.Diagrama de Venn – Problemas de raciocínio lógico

• alunos que acertaram as duas questões: [tex]50[/tex];
• [tex]100[/tex] alunos acertaram a primeira questão, mas destes [tex]50[/tex] acertaram as duas; assim, [tex]100-50=50[/tex] acertaram apenas a primeira;
• [tex]90[/tex] alunos acertaram a segunda questão, mas destes [tex]50[/tex] acertaram as duas; assim, [tex]90-50=40[/tex] acertaram apenas a segunda;

Observamos, então, que [tex]50+50+40=140[/tex] alunos acertaram pelo menos uma das duas questões da avaliação. Como [tex]200[/tex] alunos fizeram a avaliação, então [tex]200-140=60[/tex] alunos erraram as duas questões.

Observe na figura que:

• [tex]20[/tex] corresponde à quantidade de pessoas que se informavam pelos dois sites;
• A região alaranjada corresponde à quantidade de pessoas que se informavam apenas pelo site A: [tex]100-20=80[/tex];
• A região azul corresponde à quantidade de pessoas que se informavam apenas pelo site B: [tex]150-20=130[/tex].
• A região branca corresponde à quantidade de pessoas que não se informavam por nenhum dos dois sites: [tex]110[/tex].

Dessa forma, foram consultadas na pesquisa um total de [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$80 + 20 + 130 + 110 = 340$}[/tex] pessoas e, portanto, a alternativa correta é a [tex]C.[/tex]

• como nenhum entrevistado gosta de "Rock e MPB" ou "exatamente dos três gêneros", vamos deixar em branco a parte do diagrama relativa a essas duas opções;
• alunos que gostam de Rock e Pop: [tex]93[/tex];
• alunos que gostam de Pop e MPB: [tex]52[/tex];
• os alunos que gostam de Pop somam [tex]320[/tex], mas destes [tex]52[/tex] também gostam de MPB e [tex]93[/tex] também gostam de Rock; assim, [tex]320-52-93=175[/tex] gostam apenas de Pop;
• os alunos que gostam de MPB somam [tex]116[/tex], mas destes já sabemos que [tex]52[/tex] também gostam de Pop; assim, [tex]116-52=64[/tex] gostam apenas de MPB;
• os alunos que gostam de Rock somam [tex]416[/tex] e destes também sabemos que [tex]93[/tex] também gostam de Pop; assim, [tex]416-93=323[/tex] gostam apenas de Rock.

Como os dados não registram pessoas que não gostem de algum dos três gêneros, o diagrama está pronto e concluímos que foram entrevistados [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$175+93+323+52+64=707$}[/tex] alunos.

• [tex]100[/tex] pessoas estão na parte comum aos conjuntos E, N e H.

(2) Em seguida, o dado mais restritivo é sobre o número de pessoas que assistem a dois tipos de programas. São esses os dados que preencheremos agora.

• Assistem a esportes e novelas [tex]220[/tex] pessoas, mas destas [tex]100[/tex] já foram indicadas em (1); logo, assistem a apenas esportes e novelas [tex]\boxed{220-100=120}[/tex] pessoas.
• Assistem a esportes e humorismo [tex]180[/tex] pessoas, mas destas [tex]100[/tex] também já foram indicados em (1); logo, assistem a apenas esportes e humorismo [tex]\boxed{180-100=80}[/tex] pessoas.
• Assistem a novelas e humorismo [tex]800[/tex] pessoas, mas destas [tex]100[/tex] também já foram indicados em (1); logo, assistem a apenas novelas e humorismo [tex]\boxed{800-100=700}[/tex] pessoas.

(3) Agora vamos nos preocupar com os dados relativos aos telespectadores que assistem a apenas um dos três tipos de programa da pesquisa.

