.Sala para leitura_014: Completamento de quadrado

Completamento de quadrado


O completamento de quadrado é um procedimento algébrico que responde basicamente à seguinte pergunta:

  • Se [tex]a[/tex] é um número real não nulo, qual o valor de [tex]k[/tex] que devemos somar à expressão [tex]x^2+ax[/tex] de modo a obter um quadrado perfeito?

Estamos perguntando qual o valor de [tex]\boxed{k}[/tex] tal que [tex]x^2+ax+\boxed{k}=(x+b)^2[/tex], para algum [tex]b \in \mathbb{R}[/tex]. Por exemplo,

  • Qual o valor de [tex]k[/tex] tal que [tex]x^2+7x+k=(x+b)^2[/tex], para algum [tex]b \in \mathbb{R}?[/tex]
  • Qual o valor de [tex]k[/tex] tal que [tex]x^2+38x+k=(x+b)^2[/tex], para algum [tex]b \in \mathbb{R}?[/tex]

Parece complicado, mas é algo extremamente simples e útil em algumas situações algébricas e geométricas; e a resposta é:

Não decore fórmulas, faça simplesmente as continhas…

  • No primeiro exemplo, queremos determinar [tex]k[/tex] de modo que [tex]x^2+7x+k=(x+b)^2[/tex], para algum [tex]b \in \mathbb{R}.[/tex] Então, vamos lá, como
    [tex]\qquad x^2+7x+k=(x+b)^2 \iff x^2+7x+k=x^2+2bx+b^2[/tex],
    igualando os termos semelhantes obtemos que
    [tex]\qquad \begin{cases} 2b=7 \\ \\ k=b^2 \end{cases}[/tex],
    donde
    [tex]\qquad \begin{cases} b=\dfrac{7}{2} \\ \\ k=\dfrac{49}{4} \end{cases}[/tex]
    e, assim,
    [tex]\qquad x^2+7x+\dfrac{49}{4}=\left(x+\dfrac{7}{2}\right)^2[/tex].
    Observem que no processo obtemos não só o valor de [tex]k[/tex], como também o de [tex]b[/tex].
  • No segundo exemplo, vamos determinar o valor de [tex]k[/tex] tal que [tex]x^2+38x+k=(x+b)^2[/tex], para algum [tex]b \in \mathbb{R}.[/tex] Vamos lá.
    [tex]\qquad x^2+38x+k=(x+b)^2 \iff x^2+38x+k=x^2+2bx+b^2[/tex],
    assim, igualando os termos semelhantes, obtemos
    [tex]\qquad \begin{cases} 2b=38 \\ k=b^2 \end{cases}[/tex].
    Com isso,
    [tex]\qquad \begin{cases} b=19 \\ k=361 \end{cases}[/tex]
    e [tex]~~ \boxed{x^2+38x+361=\left(x+19 \right)^2}[/tex].

A necessidade de se realizar um completamento de quadrado não vem anunciada. Quase sempre utilizamos a técnica como um recurso para simplificar determinados cálculos ou problemas.
Por exemplo, podemos utilizar o segundo completamento de quadrado que fizemos para resolver a equação do segundo grau [tex]x^2+38x+1=0[/tex].
Com efeito, de [tex]x^2+38x+1=0[/tex] segue que:
[tex]\qquad x^2+38x=-1[/tex]
[tex]\qquad x^2+38x+361=-1+361[/tex]
[tex]\qquad \left(x+19 \right)^2=360[/tex]
[tex]\qquad x+19=\pm \sqrt{360}[/tex]
[tex]\qquad x=-19\pm \sqrt{360}=-19\pm 6 \sqrt{10}[/tex].
Assim [tex]\boxed{x=-19+6 \sqrt{10}}[/tex] ou [tex]\boxed{x=-19-6 \sqrt{10}}[/tex].



Equipe COM – OBMEP



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