(A) Problema para ajudar na escola: O número lá de casa

Problema
(A partir do 8º ano do E. F.) (Nível: Difícil)

Observe que este número tem as seguintes propriedades:

• todos os algarismos são não nulos e aparecem em ordem decrescente;
• a soma de $932$ com o número que se obtém invertendo a ordem dos seus algarismos é um número cujos algarismos são todos ímpares ($932 + 239 = 1171$).

Quantos números de três algarismos, incluindo o $932$, têm estas duas propriedades?

Solução

• $\, \fcolorbox{black}{#DEB887}{$n=abc$} \, .\qquad \qquad$ (Aqui, as notações $abc$ e $cba$ não indicarão produtos e sim representações de números com três algarismos no sistema decimal.)

Os algarismos são não nulos e aparecem em ordem decrescente, logo:

• $a \gt b \gt c \gt 0$. $\qquad \textcolor{#800000}{(i)}$

A soma $\boxed{abc+cba}$ tem todos os algarismos ímpares; assim, o algarismo de unidade dessa soma deve ser ímpar.
$\qquad \qquad \begin{array}{cccc} \, &a&b&c\\ +&c&b&a\\ \hline\\ \end{array}$

• $a+c$ é ímpar.$\qquad \textcolor{#800000}{(ii)}$

Note que $b+b=2\cdot b$, ou seja $b+b$ é um número par. Como $abc+cba$ tem todos os algarismos ímpares, o algarismo das dezenas da soma $\boxed{abc+cba}$ deve ser ímpar, então:

• $a+c\gt 10$.$\qquad \textcolor{#800000}{(iii)}$

Para obtermos o algarismo das dezenas de $\boxed{abc+cba}$ vamos, então, efetuar a soma $b+b+1$; mas observe agora que, se tivermos $b+b+1 \ge 10$, então o algarismo das centenas da soma $abc+cba$ será $a+c+1$. No entanto, sabemos que $a+c$ é o algarismo das unidades da soma $\boxed{abc+cba}$, logo é ímpar, e dessa forma $a+c+1$ seria par, o que não é possível pois a soma $\boxed{abc+cba}$ tem todos os algarismos ímpares. Portanto

• $b+b+1 \lt 10$.$\qquad \textcolor{#800000}{(iv)}$

De $\textcolor{#800000}{(iv)}$, segue que $2\cdot b \lt 9$, ou seja, $b \le 4$. Analisemos, então, cada uma das possibilidades de valores para o algarismo $b$.

✐ Se $b = 4$, então, por $\textcolor{#800000}{(i)}$, $a \gt 4$ e $c \lt 4$.
Sabemos, por $\textcolor{#800000}{(ii)}$ e por $\textcolor{#800000}{(iii)}$, que $a+c$ é ímpar e maior do que dez; assim, para as possibilidades $c=1, \, 2, \, 3$ e $a=5, \, 6, \, 7, \, 8, \, 9$, obtemos as soluções $\, \fcolorbox{black}{#DEB887}{$n=843$} \,$ e $\, \fcolorbox{black}{#DEB887}{$n=942$} \,$.
✐ Se $b = 3$, então, por $\textcolor{#800000}{(i)}$, $a \gt 3$ e $c \lt 3$.
Para as possibilidades $c=1, \, 2$ e $a=4, \, 5, \, 6, \, 7, \, 8, \, 9$, observamos, mais uma vez, que $a+c$ é ímpar e maior do que dez, logo obtemos uma única solução: $\, \fcolorbox{black}{#DEB887}{$n=932$} \,$.
✐ Se $b = 2$, então, por $\textcolor{#800000}{(i)}$, a única possibilidade para o algarismo $c$ seria $c=1$ e, nesse caso, não existiria um algarismo $a$ tal que $a+c>10$, já que o maior valor para a soma $a+c$ seria $a+c=10$.
✐ Para $b = 1$ não temos valor para o algarismo $c$ de forma que $b=1 \gt c \gt 0$.

Pelo exposto, as únicas opções para $n$ são:

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.