.Sala para leitura_016: Reencontrando triângulos retângulos

Reencontrando triângulos retângulos


Apresentaremos aqui algumas definições e propriedades básicas para ajudar no entendimento da trigonometria dos triângulos retângulos.
Bom proveito!


Um vídeo para começar…


Para assistir, é só clicar na setinha.


Tudo o que necessitamos nas discussões sobre a trigonometria dos triângulos retângulos apareceu no vídeo que vocês acabaram de assistir.
Vamos, então, passar a limpo as ideias que nos interessam.

Triângulos retângulos e seus elementos


Vamos relembrar o que são triângulos retângulos?

Definição:
Um triângulo retângulo é qualquer triângulo que tenha um ângulo reto, isto é, um ângulo de 90 graus.

triag_ret3 Se na figura o ângulo relativo ao vértice [tex]C[/tex] é reto, então o triângulo [tex]ABC[/tex] é um triângulo retângulo.
Os lados de um triângulo retângulo recebem denominações especiais.
Assim, no triângulo [tex]ABC[/tex]:
os lados [tex]\overline{CB}~[/tex] e [tex]~\overline{CA}[/tex] são denominados catetos;
o lado [tex]~\overline{AB}[/tex], oposto ao ângulo reto, é denominado hipotenusa.

Para simplificar notações, é comum confundir o segmento com sua medida. Assim podemos dizer, por exemplo, que [tex]AB~[/tex] é a hipotenusa ou que [tex]CB~[/tex] e [tex]~CA[/tex] são catetos, onde [tex]AB[/tex], [tex]CB~[/tex] e [tex]~CA[/tex] são, respectivamente, os comprimentos dos segmentos [tex]\overline{AB}[/tex], [tex]\overline{CB}~[/tex] e [tex]~\overline{CA}[/tex].
Dessa forma, se [tex]\alpha~[/tex] e [tex]~\beta[/tex] são as medidas dos ângulos agudos [tex]\widehat{A}~[/tex] e [tex]\widehat{B}[/tex] do triângulo retângulo [tex]ABC[/tex], podemos chamar:

[tex]\overline{AB}~[/tex] ou [tex]~AB~[/tex] ou [tex]~h~[/tex] de hipotenusa do triângulo [tex]ABC[/tex];
[tex]\overline{CB}~[/tex] ou [tex]~CB[/tex] ou [tex]~a[/tex] de cateto oposto a [tex]\widehat{A}~[/tex] ou a [tex]\alpha~[/tex];
[tex]\overline{CA}~[/tex] ou [tex]~CA[/tex] ou [tex]~b[/tex] de cateto adjacente a [tex]\widehat{A}~[/tex] ou a [tex]\alpha~[/tex];
[tex]\overline{CB}~[/tex] ou [tex]~CB[/tex] ou [tex]~a[/tex] de cateto adjacente a [tex]\widehat{B}~[/tex] ou a [tex]\beta~[/tex];
[tex]\overline{CA}~[/tex] ou [tex]~CA[/tex] ou [tex]~b[/tex] de cateto oposto a [tex]\widehat{B}~[/tex] ou a [tex]\beta~[/tex].
triag_ret2







O teorema de Pitágoras


O Teorema de Pitágoras é um dos resultados mais utilizados da matemática e talvez o mais “popular”. Apesar de levar o nome do matemático grego Pitágoras de Samos (569 a.C. – 480 a.C., aproximadamente), este resultado, ao que parece, foi descoberto de maneira independente por vários povos antigos.
Este é o enunciado mais conhecido do teorema:

Teorema de Pitágoras – versão 1

Em qualquer triângulo retângulo, a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.

pitagoras_3 Com relação ao triângulo retângulo [tex]ABC[/tex] da figura ao lado, a versão 1 do Teorema de Pitágoras nos garante que:
[tex]\qquad \qquad \boxed{a^2+b^2=h^2}[/tex].
É incrível podermos relacionar o comprimento dos lados de um triângulo retângulo, sem sequer conhecê-los!

Incrível também é a interpretação geométrica dessa formulazinha!

