Atividade: A Razão Áurea

A Razão Áurea


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I – Apresentação do Tema


Do número nasce a proporção……..
Da proporção se segue à consonância ……..
A consonância causa deleitação ……..
A nenhum sentido apraz a dissonância ……..
Unidade, igualdade e semelhança ……..
São princípios do contentamento……..
Em todos os sentidos o experimento……..
A alma na unidade glória alcança……..
Em todas as quantidades a igualdade ……..
E a perfeição remota ou a mais chegada……..
Segundo a natural autoridade……..
E assim está nas qualidades assentada……..
Da mesma maneira a semelhança……..
Diva de ser sentida e contemplada……..

Poema: O misterioso número de ouro
Livro: Camões e a Divina Proporção
Autor: Vasco Graça Moura (1942 – 2014)

Encontrada na ciência e na natureza, em diferentes formas, na obra de artistas como Salvador Dalí, de arquitetos como Le Corbusier e na arquitetura de forma geral, a razão áurea é um dos números mais famosos da matemática, há muito tempo – os gregos antigos já atribuíam a essa razão propriedades mágicas e usavam-na nas construções de seus edifícios.
A razão áurea é um número irracional, tal qual o famoso número [tex]\pi[/tex] (pi), e é também denotado por uma letra grega, o “phi” (pronunciamos fi): phi maiúsculo, [tex]\Phi[/tex], ou phi minúsculo, [tex]\varphi[/tex].
Conhecido desde a Antiguidade, o [tex]\Phi[/tex] recebeu vários títulos honoríficos: “Número Áureo”, “Razão Áurea”, “Seção Áurea”, “Proporção Áurea”, “Proporção de Ouro”, “Número de Ouro”, “Média e Extrema Razão”, “Divisão de Extrema Razão”, “Razão de Phidias” e até “Proporção Divina”, tal o fascínio que esse número exerceu sobre as pessoas!
Talvez seja difícil imaginar um número que apareça em situações tão diferentes – artes, ciências, natureza – mas, embora chegue até a ser denominado de Proporção Divina, a razão áurea é apenas um número e uma bela oportunidade de se estudar matemática!
E é com esse espírito que apresentamos o objeto central desta Sala de Atividades: [tex]\Phi[/tex]
Esse famoso objeto matemático aqui será tratado cercado de algumas de suas verdades e de alguns de seus mitos, já que nem tudo o que encontramos sobre esse número é verdadeiro!
Portanto, peguem papel, lápis, borracha e uma lupa, e mãos à obra.

Boa investigação e boa diversão!!!


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II – Um pouco de matemática para começar . . .


 

Um problema inicial


Determinar um número positivo tal que a diferença entre seu quadrado e ele seja 1.

Seja [tex]a[/tex] o número procurado, assim [tex]a^2-a=1[/tex], ou seja, [tex]a^2-a-1=0[/tex].
Dessa forma, teríamos [tex]a=\dfrac{1\pm\sqrt{1+4}}{2}=\dfrac{1\pm\sqrt{5}}{2}[/tex]; mas como [tex]a[/tex] é positivo, então
[tex]\qquad a=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}=1,61803…\approx1,618[/tex].

A equação [tex]X^2-X-1=0[/tex], resultante da modelagem desse problema, fornece respostas para alguns problemas geométricos interessantes. Observem dois deles.

Problema: Sejam [tex]\overline{AB}[/tex] um segmento de comprimento [tex]1[/tex] e [tex]X[/tex] um ponto entre [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex]. Assim, consideraremos três segmentos: o segmento menor, o maior e o segmento todo.
(i) Determinar a distância entre os pontos [tex]A[/tex] e [tex]X[/tex] de forma que a razão entre os comprimentos do menor e do maior dos segmentos seja igual à razão entre os comprimentos do maior e do segmento todo.
(ii) Determinar a razão entre os comprimentos do maior e do menor segmento.

