.Problema para ajudar na escola: Algarismos repetidos

Problema
(A partir da 1ª série do E. M. – Nível de dificuldade: Médio )


Quantos números de cinco algarismos têm no mínimo um algarismo repetido?

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Ajuda

Princípio Fundamental da Contagem, ou Princípio Multiplicativo: Se

  • um evento E1 puder ocorrer de [tex] m_1 [/tex] maneiras,
  • um evento E2 puder ocorrer de [tex]m_2 [/tex] maneiras,
  • um evento E3 puder ocorrer de [tex]m_3 \, [/tex] maneiras,
  • [tex]\cdots[/tex]
  • um evento Ek puder ocorrer de [tex]m_k [/tex] maneiras

e todos esses eventos forem independentes entre si, então a quantidade de maneiras em que os [tex]k[/tex] eventos ocorrem ao mesmo tempo é
[tex]\qquad \qquad \boxed{m_1\times m_2 \times \cdots \times m_k} \, .[/tex] (Se você não se lembra desse Princípio, clique AQUI.)

Solução


Quando analisamos os números naturais com cinco algarismos, podemos dividi-los em dois grupos disjuntos:

  • os que não têm algarismos repetidos,
  • os que têm, pelo menos, um algarismo repetido.

Assim, se [tex]T[/tex] é o total de números naturais com cinco algarismos, [tex]S[/tex] é o total de números naturais com cinco algarismos sem algarismos repetidos e [tex]R[/tex] é o total de números naturais com cinco algarismos com pelo menos um algarismo repetido, então [tex]T=R+S.[/tex] Dessa forma, uma das maneiras de resolvermos o problema é determinarmos [tex]T[/tex] e [tex]S[/tex] e fazermos a diferença [tex]T-S.[/tex]

  • Quantidade de números naturais com cinco algarismos
  • Observe que em um número com cinco algarismos:

    temos [tex]9[/tex] possibilidades para a primeira posição: [tex]1 \, , \, 2 \, , \, \cdots \, , \, 9[/tex], já que essa posição não pode ser ocupada pelo zero (por exemplo, o número [tex]05273[/tex] tem quatro e não cinco dígitos);
    para cada uma das demais posições, temos [tex]10[/tex] possibilidades: [tex]0 \, , \, 1 \, , \, 2 \, , \, \cdots \, , \, 9.[/tex]

    [tex]\begin{array}{c c c c c }
    \underline{\text{ 9 escolhas }}&\underline{\text{ 10 escolhas }}&\underline{\text{ 10 escolhas }}&\underline{\text{ 10 escolhas }} &\underline{\text {10 escolhas }}\\
    \text{ dezena de milhar }&\text{ unidade de milhar }&\text{ centena }&\textrm{ dezena } & \textrm{ unidade }
    \end{array}[/tex]

    Assim, pelo Princípio Fundamental da Contagem, existem [tex]9 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10=90 \, 000[/tex] números naturais com cinco algarismos e, portanto, [tex] \, \fcolorbox{black}{#cfdef9}{$T=90 \, 000 \, $} \, .[/tex]

  • Quantidade de números naturais com cinco algarismos, sem algarismos repetidos
  • Observe que em um número com cinco algarismos:

    Para o primeiro dígito temos as opções: [tex] 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 \, [/tex] e [tex] \, 9[/tex]. São nove opções.
    Para o segundo dígito temos as opções de [tex] \, 0 \, [/tex] a [tex] \, 9 \, [/tex], exceto o algarismo que foi usado para o primeiro dígito: nove opções.
    Para o terceiro dígito temos as opções de [tex] \, 0 \, [/tex] a [tex] \, 9 \, [/tex], exceto os algarismos que foram usados no primeiro e no segundo dígitos: oito opções.
    Para o quarto dígito temos novamente as opções de [tex] \, 0 \, [/tex] a [tex] \, 9 \, [/tex], exceto os algarismos que foram usados no primeiro, no segundo e no terceiro dígitos: sete opções.
    Para o quinto dígito temos também as opções de [tex] \, 0 \, [/tex] a [tex] \, 9 \, [/tex], exceto os algarismos que foram utilizados nos primeiros dígitos. São [tex] \, 10-4=6 \, [/tex] opções.

    [tex]\begin{array}{c c c c c }
    \underline{\text{ 9 escolhas }}&\underline{\text{ 9 escolhas }}&\underline{\text{ 8 escolhas }}&\underline{\text{ 7 escolhas }} &\underline{\text {6 escolhas }}\\
    \text{ dezena de milhar }&\text{ unidade de milhar }&\text{ centena }&\textrm{ dezena } & \textrm{ unidade }
    \end{array}[/tex]

    Utilizando mais uma vez o Princípio Fundamental da Contagem, concluímos que existem [tex]9 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 =27 \, 216[/tex] números naturais com cinco algarismos não repetidos e, portanto, [tex] \, \fcolorbox{black}{#cfdef9}{$S=27 \, 216 \, $} \, .[/tex]

  • Finalizando, temos então [tex] \, \fcolorbox{black}{#d7d7d7}{$R= 90 \, 000 \, – \, 27 \, 216 = 62 \, 784 \, $} \, [/tex] números de cinco dígitos com pelo menos um algarismo repetido.

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

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