.Problema para ajudar na escola: Expressão máxima

Problema
(A partir da 2ª série do E. M. – Nível de dificuldade: Difícil)


(ONEM, 2008) Seja [tex]ABC [/tex] um triângulo tal que [tex]AB= 3\, \text{cm}[/tex] , [tex] \,BC=5\, \text{cm}\,[/tex] e [tex]\, CA=4\, \text{cm}[/tex] .
Se [tex]P[/tex] é um ponto do plano determinado pelos vértices desse triângulo, qual o valor máximo da expressão
[tex]\qquad \qquad \boxed{2\left(PB\right)^2-\left(PA\right)^2-3\left(PC\right)^2}[/tex] ?

Notação: Se [tex]X[/tex] e [tex]Y[/tex] são pontos de um plano, estamos indicando por [tex]XY[/tex] a distância entre esses dois pontos.

AJUDA

Para resolver este problema vamos utilizar noções básicas de plano cartesiano.
Talvez o vídeo abaixo possa ajudar!




Referencial Cartesiano (Abcissas e ordenadas)

Solução


Vamos transformar esse problema geométrico em um problema algébrico, já que a expressão [tex] \boxed{2\left(PB\right)^2-\left(PA\right)^2-3\left(PC\right)^2}[/tex] que vamos majorar não está associada a alguma forma geométrica conhecida.
Veja no vídeo disponibilizado abaixo que transformar problemas geométricos em problemas algébricos é a essência da chamada Geometria Analítica e faremos isso definindo um sistema cartesiano conveniente, a partir do triângulo [tex]ABC[/tex] definido no problema.
Observe que [tex]3^2+4^2=5^2[/tex]; assim, o triângulo [tex]ABC[/tex] é um triângulo retângulo.
Considere, então,

  • o sistema cartesiano [tex]xAy[/tex], com origem no ponto [tex]A[/tex] e cujos eixos horizontal e vertical são definidos respectivamente pelos vértices "[tex]A[/tex] e [tex]C[/tex]" e "[tex]A[/tex] e [tex]B[/tex]", de modo que os pontos [tex]B[/tex] e [tex]C[/tex] tenham coordenadas [tex]\boxed{B=(0,3)}\,[/tex] e [tex]\,\boxed{C=(4,0)}\,.[/tex] Observe que neste sistema [tex]\,\boxed{A=(0,0)}\,.[/tex]

Suponha que as coordenadas do ponto [tex]P[/tex] no nosso sistema referencial de coordenadas sejam [tex]P=(x,y)[/tex].
Como a distância [tex]d[/tex] entre dois pontos cujas coordenadas com relação a um mesmo plano cartesiano são [tex]\left(x_1,y_1\right)\,[/tex] e [tex]\,\left(x_2,y_2\right)[/tex] é dada por
[tex]\qquad \qquad d=\sqrt{\left(x_1-x_2\right)^2+\left(y_1-y_2\right)^2}[/tex],
e as medidas [tex]PA[/tex], [tex]PB[/tex] e [tex]PC[/tex] são simplesmente as distâncias de "[tex]P[/tex] a [tex]A[/tex]", de "[tex]P[/tex] a [tex]B[/tex]" e de "[tex]P[/tex] a [tex]C[/tex]", respectivamente, temos que:

  • [tex]PA=\sqrt{\left(x-0\right)^2+\left(y-0\right)^2}=\sqrt{x^2+y^2}[/tex];
  • [tex]PB=\sqrt{\left(x-0\right)^2+\left(y-3\right)^2}=\sqrt{x^2+\left(y-3\right)^2}[/tex];
  • [tex]PC=\sqrt{\left(x-4\right)^2+\left(y-0\right)^2}=\sqrt{\left(x-4\right)^2+y^2}[/tex].

