x+cos\, y+cos\, z&=0;\\
cos\, 2x+cos\, 2y+cos\, 2z&=0;\\
cos\, 3x+cos\, 3y+cos\, 3z&=0.\\\end{align*}
Determine TODOS os valores numéricos possíveis da soma [tex]\boxed{sen\, x+sen\, y+sen\, z}\, .[/tex]

explicador_p

Lembretes

[tex] \textcolor{#800000}{(1)}[/tex] [tex]\, cos\,2a=2cos^2a-1[/tex].
[tex] \textcolor{#800000}{(2)} \, cos\,3a=4cos^3a-3cos\,a[/tex] .
[tex] \textcolor{#800000}{(3)}[/tex] Se [tex]a\,[/tex], [tex]\,b\,[/tex] e [tex]\, c\,[/tex] são números reais tais que [tex]a+b+c=0[/tex], então [tex] a^3+b^3+c^3=3abc[/tex].
Se você precisar de justificativas, clique no botão abaixo. (Não se esqueça de ocultar as informações depois de utilizá-las, para não sobrecarregar a página.)

Lembrete (1)

Da fórmula do cosseno da soma de dois números reais [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex], sabemos que:
[tex]\qquad \, cos(a +b)=cos \, a\cdot cos \, b-sen \, a\cdot sen \, b[/tex].
Assim, se [tex]a=b[/tex], segue que:
[tex]\qquad cos(a +a)=cos \, a\cdot cos \, a-sen \, a\cdot sen \, a[/tex]
[tex] \qquad cos\, 2a=cos ^2 a-sen ^2 a[/tex].
Mas a relação fundamental da trigonometria nos garante que [tex]\boxed{sen^2a+cos^2a=1}[/tex]; assim,
[tex] \qquad cos\, 2a=cos ^2 a-\left(1-cos^2 a\right)[/tex]
[tex] \qquad cos\, 2a=cos ^2 a-1+cos^2 a[/tex]
[tex] \qquad \boxed{cos\, 2a=2cos ^2 a-1}[/tex].

Lembrete (2)

Da fórmula do cosseno da soma de dois números reais [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex], sabemos que:
[tex]\qquad \, cos(a +b)=cos \, a\cdot cos \, b-sen \, a\cdot sen \, b[/tex].
Assim, se [tex]b=2a[/tex], segue que:
[tex]\qquad cos(a +2a)=cos \, a\cdot cos \, 2a-sen \, a\cdot sen \, 2a[/tex]
[tex]\qquad cos(3a)=cos \, a\cdot cos \, 2a-sen \, a\cdot sen \, 2a[/tex].
Utilizando a igualdade anterior, temos que:
[tex]\qquad cos(3a)=cos \, a\cdot \left(2cos ^2 a-1\right)-sen \, a\cdot sen \, 2a[/tex]
[tex]\qquad cos(3a)=2cos ^3 a-cos \, a-sen \, a\cdot sen \, 2a.\qquad \qquad \textcolor{#800000}{(*)}[/tex]
Da fórmula do seno da soma de dois números reais [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex], temos que:
[tex]\qquad \, sen(a +b)=sen \, a\cdot cos \, b+sen \, b\cdot cos \, a[/tex]
assim, se [tex]a=b[/tex], segue que:
[tex]\qquad \, sen(a +a)=sen \, a\cdot cos \, a+sen \, a\cdot cos \, a[/tex]
[tex]\qquad \, sen(2a)=2sen \, a\cdot cos \, a[/tex].
Substituindo essa última igualdade em [tex]\textcolor{#800000}{(*)}[/tex]:
[tex]\qquad cos(3a)=2cos ^3 a-cos \, a-sen \, a\cdot \left(2sen \, a\cdot cos \, a\right)[/tex]
[tex]\qquad cos(3a)=2cos ^3 a-cos \, a-2sen^2 a\cdot cos \, a[/tex]
e, utilizando mais uma vez a relação fundamental da trigonometria, vem que:
[tex]\qquad cos(3a)=2cos ^3 a-cos \, a-2\left(1-cos^2 a\right)\cdot cos \, a[/tex]
[tex]\qquad cos(3a)=2cos ^3 a-cos \, a-2cos \, a-2cos^3 a[/tex]
[tex]\qquad \boxed{cos(3a)=4cos ^3 a-3cos \, a}[/tex].

Lembrete (3)

Sejam [tex]a\,[/tex], [tex]\,b\,[/tex] e [tex]\, c\,[/tex] números reais tais que [tex]a+b+c=0[/tex].
Assim, [tex]a=-b-c\,[/tex] e, portanto, segue que:
[tex]\qquad \begin{align*} a^3+b^3+c^3 &=\left(-b-c\right)^3+b^3+c^3\\
&=-\left(b+c\right)^3+b^3+c^3\\
&=-\left(b^3+3b^2c+3bc^2+c^3\right)+b^3+c^3\\
&=-b^3-3b^2c-3bc^2-c^3+b^3+c^3\\
&=-3b^2c-3bc^2\\
&=3bc\left(-b-c\right).\\
\end{align*}[/tex]
Como [tex]-b-c=a[/tex], então:
[tex]\qquad a^3+b^3+c^3=3bca=3abc[/tex].

