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Problema
(A partir do 6º ano do E. F. – Nível de dificuldade: Médio)
(ONEM 2011 – Adaptado) Um número natural é dito 3 por 4 se ele tiver 3 algarismos e o produto desses algarismos for 4.
► Por exemplo, 221 é 3 por 4, pois tem 3 algarismos e 2⋅2⋅1=4.
Quantos números 3 por 4 existem?
Solução
Seja A um número 3 por 4.
Como os divisores naturais de 4 são 1, 2 e 4, os algarismos de A só podem ser 1, 2 ou 4.
Agora, observe que:
- Se 4 é um algarismo de A, então seus outros dois algarismos são necessariamente iguais a 1 (4=1⋅1⋅4).
Neste caso, temos três possibilidades para A: 114 , 141 e 411. - Se 2 é um algarismo de A, então seus outros dois algarismos são necessariamente 1 e 2 (4=1⋅2⋅2).
Neste caso, temos também três possibilidades para A: 122 , 212 e 221. - Não existem outras possibilidades para os algarismos de A.
Dessa forma, existem apenas 6 números 3 por 4.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
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