.Números especiais – números perfeitos

O que são números perfeitos?

Quem se interessa pela matemática sabe do fascínio dos Pitagóricos por números e, por acreditarem que “número” seria o conceito fundamental do universo, eles classificavam os números naturais de várias formas. E é na busca da perfeição que os Pitagóricos criaram os números que aqui iremos estudar: os números perfeitos, aqueles que se igualam à soma de suas partes.

Definição: Um número natural [tex]n[/tex], [tex]n\gt 1[/tex], é dito perfeito se for igual à soma de seus divisores naturais próprios.
Divisores naturais próprios de um número natural [tex]n[/tex] são todos os divisores naturais de [tex]n[/tex], exceto o próprio [tex]n[/tex].

Assim, para sabermos se um número natural [tex]n\gt 1[/tex] é perfeito, temos que:

● encontrar todos os divisores de [tex]n[/tex] (tarefa não trivial na maioria dos casos);
● somar todos os divisores de [tex]n[/tex], exceto [tex]n[/tex];
● verificar se a soma obtida é [tex]n[/tex] ou não.

Os quatro primeiros números perfeitos são:

✓ 6 = 1 + 2 + 3
✓ 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14
✓ 496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248
✓ 8128 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064

Esses quatro números perfeitos já eram conhecidos pelos gregos antigos desde, pelo menos, Euclides. O quinto número da lista só foi encontrado no século XV. Até Euler saiu à caça de números perfeitos e encontrou, em 1772, o 2.305.843.008.139.952.128, que reinou como o maior número perfeito até que o próximo aparecesse, em 1883.
Os dez menores números perfeitos são os seguintes:

✓ 6
✓ 28
✓ 496
✓ 8.128
✓ 33.550.336
✓ 8.589.869.056
✓ 137.438.691.328
✓ 2.305.843.008.139.952.128
✓ 2.658.455.991.569.831.744.645.692.615.953.842.176
✓ 191.561.942.608.236.107.294.793.378.084.303.638.130.997.321.548.169.216

Os números perfeitos não são comuns, até o momento somente 49 números perfeitos são conhecidos, e apenas com o aparecimento dos computadores foi possível encontrar grandes números perfeitos. Bem, se você se impressionou com os 54 dígitos do décimo número perfeito, descoberto em 1911, saiba que 39 números perfeitos maiores do que ele já foram descobertos. O mais recente entrou para a lista dos maiores números perfeitos já descobertos em janeiro de 2016 e tem mais de 44 milhões de dígitos: 2^74207280 × (2^74207281 – 1).

Para descontrair…

Criação de Marlon Tenório

Um pouco da história dos números perfeitos

A história dos números perfeitos começa com os Pitagóricos que postulavam dois tipos diferentes de número perfeito. O primeiro tipo tinha o número 10 como único representante e a perfeição vinha do fato de este número ser o resultado da soma dos quatro primeiros números naturais: 1 + 2 + 3 + 4 = 10. O segundo tipo era constituído dos números naturais que se igualam à soma de suas partes, tema desta Sala de Estudo.
O próximo personagem entra nesta pequena história dos números perfeitos em, mais ou menos, 300 anos a.C.: Euclides. No IX livro dos Elementos aparece, além da definição de números perfeitos, uma proposição acerca desses números:

“Se tantos números quantos quisermos, começando com a unidade, forem colocados continuamente em dupla proporção até que a soma de todos seja um número primo, e se a soma for multiplicada pelo último, então o produto será um número perfeito”.

Em linguagem e notação atuais, a proposição afirma que:

Considere a sequência 1 2¹ 2² 2³ … 2^n-1.
Se a soma 1 + 2¹ + 2² + 2³ + … + 2^n-1 (que, como sabemos, é 2ⁿ – 1) for um número primo, então 2^n-1 × (2ⁿ – 1) é um número perfeito.