Solução


  • Vamos, inicialmente, aplicar a identidade do Lembrete (2) na terceira equação fornecida pelo problema e fazer algumas continhas:
  • [tex]\qquad cos\, 3x+cos\, 3y+cos\, 3z=0[/tex]
    [tex]\qquad \left(4cos^3x-3cos\,x\right)+\left(4cos^3y-3cos\,y\right)+\left(4cos^3z-3cos\,z\right)=0[/tex]
    [tex]\qquad 4\left(cos^3x+cos^3y+cos^3z\right)-3\left(cos\,x+cos\,y+cos\,z\right)=0. \qquad \qquad \textcolor{#800000}{(i)}[/tex]
    Pela primeira equação fornecida pelo problema [tex]cos\, x+cos\, y+cos\, z=0[/tex]; assim, segue de [tex] \textcolor{#800000}{(i)}[/tex] que
    [tex]\qquad 4\left(cos^3x+cos^3y+cos^3z\right)=0[/tex]
    [tex]\qquad cos^3x+cos^3y+cos^3z=0.\qquad \qquad \textcolor{#800000}{(ii)}[/tex]
    Por outro lado, como [tex]cos\, x+cos\, y+cos\, z=0[/tex], segue do Lembrete (3) que
    [tex]\qquad cos^3x+cos^3y+cos^3z=3\cdot cos\, x\cdot cos\, y\cdot cos\, z.\qquad \qquad \textcolor{#800000}{(iii)}[/tex]
    De [tex] \textcolor{#800000}{(ii)}\,[/tex] e [tex]\,\textcolor{#800000}{(iii)}[/tex], temos que [tex]\boxed{3\cdot cos\, x\cdot cos\, y\cdot cos\, z=0}[/tex], donde segue que [tex]\boxed{cos\, x\cdot cos\, y \cdot cos\, z=0}\,.[/tex]
    Em um produto igual a [tex]0[/tex], pelo menos um dos fatores é [tex]0[/tex]; assim, sem perda de generalidade, vamos supor que [tex]cos\, x=0[/tex].
    Dessa forma, de [tex]cos\, x+cos\, y+cos\, z=0[/tex], segue que
    [tex]\qquad cos\, y+cos\, z=0[/tex]
    ou seja,
    [tex]\qquad cos\, y=-cos\, z.\qquad \qquad \textcolor{#800000}{(iv)}[/tex]

  • Vamos aplicar agora a identidade do Lembrete (1) na segunda equação fornecida pelo problema e fazer mais algumas continhas:
  • [tex]\qquad cos\, 2x+cos\, 2y+cos\, 2z=0[/tex]
    [tex]\qquad \left(2cos^2x-1 \right)+\left(2cos^2y-1 \right)+\left(2cos^2z-1 \right)=0[/tex]
    [tex]\qquad 2\left(cos^2x+cos^2y+cos^2z \right)-3=0[/tex]
    [tex]\qquad cos^2x+cos^2y+cos^2z =\dfrac{3}{2}[/tex].
    Como estamos supondo [tex]cos\, x=0[/tex], então
    [tex]\qquad cos^2y+cos^2z =\dfrac{3}{2}.\qquad \qquad \textcolor{#800000}{(v)}[/tex]
    Substituindo [tex] \textcolor{#800000}{(iv)}\,[/tex] em [tex]\,\textcolor{#800000}{(v)}[/tex], obtemos que:
    [tex]\qquad \left(cos\, y\right)^2+cos^2z =\dfrac{3}{2}[/tex]
    [tex]\qquad \left(-cos\, z\right)^2+cos^2z =\dfrac{3}{2}[/tex]
    [tex]\qquad \left(cos\, z\right)^2+cos^2z =\dfrac{3}{2}[/tex]
    [tex]\qquad cos^2z+cos^2z =\dfrac{3}{2}[/tex]
    [tex]\qquad 2cos^2z =\dfrac{3}{2}[/tex]
    [tex]\qquad cos^2z =\dfrac{3}{4}[/tex]
    [tex]\qquad cos\, z =\pm\dfrac{\sqrt{3}}{2}.[/tex]
    Por [tex] \textcolor{#800000}{(iv)}[/tex], podemos afirmar que:
    Se [tex] cos\, z =\dfrac{\sqrt{3}}{2} \,[/tex], então [tex] \,cos\, y =-\dfrac{\sqrt{3}}{2} [/tex].
    Se se [tex] cos\, z =-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\,\, [/tex], então [tex] \,\,cos\, y =\dfrac{\sqrt{3}}{2}. [/tex]