Interpretação Geométrica do Teorema:

pita2

Podemos interpretar geometricamente esse enunciado do Teorema de Pitágoras, utilizando áreas, e garantir que a soma das áreas dos quadrados construídos sobre os catetos de um triângulo retângulo é igual à área do quadrado construído sobre a hipotenusa desse triângulo.

Assim, na figura ao lado, a área verde somada com a área azul é igual à área laranja, ou seja:

[tex]\qquad\qquad x^2+y^2=z^2[/tex].

O que chamamos de versão 1 do Teorema de Pitágoras é, sem dúvida, a mais conhecida maneira de se enunciar o Teorema; mas, o que muitas pessoas que utilizam essa versão não sabem é que a recíproca do enunciado é também válida, ou seja:

Recíproca da versão 1 do teorema de Pitágoras

Se em um triângulo o quadrado da medida de um dos lados é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros dois, então esse triângulo é retângulo.

Simbolicamente, essa recíproca garante que se [tex]m,~n,~t[/tex] são os comprimentos dos lados de um triângulo e [tex]m^2 + n^2=t^2[/tex], então tal triângulo é um triângulo retângulo. Nesse caso, o lado com medida [tex]t[/tex] é a hipotenusa do triângulo em questão.

Observem que, no enunciado acima, já estamos garantindo que [tex]m,~n,~t[/tex] são comprimentos dos lados de um triângulo.
Mas se soubéssemos, apenas, que [tex]m,~n,~t[/tex] são números reais positivos tais que [tex]m^2 + n^2=t^2[/tex], poderíamos garantir que existe um triângulo cujos lados medem [tex]n,~m,~t[/tex]?
Se a resposta for positiva, a recíproca do Teorema de Pitágoras garantirá que tal triângulo é um triângulo retângulo.

A versão 1 e sua recíproca podem ser escritas simultaneamente. Vejam, então, uma segunda versão do Teorema de Pitágoras.

Teorema de Pitágoras – versão 2

Em um triângulo, o quadrado do comprimento de um dos lados é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados se, e somente se, o triângulo for retângulo.

Utilizando linguagem mais matemática:

Teorema de Pitágoras – versão 2

Sejam [tex]a,~b~[/tex] e [tex]~c[/tex] os comprimentos dos lados de um triângulo, com [tex]a,~b\lt c[/tex]. Então:

tal triângulo é retângulo se, e somente se, [tex]a^2 + b^2=c^2[/tex].







Aparatos para estudar


Não nos preocuparemos com demonstrações nesta sala, já que o nosso objetivo neste momento é, apenas, relembrarmos alguns fatos relacionados à geometria dos triângulos retângulos. Mas, se for conveniente, vocês podem:

[tex](i)[/tex] utilizar as figuras sugeridas abaixo para fazer uma demonstração da versão 1 do Teorema de Pitágoras. As figuras falam por si; mas, como dica, escrevam a área do quadrado de lado [tex]a+b[/tex] de acordo com as duas decomposições sugeridas.
[tex] (ii)[/tex] utilizar o applet disponibilizado para visualizar a interpretação geométrica sobre a qual comentamos. Cliquem no botão do meio e esperem o aplicativo carregar (ele irá abrir em outra janela). Em seguida, movimentem os pontos A, B e C do aplicativo para obterem diferentes triângulos retângulos e comprovarem, particularmente, o Teorema de Pitágoras. Lembrem-se de que o GeoGebra trabalha com aproximações (utilizamos 4 casas decimais).
[tex] (iii)[/tex] assistir ao vídeo e ver uma demonstração experimental do teorema. Tentem justificar o que a experiência tem a ver com o Teorema de Pitágoras.

Boa diversão!

Figuras APPLET Vídeo








Um vídeo para terminar…


Para assistir, é só clicar na setinha.



Equipe COM – OBMEP

Esperamos que você tire proveito da explanação feita aqui.
Nosso objetivo é tentar sempre facilitar o seu entendimento sobre assuntos importantes da Matemática.

Link permanente para este artigo: http://clubes.obmep.org.br/blog/sala-para-leitura_016-reencontrando-triangulos-retangulos/