(A) Problema para ajudar na escola: Um desafio trigonométrico

Problema
(A partir da 1ª série do E. M. – Nível de dificuldade: Muito Difícil)

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(ONEM, 2004 – Adaptado) Sejam [tex]x[/tex], [tex]y[/tex] e [tex]z[/tex] números reais, com [tex]0 \lt x,\, y,\, z \lt \pi[/tex], tais que
\begin{align*}cos\, x+cos\, y+cos\, z&=0;\\
cos\, 2x+cos\, 2y+cos\, 2z&=0;\\
cos\, 3x+cos\, 3y+cos\, 3z&=0.\\\end{align*}
Determine TODOS os valores numéricos possíveis da soma [tex]\boxed{sen\, x+sen\, y+sen\, z}\, .[/tex]

Solução

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• Vamos, inicialmente, aplicar a identidade do Lembrete (2) na terceira equação fornecida pelo problema e fazer algumas continhas:

[tex]\qquad cos\, 3x+cos\, 3y+cos\, 3z=0[/tex]
[tex]\qquad \left(4cos^3x-3cos\,x\right)+\left(4cos^3y-3cos\,y\right)+\left(4cos^3z-3cos\,z\right)=0[/tex]
[tex]\qquad 4\left(cos^3x+cos^3y+cos^3z\right)-3\left(cos\,x+cos\,y+cos\,z\right)=0. \qquad \qquad \textcolor{#800000}{(i)}[/tex]
Pela primeira equação fornecida pelo problema [tex]cos\, x+cos\, y+cos\, z=0[/tex]; assim, segue de [tex] \textcolor{#800000}{(i)}[/tex] que
[tex]\qquad 4\left(cos^3x+cos^3y+cos^3z\right)=0[/tex]
[tex]\qquad cos^3x+cos^3y+cos^3z=0.\qquad \qquad \textcolor{#800000}{(ii)}[/tex]
Por outro lado, como [tex]cos\, x+cos\, y+cos\, z=0[/tex], segue do Lembrete (3) que
[tex]\qquad cos^3x+cos^3y+cos^3z=3\cdot cos\, x\cdot cos\, y\cdot cos\, z.\qquad \qquad \textcolor{#800000}{(iii)}[/tex]
De [tex] \textcolor{#800000}{(ii)}\,[/tex] e [tex]\,\textcolor{#800000}{(iii)}[/tex], temos que [tex]\boxed{3\cdot cos\, x\cdot cos\, y\cdot cos\, z=0}[/tex], donde segue que [tex]\boxed{cos\, x\cdot cos\, y \cdot cos\, z=0}\,.[/tex]
Em um produto igual a [tex]0[/tex], pelo menos um dos fatores é [tex]0[/tex]; assim, sem perda de generalidade, vamos supor que [tex]cos\, x=0[/tex].
Dessa forma, de [tex]cos\, x+cos\, y+cos\, z=0[/tex], segue que
[tex]\qquad cos\, y+cos\, z=0[/tex]
ou seja,
[tex]\qquad cos\, y=-cos\, z.\qquad \qquad \textcolor{#800000}{(iv)}[/tex]

• Vamos aplicar agora a identidade do Lembrete (1) na segunda equação fornecida pelo problema e fazer mais algumas continhas:

[tex]\qquad cos\, 2x+cos\, 2y+cos\, 2z=0[/tex]
[tex]\qquad \left(2cos^2x-1 \right)+\left(2cos^2y-1 \right)+\left(2cos^2z-1 \right)=0[/tex]
[tex]\qquad 2\left(cos^2x+cos^2y+cos^2z \right)-3=0[/tex]
[tex]\qquad cos^2x+cos^2y+cos^2z =\dfrac{3}{2}[/tex].
Como estamos supondo [tex]cos\, x=0[/tex], então
[tex]\qquad cos^2y+cos^2z =\dfrac{3}{2}.\qquad \qquad \textcolor{#800000}{(v)}[/tex]
Substituindo [tex] \textcolor{#800000}{(iv)}\,[/tex] em [tex]\,\textcolor{#800000}{(v)}[/tex], obtemos que:
[tex]\qquad \left(cos\, y\right)^2+cos^2z =\dfrac{3}{2}[/tex]
[tex]\qquad \left(-cos\, z\right)^2+cos^2z =\dfrac{3}{2}[/tex]
[tex]\qquad \left(cos\, z\right)^2+cos^2z =\dfrac{3}{2}[/tex]
[tex]\qquad cos^2z+cos^2z =\dfrac{3}{2}[/tex]
[tex]\qquad 2cos^2z =\dfrac{3}{2}[/tex]
[tex]\qquad cos^2z =\dfrac{3}{4}[/tex]
[tex]\qquad cos\, z =\pm\dfrac{\sqrt{3}}{2}.[/tex]
Por [tex] \textcolor{#800000}{(iv)}[/tex], podemos afirmar que:
► Se [tex] cos\, z =\dfrac{\sqrt{3}}{2} \,[/tex], então [tex] \,cos\, y =-\dfrac{\sqrt{3}}{2} [/tex].
► Se se [tex] cos\, z =-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\,\, [/tex], então [tex] \,\,cos\, y =\dfrac{\sqrt{3}}{2}. [/tex]