Outro matemático que também se ocupou com os números perfeitos foi Nicomachus de Gerasa (60-120). Este matemático cometeu erros e acertos ao fazer inferências sobre o tema, a partir dos quatro números perfeitos conhecidos naquela época. Por exemplo, Nicomachus acreditava que o quinto número perfeito teria 5 algarismos, no entanto, como mostrado acima, o quinto número perfeito tem 8 algarismos. Nicomachus também acreditava que os números perfeitos terminariam com os algarismos 6 ou 8 alternadamente. Como veremos mais adiante, todo número perfeito termina com 6 ou 8, mas os exemplos acima mostram que isso não ocorre alternadamente. Mais uma previsão não concretizada: a partir da fórmula descrita por Euclides, Nicomachus afirmara que o quinto número perfeito corresponderia ao primo 11, já que os primeiros perfeitos haviam sido gerados pelos primeiros números primos:

✓ 6 = 2^2-1 × (2² – 1) ;
✓ 28 = 2^3-1 × (2³ – 1) ;
✓ 496 = 2^5-1 × (2⁵ – 1) ;
✓ 8128 = 2^7-1 × (2⁷ – 1) .

Porém 2^11-1 × (2¹¹ – 1) não é perfeito e o quinto perfeito é gerado por 13: 33550336= 2^13-1 × (2¹³ – 1).
Ao longo da história dos números perfeitos, a perfeição dos números 6 e 28 foi reverenciada por outras culturas que observavam que a Lua demora 28 dias para dar uma volta completa sobre a Terra e que Deus teria criado o mundo em 6 dias. Santo Agostinho (354 – 430) afirma em seu livro A Cidade de Deus que:

“O número é perfeito em si mesmo e não porque Deus criou todas as coisas em seis dias. O inverso é mais verdadeiro, Deus criou todas as coisas em seis dias porque este número é perfeito. E continuaria perfeito mesmo que o trabalho de seis dias não existisse.”

Por volta do ano 1.000, o físico e matemático árabe Abu Ali al-Hasan ibn al-Haytham (965 – 1040), conhecido como Alhazen, teria percebido que a recíproca da proposição de Euclides sobre números perfeitos era válida, sem, no entanto, conseguir demonstrá-la.
A validade da recíproca da afirmação provada por Euclides de que se 2ⁿ – 1 for um número primo, então 2^n-1 × (2ⁿ – 1) é um número perfeito foi, finalmente, provada no século XVIII, pelo matemático suíço Leonhard Euler. Em notação atual, Euler provou que todos os números perfeitos pares são da forma 2^n-1 × (2ⁿ – 1) , ou seja,

Se m é um número par que é perfeito, então m é da forma 2^n-1 × (2ⁿ – 1), para algum natural n tal que 2^n-1 seja um número primo.

Pronto, o cerco aos pares perfeitos estava fechado, pois a busca por números pares perfeitos se resume, agora, à busca por números primos da forma 2^n-1, já que “se 2^n-1 for primo, então 2^n-1 × (2ⁿ – 1) é perfeito”. Os primos da forma 2^n-1 são conhecidos como Primos de Mersenne, em homenagem ao monge matemático francês Marin Mersenne (1588 – 1648), que estudou esses números.
Na história dos números perfeitos, encontramos, também, o matemático francês François Édouard Anatole Lucas (1842-1891), criador da famosa Torre de Hanói. Édouard Lucas refinou a afirmação de Nicomachus de que os números perfeitos terminariam em 6 ou 8 provando que os números perfeitos pares terminam em 16, ou 28, ou 36, ou 56, ou 76, ou 96. Em 1876 ele também provou que
2¹²⁷ – 1 = 170141183460469231731687303715884105727
é primo, e este continua sendo o maior número primo descoberto sem a ajuda de um computador. Ele tem 39 dígitos e gerou o seguinte número perfeito:
2¹²⁶ × (2¹²⁷ – 1) =14474011154664524427946373126085988481573677491474835889066354349131199152128 .

Com o surgimento dos computadores, a busca por números primos de Mersenne se intensificou. Vários primos de Mersene e, consequentemente, vários números perfeitos foram encontrados. No entanto, duas perguntas sobre números perfeitos permanecem sem resposta até este momento:

Todos os números perfeitos são pares?

Existem infinitos números perfeitos?