Dessa forma, temos duas possibilidades para analisar:
[tex]\textcolor{#800000}{(I)}\,\,\, \boxed{cos\, x=0}\,\,,\,\, \boxed{cos\, z =\dfrac{\sqrt{3}}{2}} \,\,[/tex] e [tex] \,\,\boxed{cos\, y =-\dfrac{\sqrt{3}}{2}} [/tex]
e
[tex]\textcolor{#800000}{(II)}\,\,\,\boxed{cos\, x=0}\,\,,\,\, \boxed{cos\, z =-\dfrac{\sqrt{3}}{2}} \,\,[/tex] e [tex] \,\,\boxed{cos\, y =\dfrac{\sqrt{3}}{2}} [/tex].
Em cada possibilidade, vamos obter os valores de [tex]sen\, x\,,\,sen\, y\,[/tex] e [tex]\, sen\, z\,[/tex] e encontrar a soma [tex]\boxed{sen\, x+sen\, y+sen\, z}\, [/tex] solicitada no problema. Para isso, utilizaremos a relação fundamental da trigonometria: [tex] sen^2\theta+cos^2\theta=1[/tex] e observaremos que [tex]0 \lt x,\, y,\, z \lt \pi[/tex] e, portanto, [tex] sen\,x \,,\, sen\,y \,,\,sen\,z \gt 0.[/tex]
[tex]\textcolor{#800000}{(I)}[/tex]

[tex]\begin{array} {l|l|l}
\textcolor{#800000}{\bullet}\,\, cos\, x=0 &\quad \textcolor{#800000}{\bullet}\,\,cos\, z =\frac{\sqrt{3}}{2} &\quad \textcolor{#800000}{\bullet}\,\, cos\, y =-\frac{\sqrt{3}}{2}\\
\quad sen\,^2 x=1-cos^2x & \quad sen\,^2 z=1-cos^2z & \quad sen\,^2 y=1-cos^2y \\
\quad sen\,^2 x=1-0^2&\quad sen\,^2 z=1-\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 &\quad sen\,^2 y=1-\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2\\
\quad sen\,^2 x=1-0&\quad sen\,^2 z=1-\frac{3}{4}&\quad sen\,^2 y=1-\frac{3}{4}\\
\quad sen\,^2 x=1&\quad sen\,^2 z=\frac{1}{4}&\quad sen\,^2 y=\frac{1}{4}\\
\quad sen\, x=\pm 1 &\quad sen\, z=\pm \frac{1}{2} &\quad sen\, y=\pm \frac{1}{2} \\
\text{Como }\, sen\,x \gt 0,\, &\;\text{Como }\, sen\,z \gt 0,\, &\;\text{Como }\, sen\,y \gt 0,\, \\
\boxed{sen\, x=1}.\quad &\boxed{sen\, z=\frac{1}{2}}.\quad &\boxed{sen\, y=\frac{1}{2}}.\quad
\end{array}[/tex]

[tex]\textcolor{#800000}{(II)}[/tex]

[tex]\begin{array} {l|l|l}
\textcolor{#800000}{\bullet}\,\, cos\, x=0 &\quad \textcolor{#800000}{\bullet}\,\,cos\, z =-\frac{\sqrt{3}}{2} &\quad \textcolor{#800000}{\bullet}\,\, cos\, y =\frac{\sqrt{3}}{2}\\
\quad sen\,^2 x=1-cos^2x & \quad sen\,^2 z=1-cos^2z & \quad sen\,^2 y=1-cos^2y \\
\quad sen\,^2 x=1-0^2&\quad sen\,^2 z=1-\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 & \quad sen\,^2 y=1-\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2\\
\quad sen\,^2 x=1-0&\quad sen\,^2 z=1-\frac{3}{4}&\quad sen\,^2 y=1-\frac{3}{4}\\
\quad sen\,^2 x=1&\quad sen\,^2 z=\frac{1}{4}&\quad sen\,^2 y=\frac{1}{4}\\
\quad sen\, x=\pm 1 &\quad sen\, z=\pm \frac{1}{2} & \quad sen\, y=\pm \frac{1}{2} \\
\text{Como }\, sen\,x \gt 0,\,&\text{Como }\, sen\,z \gt 0,\, &\text{Como }\, sen\,y \gt 0,\,\\
\boxed{sen\, x=1}.\quad &\boxed{sen\, z=\frac{1}{2}}. \quad & \boxed{sen\, y=\frac{1}{2}}.
\end{array}[/tex]

Pelo exposto, a soma [tex]\boxed{sen\, x+sen\, y+sen\, z}\,[/tex] tem um valor único:

[tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$sen\, x+sen\, y+sen\, z=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}=2$}[/tex].


Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

Se for conveniente, você pode obter um arquivo desta página em PDF. Mas, para abrir esse arquivo, é necessário que você tenha o Adobe Acrobat Reader instalado no dispositivo que você está utilizando. Caso não tenha, é só clicar AQUI para fazer o download.
Se o seu dispositivo já tem o Adobe Acrobat Reader instalado, basta copiar o arquivo abaixo e abri-lo sempre que quiser!

Link permanente para este artigo: http://clubes.obmep.org.br/blog/problema-para-ajudar-na-escola-um-desafio-trigonometrico/