• Segundo os dados, [tex]400[/tex] pessoas assistem a esportes: dessas [tex]100[/tex] assistem aos três tipos de programas, [tex]120[/tex] assistem a apenas "esportes e novelas" e [tex]80[/tex] apenas a "esportes e humorismo". Portanto, assistem somente a programas de esporte [tex]\boxed{400-100-120-80=100}[/tex] pessoas.
• Os dados indicam que [tex]1220[/tex] pessoas assistem a novelas e dessas [tex]100[/tex] assistem aos três tipos de programas, [tex]120[/tex] assistem a apenas "esportes e novelas" e [tex]700[/tex] a apenas "novelas e humorismo"; portanto, assistem somente a novelas [tex]\boxed{1220-100-120-700=300}[/tex] pessoas.
• Finalmente, temos que [tex]1080[/tex] pessoas assistem a programa de humor. Dessas [tex]100[/tex] assistem aos três tipos de programas, [tex]80[/tex] assistem apenas a "humor e esportes" e [tex]700[/tex] apenas a "novelas e humorismo"; logo, assistem somente a programas de humor [tex]\boxed{1080-100-80-700=200}[/tex] pessoas.

Excluindo do total de [tex]1800[/tex] pessoas aquelas já distribuídas no diagrama, conseguimos o número de pessoas que não assistem a nenhum dos três programas:
[tex]\qquad \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$1800-100-120-80-700-100-300-200=200$}[/tex] pessoas.
A alternativa correta é a [tex]A.[/tex]

• [tex]800[/tex] alunos participaram da pesquisa e [tex]800[/tex] alunos têm dificuldades em pelo menos uma das disciplinas.
• Como [tex]22[/tex] alunos apontam dificuldades em A e B e [tex]x[/tex] têm dificuldades em A, B e C, [tex]22-x[/tex] alunos têm dificuldades em A e B e não em C.
• Como [tex]90[/tex] alunos apontam dificuldades em A e C e [tex]x[/tex] têm dificuldades em A, B e C, então [tex]90-x[/tex] alunos têm dificuldades em A e C e não em B.
• Como [tex]78[/tex] alunos apontam dificuldades em B e C e [tex]x[/tex] têm dificuldades em A, B e C, então [tex]78-x[/tex] alunos têm dificuldades em B e C e não em A.
• [tex]490[/tex] alunos apontam dificuldades em A, mas [tex]x[/tex] têm dificuldades em A, B e C; [tex]22-x[/tex] têm dificuldades só em A e B e [tex]90-x[/tex] têm dificuldades só em A e C; logo, [tex]490-x-(22-x)-(90-x)=378+x[/tex] têm dificuldades apenas em A .
• [tex]320[/tex] alunos apontam dificuldades em B, mas [tex]x[/tex] têm dificuldades em A, B e C; [tex]22-x[/tex] têm dificuldades só em A e B e [tex]78-x[/tex] têm dificuldades só em B e C; logo, [tex]320-x-(22-x)-(78-x)=220+x[/tex] têm dificuldades apenas em B .
• [tex]160[/tex] alunos apontam dificuldades em C, mas [tex]x[/tex] têm dificuldades em A, B e C; [tex]90-x[/tex] têm dificuldades só em A e C e [tex]78-x[/tex] têm dificuldades só em B e C; logo, [tex]160-x-(90-x)-(78-x)=x-8[/tex] têm dificuldades apenas em C .

Pronto, temos o nosso diagrama!

Observe que a soma de todas as quantidades parciais é [tex]800[/tex], assim:
[tex]\qquad 800=x+(22-x)+(90-x)+(78-x)+(378+x)+(220+x)+(x-8)[/tex]
[tex]\qquad 800=780+x[/tex]
[tex]\qquad \boxed{x=20}[/tex].
Sendo assim, temos que [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$20$}[/tex] alunos apresentaram dificuldades nas três disciplinas.

• Se [tex]\dfrac{2}{3}[/tex] das pessoas do navio não bebem, então [tex]\dfrac{1}{3}[/tex] bebem.
  Como estão [tex] 1\, 200 [/tex] pessoas no navio, [tex]\dfrac{1200}{3}=400 [/tex] bebem.
• Se [tex]\dfrac{4}{5}[/tex] das pessoas do navio não fumam, então [tex]\dfrac{1}{5}[/tex] fumam.
  Como estão [tex] 1\, 200 [/tex] pessoas no navio, [tex]\dfrac{1200}{5}=240 [/tex] fumam.

