.Problema para ajudar na escola: Três circunferências e um triângulo

Problema
(A partir da 9º ano do E. F.- Nível de dificuldade: Difícil)


Na figura abaixo, vemos três circunferências coplanares, duas a duas tangentes exteriores, com centros nos pontos A, B e C e com raios medindo [tex]2\text{ cm}[/tex], [tex]4\text{ cm}[/tex] e [tex]5\text{ cm}[/tex] respectivamente.

Determinar a área e o perímetro do triângulo ABC.


Um desafio extra: Usando régua e compasso, você saberia construir essas três circunferências a partir das medidas dos três raios?
Você não deve estar acostumado a esse tipo de construção. Mas, acredite, não é difícil fazê-la e é um belo passatempo. Para esquentar os motores, faça primeiro uma construção mais simples:

  • Conhecendo a medida dos raios de duas circunferências não tangentes entre si (nem interior nem exteriormente), construa uma terceira que seja tangente exterior às duas iniciais.

Bom divertimento!

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Ajuda 1

Quando em um mesmo plano traçamos duas circunferências, podemos analisar as posições que uma ocupa com relação à outra. Particularmente, duas circunferências que estão no mesmo plano são tangentes uma à outra se elas são tangentes à mesma reta no mesmo ponto de tangência:

  • se os seus centros estão de um mesmo lado com relação à reta tangente comum a elas, as circunferências são ditas tangentes internas;
  • se os seus centros estão em lados opostos com relação à reta tangente comum a elas, as circunferências são ditas tangentes externas.

Uma característica importante de duas circunferências tangentes externas é que a soma de seus raios é igual à distância entre seus centros.

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Ajuda 2

Heron de Alexandria (± 10 – 70), ou ainda Hero ou Herão, foi um matemático grego. É dele a fórmula que nos permite calcular a área de um triângulo em função das medidas dos seus três lados.
Em um triângulo de lados medindo [tex]a,\, b,\, c[/tex], a fórmula de Herão nos garante que a área [tex]A[/tex] desse triângulo é:

[tex]\qquad \qquad A=\sqrt{p\cdot(p-a)\cdot(p-b)\cdot(p-c)}[/tex],

onde [tex]p[/tex] é o semiperímetro do triângulo em questão, ou seja, [tex]p=\dfrac{a+b+c}{2}\, .[/tex]
– Para rever esse tema, clique AQUI.
– Para aprender um pouco mais sobre esse tema, clique AQUI.

Solução


Utilizando a propriedade explicitada na Ajuda 1 de que a distância entre os centros de duas circunferências tangentes externas entre si é a soma dos comprimentos de seus raios, concluímos que os lados do triângulo [tex]ABC[/tex] medem [tex]6\text{ cm}[/tex], [tex]7\text{ cm}[/tex] e [tex]9\text{ cm}.[/tex]

Assim:

  • o perímetro [tex]P[/tex] do triângulo [tex]ABC[/tex] é [tex]\;\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$P=6+7+9=22\text{ cm}$}\,[/tex];
  • como o semiperímetro do triângulo [tex]ABC[/tex] é [tex]p=11\text{ cm}[/tex], a fórmula de Herão citada na Ajuda 2 nos garante que a área [tex]A[/tex] desse triângulo pode ser assim calculada:
  • [tex]\qquad A=\sqrt{11\cdot(11-6)\cdot(11-7)\cdot(11-9)}\\
    \qquad A=\sqrt{11\cdot 5\cdot 4 \cdot 2\,}\\
    \qquad \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$A= 2\cdot \sqrt{110}\text{ cm}^2$}\\
    \qquad \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$A \approx 21\text{ cm}^2$}\,.[/tex]

Um applet para ajudar no desafio


No aplicativo estão definidos três segmentos de reta, com comprimentos [tex]2\text{ cm}[/tex], [tex]4\text{ cm}[/tex] e [tex]5\text{ cm}[/tex], respectivamente. Essas são as medidas dos raios das três circunferências que iremos construir e estes são os passos que podem ser executados para a construção das três circunferências a partir dessas medidas de raios:

Passo 1: Com a régua, construa uma reta auxiliar [tex]r[/tex] e nela marque o ponto [tex]A[/tex].