O que se pode afirmar sobre a existência de números perfeitos ímpares é que, se existirem, o menor deles é muuuuuuuuuuuuuuuuuuito grande: com, pelo menos, 300 dígitos e com muitos fatores primos.

A matemática dos números perfeitos

Destacaremos aqui a matemática que apareceu na breve história que contamos sobre os números perfeitos. Para iniciar, vamos escrever de forma mais, digamos, matemática a definição de números perfeitos.
Lembramos que número natural chama-se perfeito se for igual à soma de seus divisores naturais próprios. Assim, se utilizarmos a letra grega [tex]\sigma[/tex] (sigma minúsculo) e denotarmos a soma de todos os divisores positivos de um número natural [tex]n\gt 1[/tex] por [tex]\sigma (n)[/tex], então a soma dos divisores naturais próprios de [tex]n[/tex], com exceção de [tex]n[/tex], será [tex]\sigma (n)-n[/tex] e, portanto, [tex]n[/tex] será perfeito se, e somente se, [tex]n=\sigma (n)-n[/tex], ou ainda, [tex]\sigma (n)=2n[/tex].
Dessa forma, podemos reescrever assim a definição de número perfeito:

Um número natural não nulo [tex]n[/tex], [tex]n\gt 1[/tex], é dito perfeito se, e somente se, [tex]\sigma (n)=2n[/tex].

Uma condição suficiente para que um número par seja perfeito é a proposição 36 do livro X da obra “Os Elementos” de Euclides, enunciada a seguir.

Teorema de Euclides: Se [tex]2^n – 1[/tex] for um número natural primo, então o número natural [tex]m=2^{n-1}\times (2^n-1) [/tex] é um perfeito.

Mais do que uma regra para se obter números perfeitos, o Teorema de Euclides é a única forma de se obter números perfeitos pares, conforme garantiu Leonard Euler.

Teorema de Euler: Se [tex]m[/tex] é um número perfeito par, então [tex]m=2^{n-1}\times (2^n-1) [/tex], para algum número natural [tex]n[/tex] tal que [tex]p= 2^n – 1[/tex] é um número primo.

Assim temos uma condição necessária e suficiente para um número natural par ser perfeito. Esse resultado é conhecido como Teorema de Euclides-Euler.

Teorema de Euclides-Euler: Um número natural [tex]m[/tex] é um número perfeito par se, e somente se, [tex]m=2^{n-1} \times (2^n-1) [/tex], sendo [tex]2^n – 1[/tex] um número natural primo.

Sabemos que os números pares são os múltiplos de 2, assim são números que terminam em 0, 2, 4, 6 ou 8. Mas para os números perfeitos pares temos apenas duas opções de algarismos da unidade.

Todo número perfeito par termina em 6 ou 8.

As justificativas desses resultados utilizam propriedades específicas de números primos que não são trabalhadas nos ensinos fundamental e médio e, portanto, estão além dos objetivos desta sala. Quando abrirmos uma Sala de Estudos sobre números primos, certamente voltaremos a tratar deste assunto.
Particularmente, o Teorema de Euclides admite uma demonstração que pode ser feita utilizando ferramentas matemáticas desenvolvidas na sala Um pouco sobre divisibilidade. Para acompanhar a demonstração, é só clicar no botão abaixo.

Os números imperfeitos . . .

Se um número natural [tex]n[/tex], [tex]n\gt 1[/tex], não é perfeito significa que esse número não é igual à soma de seus divisores próprios, ou seja, [tex]\sigma(n)\ne 2n[/tex].
Mas sabemos que [tex]\sigma(n)\ne 2n[/tex] significa que ou [tex]\sigma(n)\lt 2n[/tex] ou [tex]\sigma(n)\gt 2n[/tex]; com isso, um número natural não nulo que não seja perfeito pode ser classificado, matematicamente, a partir dessas duas condições, de acordo com as duas próximas definições.

Definição: Um número natural [tex]n[/tex], [tex]n\gt 1[/tex], é dito deficiente se a soma de seus divisores próprios é inferior a ele.

Definição: Um número natural [tex]n[/tex], [tex]n\gt 1[/tex], é dito abundante se a soma de seus divisores próprios é superior a ele.

