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Problema
(A partir do 8º ano do E. F.) (Nível: Difícil)
O número lá de casa é [tex]932[/tex].
Observe que este número tem as seguintes propriedades:
- todos os algarismos são não nulos e aparecem em ordem decrescente;
- a soma de [tex]932[/tex] com o número que se obtém invertendo a ordem dos seus algarismos é um número cujos algarismos são todos ímpares ([tex]932 + 239 = 1171[/tex]).
Quantos números de três algarismos, incluindo o [tex]932[/tex], têm estas duas propriedades?
Solução
Sejam [tex] \, n \, [/tex] um número com as propriedades exigidas no problema e [tex] \, a \, [/tex], [tex] \, b \, [/tex] e [tex] \, c \, [/tex] os algarismos das centenas, dezenas e unidades, respectivamente, de [tex] \, n \, [/tex]:
- [tex] \, \fcolorbox{black}{#DEB887}{$n=abc$} \, .\qquad \qquad [/tex] (Aqui, as notações [tex]abc[/tex] e [tex]cba[/tex] não indicarão produtos e sim representações de números com três algarismos no sistema decimal.)
Os algarismos são não nulos e aparecem em ordem decrescente, logo:
- [tex]a \gt b \gt c \gt 0[/tex]. [tex]\qquad \textcolor{#800000}{(i)}[/tex]
A soma [tex]\boxed{abc+cba}[/tex] tem todos os algarismos ímpares; assim, o algarismo de unidade dessa soma deve ser ímpar.
[tex]\qquad \qquad \begin{array}{cccc}
\, &a&b&c\\
+&c&b&a\\
\hline\\
\end{array}[/tex]
- [tex]a+c[/tex] é ímpar.[tex]\qquad \textcolor{#800000}{(ii)}[/tex]
Note que [tex]b+b=2\cdot b[/tex], ou seja [tex]b+b[/tex] é um número par. Como [tex]abc+cba[/tex] tem todos os algarismos ímpares, o algarismo das dezenas da soma [tex]\boxed{abc+cba}[/tex] deve ser ímpar, então:
- [tex]a+c\gt 10[/tex].[tex]\qquad \textcolor{#800000}{(iii)}[/tex]
Para obtermos o algarismo das dezenas de [tex]\boxed{abc+cba}[/tex] vamos, então, efetuar a soma [tex]b+b+1[/tex]; mas observe agora que, se tivermos [tex]b+b+1 \ge 10[/tex], então o algarismo das centenas da soma [tex]abc+cba[/tex] será [tex]a+c+1[/tex]. No entanto, sabemos que [tex]a+c[/tex] é o algarismo das unidades da soma [tex]\boxed{abc+cba}[/tex], logo é ímpar, e dessa forma [tex]a+c+1[/tex] seria par, o que não é possível pois a soma [tex]\boxed{abc+cba}[/tex] tem todos os algarismos ímpares. Portanto
- [tex]b+b+1 \lt 10[/tex].[tex]\qquad \textcolor{#800000}{(iv)}[/tex]
De [tex]\textcolor{#800000}{(iv)}[/tex], segue que [tex]2\cdot b \lt 9[/tex], ou seja, [tex]b \le 4[/tex]. Analisemos, então, cada uma das possibilidades de valores para o algarismo [tex]b[/tex].
✐ Se [tex]b = 4[/tex], então, por [tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex], [tex]a \gt 4[/tex] e [tex]c \lt 4[/tex].
Sabemos, por [tex]\textcolor{#800000}{(ii)}[/tex] e por [tex]\textcolor{#800000}{(iii)}[/tex], que [tex]a+c[/tex] é ímpar e maior do que dez; assim, para as possibilidades [tex]c=1, \, 2, \, 3[/tex] e [tex]a=5, \, 6, \, 7, \, 8, \, 9[/tex], obtemos as soluções [tex] \, \fcolorbox{black}{#DEB887}{$n=843$} \, [/tex] e [tex] \, \fcolorbox{black}{#DEB887}{$n=942$} \, [/tex].
✐ Se [tex]b = 3[/tex], então, por [tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex], [tex]a \gt 3[/tex] e [tex]c \lt 3[/tex].
Para as possibilidades [tex]c=1, \, 2[/tex] e [tex]a=4, \, 5, \, 6, \, 7, \, 8, \, 9[/tex], observamos, mais uma vez, que [tex]a+c[/tex] é ímpar e maior do que dez, logo obtemos uma única solução: [tex] \, \fcolorbox{black}{#DEB887}{$n=932$} \, [/tex].
✐ Se [tex]b = 2[/tex], então, por [tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex], a única possibilidade para o algarismo [tex]c[/tex] seria [tex]c=1[/tex] e, nesse caso, não existiria um algarismo [tex]a[/tex] tal que [tex]a+c>10[/tex], já que o maior valor para a soma [tex]a+c[/tex] seria [tex]a+c=10[/tex].
✐ Para [tex]b = 1[/tex] não temos valor para o algarismo [tex]c[/tex] de forma que [tex]b=1 \gt c \gt 0[/tex].
Pelo exposto, as únicas opções para [tex]n[/tex] são:
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
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