Com isso, podemos escrever algebricamente a expressão a ser majorada da seguinte forma:
[tex]\qquad \boxed{2\left(PB\right)^2-\left(PA\right)^2-3\left(PC\right)^2}=\\
\qquad =2 \left(\sqrt{x^2+\left(y-3\right)^2}\right)^2-\left(\sqrt{x^2+y^2}\right)^2-3\left(\sqrt{\left(x-4\right)^2+y^2}\right)^2\\
\qquad =2 \left(x^2+y^2-6y+9\right)-\left(x^2+y^2\right)-3\left(x^2-8x+16+y^2\right)\\
\qquad =-2x^2-2y^2+24x-12y-30\\
\qquad =-2\left(x^2-12x\right)-2\left(y^2+6y\right)-30\,.[/tex]
Para facilitar a análise da expressão, vamos fazer dois processos de completamento de quadrado.(Se você não se lembra desse procedimento, dê uma passadinha nesta Sala de Leitura.). Observe:
[tex]\qquad \boxed{2\left(PB\right)^2-\left(PA\right)^2-3\left(PC\right)^2}=\\
\qquad =-2\left[\left(x^2-12x+36\right)-36\right]-2\left[\left(y^2+6y+9\right)-9\right]-30\\
\qquad =-2\left(x-6\right)^2+72-2\left(y+3\right)^2+18-30\\
\qquad =-2\left(x-6\right)^2-2\left(y+3\right)^2+60\\
\qquad =\boxed{-2\left[\left(x-6\right)^2+\left(y+3\right)^2\right]+60}\,.[/tex]
Finalmente, observe que [tex]\left(x-6\right)^2+\left(y+3\right)^2 \geqslant 0[/tex]; assim, segue que:
[tex]\qquad -2\left[\left(x-6\right)^2+\left(y+3\right)^2\right] \leqslant 0\\
\qquad -2\left[\left(x-6\right)^2+\left(y+3\right)^2\right]+60 \leqslant 60\\
\qquad \boxed{2\left(PB\right)^2-\left(PA\right)^2-3\left(PC\right)^2} \textcolor{red}{\leqslant} 60 \,.[/tex]

Dessa forma, o maior valor assumido pela expressão [tex]\boxed{2\left(PB\right)^2-\left(PA\right)^2-3\left(PC\right)^2}[/tex] é [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$60$}\,.[/tex]
Uma informação complementar:
Veja que a expressão [tex]\boxed{2\left(PB\right)^2-\left(PA\right)^2-3\left(PC\right)^2}[/tex] assume o valor [tex]60[/tex] somente quando [tex]\left(x-6\right)^2+\left(y+3\right)^2 = 0[/tex] e, neste caso, temos [tex]x=6[/tex] e [tex]y=-3[/tex].
Dessa forma, o maior valor da expressão [tex]\boxed{2\left(PB\right)^2-\left(PA\right)^2-3\left(PC\right)^2}[/tex] ocorre quando o ponto [tex]P[/tex] tem coordenadas [tex](6,-3)\,.[/tex]
Você pode verificar essa informação utilizando o applet disponibilizado a seguir.



Um applet para ajudar


No applet abaixo, você visualizará o triângulo [tex]ABC[/tex] e um ponto [tex]P[/tex]. Movimentando [tex]P[/tex], em cada posição o aplicativo fornecerá os comprimentos dos segmentos [tex]\overline{PA}[/tex], [tex]\overline{PB}[/tex] e [tex]\overline{PC}[/tex], além dos valores correspondentes da expressão [tex]\boxed{2\left(PB\right)^2-\left(PA\right)^2-3\left(PC\right)^2}[/tex]. Com isso, você poderá visualizar e comprovar a resposta do problema e a informação complementar dada no final da solução.

Instruções:
(1) Espere o aplicativo carregar completamente.
(2) Clique no ponto P, mantenha o mouse pressionado e faça movimentos.
(3) Para retornar à posição inicial, clique no centro das setinhas circulares que aparecem no canto superior direito do aplicativo.


OBMEP_ srdg, criado com o GeoGebra



Para aprender mais…



Um ponto de vista
Vídeo da coleção de recursos educacionais da M³ Matemática Multimídia,
desenvolvida pela Unicamp com financiamento do FNDE, SED, MCT e MEC.


Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

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