Sejam [tex]\overline{AB}[/tex] um segmento unitário e [tex]X[/tex] um ponto interno desse segmento.
f12 Suponhamos, sem perda de generalidade, que o maior segmento tenha comprimento [tex]x[/tex].
(i) Pelas informações do problema, temos que [tex]\dfrac{1-x}{x}=\dfrac{x}{1}[/tex], donde [tex]1-x=x^2[/tex], ou ainda [tex]x^2+x-1=0[/tex].
Com isso [tex]x=\dfrac{-1\pm\sqrt{1+4}}{2}=\dfrac{-1\pm\sqrt{5}}{2}[/tex]; mas como [tex]x[/tex] é positivo, já que é representa uma distância não nula, então [tex]x=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}[/tex].
(ii) Seja [tex]r[/tex] a razão procurada. Então, pelo item (i) podemos afirmar que:
[tex]\qquad r=\dfrac{x}{1-x}=\dfrac{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}{1-\frac{\sqrt{5}-1}{2}}=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2-(\sqrt{5}-1)}=\dfrac{\sqrt{5}-1}{3-\sqrt{5}}=\dfrac{(\sqrt{5}-1)(3+\sqrt{5})}{(3-\sqrt{5})(3+\sqrt{5})}[/tex]
[tex]\qquad r=\dfrac{3\sqrt{5}+5-3-\sqrt{5}}{3^2-(\sqrt{5})^2}=\dfrac{2\sqrt{5}+2}{4}=\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}[/tex]
Então, a razão entre os comprimentos do maior e do menor segmento é [tex]\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}[/tex].
Lembrando que [tex]\dfrac{1-x}{x}=\dfrac{x}{1}[/tex], essa razão poderia ser obtida por outro caminho.
Como [tex]r=\dfrac{x}{1-x}=\dfrac{1}{x}=\dfrac{1-x+x}{x}=\dfrac{1-x}{x}+1=\dfrac{1}{r}+1[/tex], então [tex]r=\dfrac{1}{r}+1[/tex].
Dessa forma, [tex]r^2=1+r[/tex], ou seja, [tex]r^2-r-1=0[/tex] e a razão procurada é a raiz positiva da equação [tex]X^2-X-1=0[/tex].

O segundo problema trata de retângulos semelhantes. Se vocês sabem quando dois retângulos são semelhantes, podem ir direto para o problema; caso contrário, vejam antes a próxima definição.

f24
Dois retângulos são ditos semelhantes, se seus lados correspondentes são proporcionais, isto é, se a razão entre os lados maior e menor de um retângulo é igual à razão entre os lados maior e menor do outro.

aureo Problema: Considere qualquer retângulo ABCD com a seguinte propriedade:
se dele suprimirmos um quadrado como AEFD, o retângulo restante, EBCF, será semelhante ao retângulo original.

Determinar a razão entre os lados maior e menor do retângulo inicial ABCD.

Suponhamos que o retângulo ABCD tenha lados com comprimento [tex]a \, [/tex] e [tex] \, a+b \, [/tex].aureo2

Como os retângulos ABCD e EBCF são semelhantes, então[tex] \, \dfrac{a+b}{a}=\dfrac{a}{b}[/tex].
Se [tex] \, r=\dfrac{a+b}{a}[/tex], podemos, então afirmar que [tex] \, r=\dfrac{a+b}{a}=1+\dfrac{b}{a}=1+\dfrac{1}{r} \, [/tex], ou, ainda, que [tex]r^2-r-1=0[/tex].
Como [tex]r\gt0[/tex], então [tex]r=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}[/tex] .

Apresentamos três dos inúmeros problemas cuja solução consiste em encontrar a raiz positiva da equação [tex]X^2-X-1=0[/tex], portanto já temos uma motivação inicial para darmos um nome especial para o número irracional positivo [tex]\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}[/tex]. Vamos lá!

Diz-se que um ponto [tex]X[/tex] de um segmento [tex]\overline{AB}[/tex] divide este segmento em média e extrema razão se a razão entre os comprimentos do menor e do maior dos segmentos é igual à razão entre os comprimentos do maior e do segmento todo.
extrema

É claro que

  • se [tex]\dfrac{b}{a}=\dfrac{a}{a+b}[/tex], então [tex]\dfrac{a}{b}=\dfrac{a+b}{a}[/tex]

e que

  • se [tex]\dfrac{a}{b}=\dfrac{a+b}{a}[/tex], então [tex]\dfrac{b}{a}=\dfrac{a}{a+b}[/tex],

logo poderíamos caracterizar a média e extrema razão por qualquer uma das duas igualdades. A opção pela igualdade [tex]\dfrac{b}{a}=\dfrac{a}{a+b}[/tex] foi preservar a definição dada por Euclides, em os Elementos.
Independente de qual seja a igualdade utilizada para definirmos média e extrema razão, a próxima divisão se refere a uma razão específica.