Faremos um diagrama de Venn a partir desses novos dados. Para isso, vamos supor que [tex]x[/tex] seja o número de pessoas do navio que fumam e bebem; assim:

• como [tex]400[/tex] pessoas bebem e [tex]x[/tex] "fumam e bebem", então [tex]400-x[/tex] só bebem.
• como [tex]240[/tex] pessoas fumam e [tex]x[/tex] "fumam e bebem", então [tex]240-x[/tex] só fumam.
• [tex]680[/tex] pessoas não bebem e não fumam, segundo os dados do problema.

Observamos pelo diagrama que [tex]1200=x+(400-x)+(240-x)+680[/tex] e, com isso:
[tex]\qquad 1200=x+400-x+240-x+680[/tex]
[tex]\qquad 1200=1320-x[/tex]
[tex]\qquad x=1320-1200[/tex]
[tex]\qquad \boxed{x=120}[/tex] .
Portanto, no navio há [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$120$}[/tex] pessoas que bebem e fumam.

Solução 2:
Vamos calcular a quantidade correspondente aos [tex]\dfrac{2}{3}[/tex] dos passageiros que não bebem e os [tex]\dfrac{4}{5}[/tex] que não fumam:

[tex] \textcolor{#800000}{(i)}[/tex] Com o auxílio da figura abaixo, perceba que:

• o conjunto dos passageiros que não bebem é o complementar do conjunto dos passageiros que bebem
• o "conjunto dos passageiros que não bebem" contém o "conjunto dos passageiros que não bebem e que não fumam".

Dessa forma, a diferença [tex]800-680=120[/tex] é o número de passageiros que fumam e não bebem.

[tex] \textcolor{#800000}{(ii)}[/tex] Agora, com o auxílio da próxima figura, perceba que:

• o conjunto dos passageiros que não fumam é o complementar do conjunto dos passageiros que fumam
• o "conjunto dos passageiros que não fumam" contém o "conjunto dos passageiros que não bebem e que não fumam".

Dessa forma, a diferença [tex]960-680=280[/tex] é o número de passageiros que bebem e não fumam.

Dessa forma, se denotarmos por [tex]m[/tex] o número de passageiros que fumam e bebem, teremos o próximo diagrama.

Esse gráfico nos mostra que:
[tex]\qquad 1200=280+m+120+680[/tex]
[tex]\qquad 1200=1080+m[/tex]
[tex]\qquad m=1200-1080[/tex]
[tex]\qquad \boxed{m=120}[/tex].
Portanto, no navio existem [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$120$}[/tex] pessoas que bebem e fumam.

• a probabilidade é dada pelo quociente entre o “número de casos favoráveis” e “número total de casos”:

• o espaço amostral do problema é formado pelos alunos da escola que não falam inglês; portanto, o número de casos possíveis é a "quantidade de alunos da escola que não falam inglês";
• o número casos favoráveis é a "quantidade de alunos da escola que não falam inglês e falam espanhol".

Utilizaremos um diagrama de Venn para visualizarmos melhor os dados do problema e calcularmos essas duas quantidades. Vamos lá!
Dos [tex]1\, 200[/tex] alunos da escola, [tex]300[/tex] não falam nenhuma língua; logo, [tex]1200-300 = 900[/tex] alunos falam pelo menos uma língua. Desses, [tex]600[/tex] falam inglês, [tex]500[/tex] falam espanhol e certa quantidade, que denotaremos por [tex]x[/tex], falam as duas línguas.
Vamos montar o nosso diagrama de Venn a partir dessas duas informações. Nesse diagrama:

► [tex]I[/tex] indicará o conjunto dos alunos da escola que falam inglês;
► [tex]E[/tex] indicará o conjunto dos alunos da escola que falam espanhol;
► [tex]A[/tex] indicará o conjunto universo, ou seja, o conjunto de todos os alunos da escola.

Observe que:

• Como [tex]600[/tex] alunos falam inglês e [tex]x\, [/tex] falam "inglês e espanhol", então [tex]600-x[/tex] alunos falam somente inglês.
• Como [tex]500[/tex] alunos falam espanhol e [tex]x\, [/tex] falam "inglês e espanhol", então [tex]500-x[/tex] alunos falam somente espanhol .

