.Problema para ajudar na escola: Interpretando Pitágoras

Problema
(A partir do 9º ano do E. F.) (Nível: Médio)


p29
Na figura:

  • [tex]ABC[/tex] é um triângulo retângulo em [tex]A[/tex];
  • a área do quadrado [tex]ACFG[/tex] é [tex]8 \, \text{cm}^2[/tex];
  • a área do quadrado [tex]ABDE[/tex] é [tex]27 \, \text{cm}^2[/tex].

Então:
(a) Calcule os valores exatos dos comprimentos dos lados do triângulo [tex]ABC[/tex].

(b) Apresente valores aproximados dos comprimentos dos lados do triângulo [tex]ABC[/tex], com duas casas decimais.

Uma ferramenta que pode ajudar é o Teorema de Pitágoras. Caso não tenha muito conhecimento sobre o assunto, clique aqui.

Solução


Pelos dados do problema, podemos concluir que os lados dos quadrados [tex]ACFG[/tex] e [tex]ABDE[/tex] são, respectivamente, [tex]\sqrt{8} \, \text{cm}[/tex] e [tex]\sqrt{27} \, \text{cm}[/tex], já que a área de um quadrado de lados com comprimento [tex]{\color{red}l} \, \text{cm}[/tex] é [tex]{\color{red}l^2} \, \text{cm}^2[/tex] e, portanto, o comprimento dos lados de um quadrado de área [tex] \, \boxed{A \, \text{cm}^2} \, [/tex] é [tex] \, \boxed{\sqrt{A} \, \text{cm}} \, [/tex].
Dessa forma, o triângulo retângulo da figura tem catetos com comprimentos [tex]\sqrt{8} \, \text{cm}[/tex] e [tex]\sqrt{27} \, \text{cm}[/tex].

Utilizando o Teorema de Pitágoras, podemos calcular o comprimento [tex]h[/tex], em centímetros, da hipotenusa desse triângulo. Observem:
[tex]\qquad h^2=\left(\sqrt{8} \right)^2+\left(\sqrt{27} \right)^2[/tex]
[tex]\qquad h^2=8+27[/tex]
[tex]\qquad h^2=35[/tex]
[tex]\qquad h=\sqrt{35}[/tex], pois [tex]h\gt 0[/tex].

(a) Dessa forma, os valores exatos dos comprimentos dos lados do triângulo [tex]ABC[/tex] são: [tex]\sqrt{8} \, \text{cm}; \, \, \sqrt{27} \, \text{cm}\, [/tex] e [tex]\sqrt{35} \, \text{cm}[/tex].
Como [tex]8=2^3 \, [/tex] e [tex]27=3^3[/tex], poderíamos também escrever esses comprimentos como: [tex]2\sqrt{2} \, \text{cm}; \, \, 3\sqrt{3} \, \text{cm}\, [/tex] e [tex]\sqrt{35} \, \text{cm}[/tex].

(b) As três imagens abaixo e uma calculadora eletrônica nos permitem concluir que os valores aproximados, com duas casas decimais, dos comprimentos dos lados do triângulo [tex]ABC[/tex] são [tex]2,83 \, \text{cm}; \, \, 5,20 \, \text{cm}\, [/tex] e [tex]5,92 \, \text{cm}[/tex]. Notem que tomamos como aproximação os valores mais próximos dos respectivos valores reais.


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