Seja [tex]X[/tex] o ponto que divide um segmento [tex]\overline{AB}[/tex] em média e extrema razão.
extrema desenho
Chamamos de razão áurea a razão entre os comprimentos do maior e do menor segmentos resultantes da divisão do segmento inicial [tex]\overline{AB}[/tex], isto é, [tex]\dfrac{a}{b}[/tex].

Embora possa não parecer, a razão áurea é uma constante que independe do segmento que foi dividido em média e extrema razão. Podemos verificar essa afirmação utilizando parte do raciocínio do segundo problema acima para mostrar que a razão áurea é a raiz positiva da equação [tex]X^2-X-1=0[/tex], qual seja, [tex]\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}[/tex].

Suponhamos que o segmento [tex]\overline{AB}[/tex] tenha sido dividido em média e extrema razão pelo ponto [tex]X[/tex]. extrema desenho Dessa forma, [tex]\dfrac{b}{a}=\dfrac{a}{a+b}[/tex].
Seja [tex]r[/tex] a chamada razão áurea, isto é, [tex]r=\dfrac{a}{b}=\dfrac{a+b}{a}[/tex] e observe, inicialmente, que
[tex] \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, r=\dfrac{a+b}{a}=1+\dfrac{b}{a}=1+\dfrac{1}{r}[/tex].
Assim [tex]r^2=r+1[/tex], donde [tex]r^2-r-1=0[/tex].
A princípio, teríamos dois valores possíveis para [tex]r[/tex]: [tex]r=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}[/tex] ou [tex]r=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}[/tex]; mas [tex]r[/tex] é um quociente entre comprimentos, logo [tex] r \gt 0[/tex] e, portanto, [tex]r=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}[/tex].

Finalmente, podemos apresentar formalmente o número de ouro e também outro belo objeto matemático: o retângulo áureo!

Chamamos de número de ouro, e denotamos por [tex]\phi[/tex] ou [tex]\Phi[/tex], ou ainda [tex]\varphi[/tex]; o número irracional positivo [tex] \, \, \dfrac{1+\sqrt{5}}{2}[/tex].

Um retângulo áureo é um retângulo cujo comprimento do seu lado maior dividido pelo comprimento do seu lado menor é igual ao número de ouro.
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Convém observar que, sendo irracional, o número de ouro é um número decimal infinito e não periódico. Assim, qualquer representação finita de [tex]\Phi[/tex] é uma aproximação e não o valor do número de ouro:

  • [tex]\Phi=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}[/tex]
  • [tex]\Phi=1,61803398874989484820458683436563811772030917980576 …[/tex]
  • [tex]\Phi\approx1,618[/tex]


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III – Como podemos obter a razão áurea?


Resolvam os problemas abaixo e comprovem que a razão áurea aparece, de fato, em várias situações.

1) Determinar um número positivo que seja uma unidade maior do que o seu inverso.
2) Qual o comprimento da diagonal de um pentágono regular cujos lados medem 1?
3) Determinar o valor de[tex]\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+ \, \cdots\textcolor{white}{(}}}}}}}[/tex].
4) Determinar o valor de [tex]1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\cdots}}}}}[/tex].
5) Verificar que, se um retângulo de lados com comprimentos [tex]a + b[/tex] e [tex]a[/tex] é áureo, então o retângulo de lados com comprimentos [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex] também o é.


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IV – Pesquisas


Pesquisem os temas abaixo e, com certeza, vocês encontrarão muita coisa interessante sobre [tex]\Phi[/tex]. Busquem informações na Internet, em livros e não dispensem, mais uma vez, a ajuda imprescindível de seus professores.

1) Mostrem como dividir geometricamente um segmento em média e extrema razão.
2) Mostrem como construir geometricamente um Retângulo Áureo.

3) O que é o “Ângulo de Ouro”?
4) Investiguem uma possível relação do “Ângulo de Ouro” com as sementes e as pétalas de um Girassol.

5) Investiguem se é possível encontrar a Razão Áurea na natureza do crescimento, por exemplo, no crescimento de plantas, em espirais de galáxias, nos dentes dos elefantes e em ondas dos oceanos.
6) Expliquem a relação da Sequência de Fibonacci com a Razão Áurea.

7) Investiguem uma possível relação do Retângulo Áureo com as obras “Mona Lisa” de Leonardo da Vinci e “O Sacramento da Última Ceia” de Salvador Dalí.
8) Investiguem uma possível relação entre a Razão Áurea e o Parthenon / Partenon.