Dessa forma, temos duas possibilidades para analisar:
[tex]\textcolor{#800000}{(I)}\,\,\, \boxed{cos\, x=0}\,\,,\,\, \boxed{cos\, z =\dfrac{\sqrt{3}}{2}} \,\,[/tex] e [tex] \,\,\boxed{cos\, y =-\dfrac{\sqrt{3}}{2}} [/tex]
e
[tex]\textcolor{#800000}{(II)}\,\,\,\boxed{cos\, x=0}\,\,,\,\, \boxed{cos\, z =-\dfrac{\sqrt{3}}{2}} \,\,[/tex] e [tex] \,\,\boxed{cos\, y =\dfrac{\sqrt{3}}{2}} [/tex].
Em cada possibilidade, vamos obter os valores de [tex]sen\, x\,,\,sen\, y\,[/tex] e [tex]\, sen\, z\,[/tex] e encontrar a soma [tex]\boxed{sen\, x+sen\, y+sen\, z}\, [/tex] solicitada no problema. Para isso, utilizaremos a relação fundamental da trigonometria: [tex] sen^2\theta+cos^2\theta=1[/tex] e observaremos que [tex]0 \lt x,\, y,\, z \lt \pi[/tex] e, portanto, [tex] sen\,x \,,\, sen\,y \,,\,sen\,z \gt 0.[/tex]
[tex]\textcolor{#800000}{(I)}[/tex]

[tex]\begin{array} {l|l|l}
\textcolor{#800000}{\bullet}\,\, cos\, x=0 &\quad \textcolor{#800000}{\bullet}\,\,cos\, z =\frac{\sqrt{3}}{2} &\quad \textcolor{#800000}{\bullet}\,\, cos\, y =-\frac{\sqrt{3}}{2}\\
\quad sen\,^2 x=1-cos^2x & \quad sen\,^2 z=1-cos^2z & \quad sen\,^2 y=1-cos^2y \\
\quad sen\,^2 x=1-0^2&\quad sen\,^2 z=1-\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 &\quad sen\,^2 y=1-\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2\\
\quad sen\,^2 x=1-0&\quad sen\,^2 z=1-\frac{3}{4}&\quad sen\,^2 y=1-\frac{3}{4}\\
\quad sen\,^2 x=1&\quad sen\,^2 z=\frac{1}{4}&\quad sen\,^2 y=\frac{1}{4}\\
\quad sen\, x=\pm 1 &\quad sen\, z=\pm \frac{1}{2} &\quad sen\, y=\pm \frac{1}{2} \\
\text{Como }\, sen\,x \gt 0,\, &\;\text{Como }\, sen\,z \gt 0,\, &\;\text{Como }\, sen\,y \gt 0,\, \\
\boxed{sen\, x=1}.\quad &\boxed{sen\, z=\frac{1}{2}}.\quad &\boxed{sen\, y=\frac{1}{2}}.\quad
\end{array}[/tex]

[tex]\textcolor{#800000}{(II)}[/tex]

[tex]\begin{array} {l|l|l}
\textcolor{#800000}{\bullet}\,\, cos\, x=0 &\quad \textcolor{#800000}{\bullet}\,\,cos\, z =-\frac{\sqrt{3}}{2} &\quad \textcolor{#800000}{\bullet}\,\, cos\, y =\frac{\sqrt{3}}{2}\\
\quad sen\,^2 x=1-cos^2x & \quad sen\,^2 z=1-cos^2z & \quad sen\,^2 y=1-cos^2y \\
\quad sen\,^2 x=1-0^2&\quad sen\,^2 z=1-\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 & \quad sen\,^2 y=1-\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2\\
\quad sen\,^2 x=1-0&\quad sen\,^2 z=1-\frac{3}{4}&\quad sen\,^2 y=1-\frac{3}{4}\\
\quad sen\,^2 x=1&\quad sen\,^2 z=\frac{1}{4}&\quad sen\,^2 y=\frac{1}{4}\\
\quad sen\, x=\pm 1 &\quad sen\, z=\pm \frac{1}{2} & \quad sen\, y=\pm \frac{1}{2} \\
\text{Como }\, sen\,x \gt 0,\,&\text{Como }\, sen\,z \gt 0,\, &\text{Como }\, sen\,y \gt 0,\,\\
\boxed{sen\, x=1}.\quad &\boxed{sen\, z=\frac{1}{2}}. \quad & \boxed{sen\, y=\frac{1}{2}}.
\end{array}[/tex]

Pelo exposto, a soma [tex]\boxed{sen\, x+sen\, y+sen\, z}\,[/tex] tem um valor único:

[tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$sen\, x+sen\, y+sen\, z=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}=2$}[/tex].

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