Passo 2: Com o compasso, transfira a medida do segmento [tex]\overline{P_1Q_1}[/tex] para a reta [tex]r[/tex], a partir de [tex]A[/tex]. Para isso, construa um segmento [tex]\overline{AT_1}[/tex] sobre [tex]r[/tex] que seja congruente ao segmento [tex]\overline{P_1Q_1}[/tex] e, portanto, tenha comprimento [tex]2\text{ cm}[/tex]. Marque o ponto [tex]T_1[/tex] à direita de [tex]A\,.[/tex]

Passo 3: Com o compasso, construa a circunferência [tex]\textcolor{red}{\lambda_1}[/tex] de centro em [tex]A[/tex] e que passa por [tex]T_1.[/tex] Essa será a nossa circunferência de raio [tex]2\text{ cm}[/tex].

Passo 4: Use novamente o compasso e transfira a medida do segmento [tex]\overline{P_2Q_2}[/tex] para a reta [tex]r[/tex]. Para isso, construa um segmento [tex]\overline{T_1B}[/tex] sobre [tex]r[/tex] que seja congruente ao segmento [tex]\overline{P_2Q_2}[/tex] e, portanto, tenha comprimento [tex]4\text{ cm}[/tex]. Marque o ponto [tex]B[/tex] à direita de [tex]T_1\,.[/tex]

Passo 5: Com o compasso, construa a circunferência [tex]\textcolor{blue}{\lambda_2}[/tex] de centro em [tex]B[/tex] e que passa por [tex]T_1.[/tex] Essa será a nossa circunferência de raio [tex]4\text{ cm}[/tex].

Já temos duas circunferências tangentes externas com raios de comprimentos [tex]2\text{ cm}[/tex] e [tex]4\text{ cm}[/tex]. O ponto [tex]T_1[/tex] é o ponto de tangência das duas circunferências.
Vamos construir uma terceira circunferência, [tex]\textcolor{#FF00FF}{\lambda_3}[/tex], que tenha raio de [tex]5\text{ cm}[/tex] e que seja tangente externa às duas circunferências [tex]\textcolor{red}{\lambda_1}[/tex] e [tex]\textcolor{blue}{\lambda_2}.[/tex] A ideia é fazer, inicialmente, o Passo 4 e transportar a medida do segmento [tex]\overline{P_3Q_3}[/tex] a partir de [tex]\textcolor{red}{\lambda_1}[/tex] e de [tex]\textcolor{blue}{\lambda_2}[/tex]. Para isso, vamos construir mais duas retas auxiliares para "somarmos" os raios [tex]2\text{ cm}[/tex] e [tex]5\text{ cm}[/tex], assim como os raios [tex]4\text{ cm}[/tex] e [tex]5\text{ cm}\,.[/tex]

Passo 6: Com a régua, construa uma reta auxiliar [tex]r_1[/tex] que contenha o ponto [tex]A[/tex] e denomine [tex]C_1[/tex] uma das interseções de [tex]r_1[/tex] com [tex]\textcolor{red}{\lambda_1}[/tex].

Passo 7: Com a régua, construa uma reta auxiliar [tex]r_2[/tex] que contenha o ponto [tex]B[/tex] e denomine [tex]C_2[/tex] uma das interseções de [tex]r_2[/tex] com [tex]\textcolor{blue}{\lambda_2}.[/tex]

Passo 8: Use o compasso e transfira a medida do segmento [tex]\overline{P_3Q_3}[/tex] para a reta [tex]r_1[/tex], a partir de [tex]C_1[/tex]. Para isso, construa um segmento [tex]\overline{C_1D_1}[/tex] sobre [tex]r_1[/tex] que seja congruente ao segmento [tex]\overline{P_3Q_3}[/tex] e, portanto, tenha comprimento [tex]5\text{ cm}[/tex]. Pela maneira com que construímos [tex]r_1[/tex] e escolhemos [tex]C_1[/tex], marque o ponto [tex]D_1[/tex] abaixo de [tex]C_1\,.[/tex]