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V – Galeria de Vídeos


Aqui vocês encontram vídeos que poderão utilizar nas suas pesquisas.
Cliquem na figura correspondente ao vídeo que vocês querem assistir: na janela que irá abrir, é só clicar na setinha e, depois de assistir ao vídeo escolhido, é só fechar a janela que se abriu.

video_01 video_04
Donald no País da Matemágica:
Divina proporção
Os Segredos do Partenon

 

video_01 video_02
Isto é Matemática:
A Proporção Divina – Parte 1
Isto é Matemática:
A Proporção Divina – Parte 2

 

video_05 video_06
M3 Matemática Multimídia:
Um encontro inusitado
Proporção áurea:
ferramenta ou mito?

 

video_05 video_06
Phi Ratio – Sequência de Fibonacci
Proporção Áurea
Matemática em toda parte
Artes / Retângulo Áureo


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VI – Pequena Galeria de Arte


Aqui estão duas obras de arte necessárias para suas pesquisas.

obra_01
Clique na figura para ampliá-la.
obra_02
Clique na figura para ampliá-la.
Obra: O Sacramento da Última Ceia (1955)
Autor: Salvador Dalí (1904-1989)
Técnica: Óleo sobre tela
Estilo: Surrealismo
Tamanho: 167 cm × 268 cm
Localização: Galeria Nacional de Artes – Washington
Obra: Mona Lisa (1503–1517)
Autor: Leonardo da Vinci (1452-1519)
Técnica: Tinta a óleo
Estilo: Renascimento
Tamanho: 77 cm × 53 cm
Localização: Museu do Louvre – Paris


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VII – Galeria de Applets


Disponibilizamos alguns applets para ajudá-los nas investigações propostas. Para facilitar o manuseio e ampliar a área de trabalho, cada applet abrirá em uma outra janela.

Segmento áureo X retângulo áureo


Segmentos áureos e retângulos áureos têm alguma relação?

Com esse applet é possível dividir segmentos quaisquer em média e extrema razão e também construir retângulos áureos a partir do lado menor.
Para utilizar o applet, basta clicar na figura abaixo! f5







Investigando a Mona Lisa


A proporção áurea está presente na Mona Lisa?

Com este applet é possível procurar por segmentos e retângulos áureos na famosíssima obra de arte Mona Lisa, de Leonardo da Vinci.
Para utilizar o applet, basta clicar na figura abaixo! f6







Investigando a Última Ceia


Encontramos a proporção áurea na Última Ceia?

Com este applet também é possível procurar por segmentos e retângulos áureos na obra de arte Última Ceia, de Salvador Dalí.
Para utilizar o applet, basta clicar na figura abaixo! f7







Investigando pentágonos regulares


Encontramos a proporção áurea em pentágonos regulares?

Este applet vai ajudar a obter respostas para essa pergunta.
Para utilizar o applet, basta clicar na figura abaixo! f7


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VIII – Textos que podem ajudar


Disponibilizamos abaixo links de textos que vocês poderão utilizar nas diversas atividades propostas nas salas sobre a Razão Áurea.

Bom proveito!

A Mitologia e a Verdade da Razão de Ouro    (Último acesso em 08/08/18)
Os mitos e verdades sobre a proporção áurea   (Último acesso em 08/08/18)
Retângulo áureo e divisão áurea   (Último acesso em 08/08/18)


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IX – Atividades de Campo


Agora que vocês já estão familiarizados com a razão áurea, que tal utilizarem-na para se divertir?
Escolham um tema, cliquem sobre ele e mãos à obra!

seta-animada_verde Proporção Áurea: um dos padrões de beleza.
seta-animada_verde Um concurso de beleza.
seta-animada_verde Procurando a relação áurea …
seta-animada_verde A Espiral Áurea.

Bons estudos, pessoal!

Sugestões de material para os professores:
➨ Matematicas Visuales    (Último acesso em 08/11/19)
➨ O NÚMERO DE OURO E A DIVINA PROPORÇÃO    (Último acesso em 08/11/19)
➨ RAZÃO ÁUREA    (Último acesso em 08/11/19)
➨ Vídeo: Número de Ouro    (Último acesso em 08/11/19)


Equipe COM – OBMEP

Figuras, vídeos e material eventual extraídos de:
➨ Aqua A3    (Último acesso em 08/11/19)
➨ 15 principais obras de Salvador Dali    (Último acesso em 08/11/19)
Licenças sob Domínio público via Wikimedia Commons
➨ Wikipedia    (Último acesso em 08/11/19)
➨ YouTube    (Último acesso em 08/11/19)


Smiles extraídos de Freepik

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