Sendo assim, segue que:
[tex] \qquad (600-x)+(500-x)+x+300=1200[/tex]
[tex] \qquad 1400-x=1200[/tex]
[tex] \qquad \boxed{x=200}\, .[/tex]

Com isso, finalizamos o nosso diagrama de Venn e podemos calcular a probabilidade solicitada no problema:

• Casos possíveis: alunos da escola que não falam inglês
  [tex] \qquad cp= \textcolor{red}{300} + \textcolor{#FFA500}{300}[/tex]
  [tex] \qquad \boxed{cp=600}[/tex]
  ou, de outra forma,
  [tex] \qquad cp= 1200 -(\textcolor{00BFFF}{400}+200)[/tex]
  [tex] \qquad \boxed{cp=600}[/tex].
• Casos favoráveis: alunos da escola que não falam inglês e falam espanhol
  [tex] \qquad \boxed{cf=300}[/tex].
• Probabilidade:
  [tex]\qquad P=\dfrac{cf}{cp}=\dfrac{300}{600}[/tex]
  [tex]\qquad\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$P=\dfrac{1}{2}$}[/tex] .

Alternativa correta: [tex](A).[/tex]

• [tex]7[/tex] elementos pertencem apenas ao conjunto [tex]A[/tex].
• [tex]10[/tex] elementos pertencem apenas ao conjunto [tex]B[/tex].
• [tex]13[/tex] elementos pertencem apenas ao conjunto [tex]C[/tex].
• Pelo menos um elemento pertence simultaneamente aos três conjuntos: já vamos marcá-lo na respectiva região, embora não saibamos ainda se existem outros elementos que pertencem simultaneamente aos três conjuntos.
• Como os três conjuntos juntos têm [tex]40[/tex] elementos e os demais elementos ainda não distribuídos pertencem a dois ou a três dos conjuntos [tex]A,B,C[/tex], então o conjunto universo do problema tem [tex]40[/tex] elementos e o número de elementos que não pertencem a [tex]A[/tex], nem a [tex]B[/tex] e nem a [tex]C[/tex] é zero.
• Para o preenchimento de três das regiões definidas no diagrama não temos informações.

Note que faltam ser distribuídos entre as regiões assinaladas com o símbolo de interrogação (?) um total de [tex]40-(7+10+13+1)=9[/tex] elementos.
A distribuição desses [tex]9[/tex] elementos deve ser feita de modo que "a diferença entre a quantidade total de elementos de um dos três conjuntos e quantidade total de elementos de outro dos três conjuntos" seja a maior possível. E para que isso aconteça devemos fazer a diferença entre os conjuntos que, após a distribuição, ficarem com a maior e a menor quantidade de elementos.
Vamos então determinar a quantidade de elementos que cada um dos conjuntos [tex]A,B[/tex] e [tex]C[/tex] têm até o momento:

• Conjunto [tex]A:\textcolor{#FF0000}{7}+\textcolor{#FF8C00}{1}=8[/tex] elementos;
• Conjunto [tex]B:\textcolor{#0000FF}{10}+\textcolor{#FF8C00}{1}=11[/tex] elementos;
• Conjunto [tex]C:\textcolor{#228B22}{13}+\textcolor{#FF8C00}{1}=14[/tex] elementos.

Antes da distribuição o conjunto [tex]A[/tex] tem o menor número de elementos e [tex]C[/tex], o maior; dessa forma, observamos que:
(1) Se o conjunto [tex]C[/tex] receber os nove elementos, ele ficará com a maior quantidade possível de elementos que um dos três conjuntos deve ter: [tex]14+9=23[/tex] elementos.
(2) Se o conjunto [tex]A[/tex] não receber mais elementos, ele ficará com a menor quantidade possível de elementos que um dos três conjuntos deve ter: [tex]8[/tex] elementos.
Finalizando, os nove elementos devem então ficar na região correspondente à interseção [tex]\boxed{C \cap B}[/tex] e, com isso, fechamos a distribuição dos [tex]9[/tex] elementos entre as regiões internas do nosso diagrama de Venn!
Portanto, a maior diferença possível solicitada no problema será dada por
[tex]\qquad\qquad \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$(13+9+1)-8=15$}[/tex]
e a alternativa correta é a [tex](D).[/tex]

