.Problema para ajudar na escola: Números 3 por 4

Problema
(A partir do 6º ano do E. F. – Nível de dificuldade: Médio)


(ONEM 2011 – Adaptado) Um número natural é dito [tex]\textcolor{#BF0000}{3 \text{ por } 4} [/tex] se ele tiver [tex]3[/tex] algarismos e o produto desses algarismos for [tex]4.[/tex]

Por exemplo, [tex] 221[/tex] é [tex] 3[/tex] por [tex]4[/tex], pois tem [tex]3[/tex] algarismos e [tex]2 \cdot 2 \cdot 1=4[/tex].

Quantos números [tex]\textcolor{#BF0000}{3 \text{ por } 4} [/tex] existem?

Solução


Seja [tex]A[/tex] um número [tex]\textcolor{#BF0000}{3 \text{ por } 4}[/tex].
Como os divisores naturais de [tex]4[/tex] são [tex]1[/tex], [tex]2[/tex] e [tex]4[/tex], os algarismos de [tex]A[/tex] só podem ser [tex]1[/tex], [tex]2[/tex] ou [tex]4[/tex].
Agora, observe que:

  • Se [tex]4[/tex] é um algarismo de [tex]A[/tex], então seus outros dois algarismos são necessariamente iguais a [tex]1[/tex] ([tex]4=1\cdot 1 \cdot 4[/tex]).
    Neste caso, temos três possibilidades para [tex]A[/tex]: [tex]114[/tex] , [tex]141[/tex] e [tex]411[/tex].
  • Se [tex]2[/tex] é um algarismo de [tex]A[/tex], então seus outros dois algarismos são necessariamente [tex]1[/tex] e [tex]2[/tex] ([tex]4=1\cdot 2 \cdot 2[/tex]).
    Neste caso, temos também três possibilidades para [tex]A[/tex]: [tex]122[/tex] , [tex]212[/tex] e [tex]221[/tex].
  • Não existem outras possibilidades para os algarismos de [tex]A[/tex].

Dessa forma, existem apenas [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$6$}\,[/tex] números [tex]\textcolor{#BF0000}{3 \text{ por } 4} [/tex].


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