Passo 9: Use o compasso e transfira a medida do segmento [tex]\overline{P_3Q_3}[/tex] para a reta [tex]r_2[/tex], a partir de [tex]C_2[/tex]. Para isso, construa um segmento [tex]\overline{C_2D_2}[/tex] sobre [tex]r_2[/tex] que seja congruente ao segmento [tex]\overline{P_3Q_3}[/tex] e, portanto, tenha comprimento [tex]5\text{ cm}[/tex]. Pela maneira com que construímos [tex]r_2[/tex] e escolhemos [tex]C_2[/tex], marque o ponto [tex]D_2[/tex] abaixo de [tex]C_2\,.[/tex]

Perceba que:

  • a circunferência de centro em [tex]A[/tex] e que passa por [tex]D_1[/tex] contém todos os possíveis centros de circunferência com raios [tex]5\text{ cm}[/tex] que são tangentes à circunferência [tex]\textcolor{red}{\lambda_1}[/tex];
  • a circunferência de centro em [tex]B[/tex] e que passa por [tex]D_2[/tex] contém todos os possíveis centros de circunferência com raios [tex]5\text{ cm}[/tex] que são tangentes à circunferência [tex]\textcolor{blue}{\lambda_2}[/tex].

Assim, as interseções dessas duas circunferências nos fornecerão pontos que são centros de circunferência com raios [tex]5\text{ cm}[/tex] que são tangentes simultaneamente às circunferências [tex]\textcolor{red}{\lambda_1}[/tex] e [tex]\textcolor{blue}{\lambda_2}.[/tex] Para não sobrecarregar o nosso desenho, ao invés de traçarmos essas duas circunferências, traçaremos apenas arcos delas: [tex]\textcolor{red}{\gamma_1}[/tex] e [tex]\textcolor{blue}{\gamma_2}.[/tex]

Passo 10: Com o compasso, construa o arco de circunferência [tex]\textcolor{red}{\gamma_1}[/tex] de centro em [tex]A[/tex] e que passa por [tex]D_1.[/tex]

Passo 11: Com o compasso, construa o arco de circunferência [tex]\textcolor{blue}{\gamma_2}[/tex] de centro em [tex]B[/tex] e que passa por [tex]D_2.[/tex]

Finalmente temos o centro da nossa terceira circunferência, [tex]\textcolor{#FF00FF}{\lambda_3}[/tex].

Passo 12: Denote por [tex]C[/tex] a interseção dos arcos [tex]\textcolor{red}{\gamma_1}[/tex] e [tex]\textcolor{blue}{\gamma_2}[/tex].

Passo 13: Com o compasso tome a medida do segmento [tex]\overline{P_3Q_3}[/tex] e, com essa medida, trace a circunferência [tex]\textcolor{#FF00FF}{\lambda_3}[/tex] com centro em [tex]C[/tex] e o raio com a medida do segmento [tex]\overline{P_3Q_3}.[/tex]

Passo 14: Observe o ponto de tangência [tex]T_2[/tex] das circunferências [tex]\textcolor{red}{\lambda_1}[/tex] e [tex]\textcolor{#FF00FF}{\lambda_3}[/tex] e o ponto de tangência [tex]T_3[/tex] das circunferências [tex]\textcolor{blue}{\lambda_2}[/tex] e [tex]\textcolor{#FF00FF}{\lambda_3}.[/tex]

Instruções para utilização do applet:
(1) Espere o applet carregar. (O aplicativo pode demorar um pouquinho para carregar.)
(2) Para acompanhar os passos definidos para a construção das circunferências, clique sucessivamente nos quadradinhos que irão aparecer.
(3) Para retornar à configuração inicial, clique nas setinhas que aparecem no canto superior direito do aplicativo.


OBMEP_ srdg, criado com o GeoGebra


Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

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