• Grupo de alunos que praticam as três modalidades: [tex]5[/tex] alunos.
• São [tex]25[/tex] alunos que praticam alongamento e hidroginástica; mas, destes, [tex]5[/tex] também praticam musculação. Assim, o grupo de alunos que praticam apenas alongamento e hidroginástica é composto de [tex]25-5=20[/tex] alunos.
• São [tex]28[/tex] alunos que praticam alongamento e musculação; mas, destes, [tex]5[/tex] também praticam hidroginástica. Assim, o grupo de alunos que praticam apenas alongamento e musculação é composto de [tex]28-5=23[/tex] alunos.
• São [tex]41[/tex] alunos que praticam hidroginástica e musculação; mas, destes, [tex]5[/tex] também praticam alongamento. Assim, o grupo de alunos que praticam apenas hidroginástica e musculação é composto de [tex]41-5=36[/tex] alunos.
• São [tex]109[/tex] alunos que fazem alongamento; mas, destes, podemos retirar [tex]20[/tex] que também fazem hidroginástica, [tex]23[/tex] que também praticam musculação e [tex]5[/tex] que fazem as três modalidades. Assim, o grupo de alunos que fazem exclusivamente alongamento é composto de [tex]109-20-23-5=61[/tex] alunos.
• Dos [tex]203[/tex] alunos que fazem hidroginástica, podemos desconsiderar os [tex]20[/tex] que também fazem alongamento, os [tex]36[/tex] que também praticam musculação e os [tex]5[/tex] que fazem as três modalidades. Assim, o grupo de alunos que fazem exclusivamente hidroginástica é composto de [tex]203-20-36-5=142[/tex] alunos.
• Dos [tex]162[/tex] alunos que fazem musculação, podemos descontar os [tex]23[/tex] que também fazem alongamento, os [tex]36[/tex] que também praticam hidroginástica e os [tex]5[/tex] que fazem as três modalidades. Assim, o grupo de alunos que fazem exclusivamente musculação é composto de [tex]162-23-36-5=98[/tex] alunos.
• Temos ainda [tex]115[/tex] alunos que fazem outras modalidades.

A partir dessas informações, podemos montar o seguinte diagrama de Venn

e iniciar a análise das quatro afirmações.
(01) A pesquisa envolveu [tex]500[/tex] pessoas.
Somando todos os valores que aparecem no diagrama, temos:
[tex] \qquad 142 + 20 + 5 + 36 + 23 + 61 + 98 + 115 = 500.[/tex]
Assim, a afirmação é verdadeira, pois a pesquisa envolveu, de fato, [tex]500[/tex] pessoas.

(02) [tex]61[/tex] pessoas estavam matriculadas apenas em alongamento.
Analisando o diagrama, observamos que afirmação é verdadeira.

(03) [tex]89[/tex] pessoas estavam matriculadas em pelo menos duas das atividades indicadas na tabela.
Os que foram matriculados em pelo menos duas das atividades são aqueles que aparecem nas intersecções:
[tex] \qquad 36 + 23 + 20 + 5 = 84.[/tex]
Com isso, são [tex] 84 [/tex] pessoas praticando, pelo menos, duas das atividades. Portanto, a afirmação é falsa.

(04) O número de pessoas matriculadas apenas em hidroginástica corresponde a [tex]28,4\%[/tex] do total de pessoas envolvidas na pesquisa.
Considerando o total de [tex]500[/tex] alunos entrevistados como [tex]100\%[/tex], vamos determinar a porcentagem correspondente a [tex]142[/tex], que é o número de pessoas matriculadas apenas em hidroginástica. Para isso, utilizaremos uma regra de três simples.

Assim, a porcentagem correspondente às pessoas matriculadas apenas em hidroginástica é [tex]28,4\%[/tex], o que mostra que a afirmação é verdadeira.