Portanto, ao compararmos um número natural [tex]n[/tex] com a soma de seus divisores, [tex]\sigma (n)[/tex], podemos ter três situações distintas e excludentes:

• [tex]2n=\sigma(n)[/tex]: o número [tex]n[/tex] é perfeito;
• [tex]2n\lt \sigma(n)[/tex]: o número [tex]n[/tex] é abundante;
• [tex]2n\gt \sigma(n)[/tex]: o número [tex]n[/tex] é deficiente.

Por exemplo:

● 8 é deficiente, já que [tex]\sigma(8)=1+2+4+8=15\lt 16=2\times 8[/tex];
● 12 é abundante, já que [tex]\sigma(12)=1+2+3+4+6+12=28\gt24= 2\times 12[/tex];
● 13 é deficiente, já que [tex]\sigma(13)=1+13=14\lt 26=2\times 13[/tex];
● 18 é abundante, já que [tex]\sigma(18)=1+2+3+6+9+18=39\gt 36=2\times 18[/tex].

Dentre os números deficientes podemos encontrar os quase perfeitos! Vejam a definição a seguir.

Definição: Um número natural [tex]n[/tex], [tex]n\gt 1[/tex], é dito quase perfeito se a soma de seus divisores próprios é o seu antecessor.
De acordo com a notação acima definida, um número natural [tex]n[/tex] é quase perfeito se [tex]\sigma(n)-n=n-1[/tex] (ou ainda, [tex]\sigma(n)=2n-1[/tex]).

Observem exemplos de números quase perfeitos:

● 4 é quase perfeito, pois [tex]\sigma(4)-4=1+2=3 \, [/tex] e 3 é o antecessor de 4;
● 8 é quase perfeito, pois [tex]\sigma(8)-8=1+2+4=7 \, [/tex] e 7 é o antecessor de 8;
● 16 é quase perfeito, pois [tex]\sigma(16)-16=1+2+4+8=15 \, [/tex] e 15 é o antecessor de 16.

Agora, dentre os números abundantes podemos encontrar os multiperfeitos! Vejam a definição a seguir.

Definição: Um número natural [tex]n[/tex], [tex]n\gt 1[/tex], é dito multiperfeito de ordem [tex]k[/tex] se [tex]\sigma(n)=kn[/tex], para algum número natural [tex]k[/tex], com [tex]k\ge 3[/tex].
Assim, um multiperfeito divide a soma dos seus divisores e o quociente dessa divisão é a sua multiplicidade ou ordem.

O número 120, por exemplo, é um multiperfeito de multiplicidade, ou ordem, 3, já que

[tex]\begin{array}{c} \hspace{1.6 cm} \end{array} \begin{array}{l} \, \fcolorbox{black}{#d2e4c5}{1} \, \\ \hline \end{array}[/tex]
[tex] \begin{array}{r|l} 120 & 2 & \fcolorbox{black}{#d2e4c5}{2}
\\ 60 & 2 & \fcolorbox{black}{#d2e4c5}{$4$}
\\ 30 & 2 & \fcolorbox{black}{#d2e4c5}{$8$}
\\ 15 & 3 & \fcolorbox{black}{#d2e4c5}{$3$}\quad \fcolorbox{black}{#d2e4c5}{$6$}\quad \fcolorbox{black}{#d2e4c5}{$12$}\quad \fcolorbox{black}{#d2e4c5}{$24$}
\\ 5 & 5 & \fcolorbox{black}{#d2e4c5}{$5$}\quad \fcolorbox{black}{#d2e4c5}{$10$}\quad \fcolorbox{black}{#d2e4c5}{$20$}\quad \fcolorbox{black}{#d2e4c5}{$40$}\quad \fcolorbox{black}{#d2e4c5}{$15$}\quad \fcolorbox{black}{#d2e4c5}{$30$}\quad \fcolorbox{black}{#d2e4c5}{$60$}\quad \fcolorbox{black}{#d2e4c5}{$120$}\\ 1
\end{array}[/tex]

e
[tex]\sigma(120)=1+2+3+4+5+6+8+10+12+15+20+24+30+40+60+120\\
\sigma(120)=360=3\times 120.[/tex]