.Probleminha, Problema, Problemão: Quadriláteros I, II e III

Prolongando os lados [tex]\overline{AD}[/tex] e [tex]\overline{BC}[/tex], obtemos o triângulo [tex]ABE[/tex] da figura ao lado.

Como a soma dos ângulos internos de um triângulo é [tex]180^\circ[/tex], temos que [tex]\hat A+\hat B+60^\circ=180^\circ [/tex], logo
[tex]\qquad \fcolorbox{black}{#eee5de}{$\hat A+\hat B=120^\circ$}. \quad \color{#800000} (i)[/tex]

Por outro lado, um importante resultado de Geometria nos garante que a soma das medidas dos ângulos internos de um quadrilátero convexo é [tex]360^\circ[/tex], assim [tex]\hat A+\hat B+\hat C+\hat D=360^\circ. \quad \color{#800000} (ii)[/tex]
Dessa forma, utilizando as igualdades [tex]\color{#800000} (i)[/tex] e [tex]\color{#800000} (ii)[/tex], concluímos que [tex]120^\circ+\hat C+\hat D=360^\circ [/tex], ou seja,
[tex] \qquad \fcolorbox{black}{#eee5de}{$\hat C+\hat D=240^\circ$}[/tex].

(Há uma Sala sobre Polígonos em nossa Biblioteca, talvez ela possa ser útil! Confiram em Um pouco sobre polígonos)

Vamos aproveitar a figura da solução do probleminha e nela marcar os pontos [tex]J[/tex] e [tex]M[/tex]; assim, observem a figura abaixo.

Como [tex]J[/tex] e [tex]M[/tex] são pontos médios de [tex]\overline{DC}[/tex] e [tex]\overline{AC}[/tex], respectivamente, então [tex]\overline{JM}[/tex] é base média no triângulo [tex]ADC[/tex].
(Se você não sabe o que é uma base média de um triângulo, clique AQUI).
Portanto, se [tex]JM[/tex] e [tex]DA[/tex] indicam os comprimentos de [tex]\overline{JM}[/tex] e [tex]\overline{DA}[/tex], respectivamente, então [tex]JM=\dfrac{DA}{2}[/tex].
Sendo [tex]AD=2[/tex], segue que [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee5de}{$JM=1$} \, [/tex].
Analogamente, [tex]\overline{JN}[/tex] é base média no triângulo [tex]BCD[/tex].

Portanto, se [tex]JN[/tex] e [tex]BC[/tex] indicam os comprimentos de [tex]\overline{JN}[/tex] e [tex]\overline{BC}[/tex], respectivamente, então [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee5de}{$JN=\dfrac{BC}{2}=1$} \, [/tex].

Vamos indicar por [tex]\hat J [/tex] a medida do ângulo interno definido pelo vértice [tex]J[/tex] no triângulo [tex]MJN[/tex].
(a) Observe que, como [tex]\overline{JM}[/tex] é base média do triângulo [tex]DCA[/tex], então [tex]\overline{JM}//\overline{DA}[/tex], donde [tex]\overline{JM}//\overline{EA}[/tex]. Analogamente, [tex]\overline{JN}//\overline{EB}[/tex].
Assim, [tex]\angle{MJN}[/tex] e [tex]\angle{AEB}[/tex] são ângulos congruentes, ou seja, têm a mesma medida. Com isso concluímos que [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee5de}{$\hat J=60^\circ$} \, [/tex].

(b) Veja que o triângulo [tex]MJN[/tex] é isósceles; pois, pelo problema anterior, vimos que [tex]JM=JN=1[/tex]. Dessa forma, os ângulos da base, [tex]\angle{JMN}[/tex] e [tex]\angle{JNM}[/tex], têm a mesma medida.
Mas, pelo item (a), [tex]\hat J=60^\circ[/tex], logo [tex]\hat M+\hat N=120^\circ[/tex] e, portanto, [tex]\hat J=\hat M=\hat N=60^\circ[/tex].
Isso nos leva a concluir que o triângulo [tex]MJN[/tex] é equilátero.