Malabarismos aritméticos e algébricos – Sala 3

Inicialmente, isolando [tex]c[/tex] na expressão dada, vem [tex]a+b=-c[/tex]. Elevando ambos os membros ao cubo, obtemos:
[tex]\qquad (a+b)^3=(-c)^3 \\ \qquad a^3+3a^2b+3ab^2+b^3=-c^3. \qquad {(I)}[/tex]
Rearranjando os termos da igualdade [tex](I)[/tex], temos que
[tex]\qquad a^3+b^3+c^3=-3a^2b-3ab^2 \\\qquad a^3+b^3+c^3=-3ab(a+b).\qquad {(II)}[/tex]
Utilizando novamente o fato de que [tex]a+b=-c[/tex] e substituindo em [tex](II)[/tex], resulta que:
[tex]\qquad a^3+b^3+c^3=-3ab(-c)\\ \qquad \boxed{a^3+b^3+c^3=3abc}.[/tex]

Utilizando a identidade [tex]a^3+b^3+c^3+3(a+b)(a+c)(b+c)=(a+b+c)^3[/tex] e a hipótese de que [tex]a+b+c=0[/tex], obtemos que:
[tex]\qquad a^3+b^3+c^3+3(a+b)(a+c)(b+c)=0^3=0 \\ \qquad a^3+b^3+c^3+3(-c)(-b)(-a)=0 \\ \qquad \boxed{a^3+b^3+c^3=3abc}.[/tex]

Utilizando a identidade [tex]a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)[/tex] e, mais uma vez, a hipótese [tex]a+b+c=0[/tex], temos:
[tex]\qquad a^3+b^3+c^3-3abc=0\cdot (a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)\\ \qquad a^3+b^3+c^3-3abc=0\\ \qquad \boxed{a^3+b^3+c^3=3abc}.[/tex]

Multiplicando ambas as igualdades fornecidas, obtemos:
[tex] (a+b+c)\left(\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}+\dfrac{1}{a+b}\right)=10.[/tex]
Daí, seque que:
[tex] \dfrac{a}{b+c}+\dfrac{a}{c+a}+\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{b}{a+b}+\\
\qquad +\dfrac{c}{b+c}+\dfrac{c}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}=10 [/tex]

[tex] \dfrac{c+a}{c+a}+\dfrac{a+b}{a+b}+\dfrac{b+c}{b+c}+\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}=10[/tex]

[tex] 3+\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}=10[/tex]
E, finalmente:
[tex]\qquad \fcolorbox{black}{#e6d7d4}{$ \dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}=7$}[/tex].

Multiplicando o numerador e o denominador da segunda, da terceira e da quarta frações, respectivamente por [tex]a[/tex], [tex]ab[/tex] e [tex]abc[/tex], obtemos que:

[tex]\dfrac{1+a+ab}{1+a+ab+abc}+\dfrac{1+b+bc}{1+b+bc+bcd}+\dfrac{1+c+cd}{1+c+cd+cda}+\\
\quad+\dfrac{1+d+da}{1+d+da+dab}[/tex]

[tex] =\dfrac{1+a+ab}{1+a+ab+abc}+\dfrac{a+ab+abc}{a+ab+abc+abcd}+[/tex]

[tex]\, \quad +\dfrac{ab+abc+abcd}{ab+abc+abcd+abcda}+\dfrac{abc+abcd+abcda}{abc+abcd+abcda+abcdab}[/tex]

[tex] =\dfrac{1+a+ab}{1+a+ab+abc}+\dfrac{a+ab+abc}{a+ab+abc+1}+\\
\quad+\dfrac{ab+abc+1}{ab+abc+1+a}+\dfrac{abc+1+a}{abc+1+a+ab}[/tex]

[tex]=\dfrac{1+a+ab+a+ab+abc+ab+abc+1+abc+1+a}{1+a+ab+abc}[/tex]

[tex]=\dfrac{3+3a+3ab+3abc}{1+a+ab+abc}=3.[/tex]

Assim,

[tex]\dfrac{1+a+ab}{1+a+ab+abc}+\dfrac{1+b+bc}{1+b+bc+bcd}+\dfrac{1+c+cd}{1+c+cd+cda}+\\
\quad +\dfrac{1+d+da}{1+d+da+dab}=3.[/tex]

Observe inicialmente que
[tex]\dfrac{2xyz-(x+y+z)}{x^3+y^3+z^3}=\dfrac{2}{3}\iff 6xyz-3(x+y+z)=2(x^3+y^3+z^3)[/tex]
[tex]\qquad \qquad \iff 2(x^3+y^3+z^3-3xyz)+3(x+y+z)=0.[/tex][tex]\qquad \qquad (I)[/tex]
Observe, agora, que uma das identidades apresentadas acima é
[tex]x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz),[/tex]
logo:
[tex] 2(x^3+y^3+z^3-3xyz)+3(x+y+z)=\\
\quad =2(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz)+3(x+y+z).[/tex]
Assim,
[tex] 2(x^3+y^3+z^3-3xyz)+3(x+y+z)=0 \iff [/tex]
[tex] \iff 2(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz)+3(x+y+z)=0[/tex]
[tex] \iff (x+y+z)[2(x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz)+3]=0 \iff[/tex]
[tex] \iff (x+y+z)[(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2+3]=0.[/tex][tex]\qquad (II)[/tex]

De [tex](I)[/tex] e [tex](II)[/tex]
[tex]\dfrac{2xyz-(x+y+z)}{x^3+y^3+z^3}=\dfrac{2}{3}\iff\\
\quad \iff (x+y+z)[(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2+3]=0. \qquad (III)[/tex]

Finalmente, como [tex](x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2+3\neq0[/tex], então
[tex](x+y+z)[(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2+3]=0 \iff x+y+z=0 \quad (IV)[/tex]

Portanto, de [tex](III)[/tex] e [tex](IV),[/tex]
[tex]\fcolorbox{black}{#e6d7d4}{$ \dfrac{2xyz-(x+y+z)}{x^3+y^3+z^3}=\dfrac{2}{3}\iff x+y+z=0$} \, [/tex].

[tex] (a)[/tex] De [tex]x^2=2x+1[/tex] segue que
[tex]\quad (x^2)^2=(2x+1)^2[/tex]
[tex]\quad x^4=4x^2+4x+1[/tex]
[tex]\quad x^4=4(2x+1)+4x+1 \qquad \qquad[/tex](utilizamos a hipótese de que [tex]x^2=2x+1[/tex])
[tex]\quad x^4=12x+5[/tex]
[tex]\quad x^5=12x^2+5x[/tex]
[tex]\quad x^5=12(2x+1)+5x\qquad \qquad \, \, \, \, [/tex](utilizamos novamente a hipótese de que [tex]x^2=2x+1[/tex])
[tex]\quad \fcolorbox{black}{#e6d7d4}{$x^5=29x+12$}[/tex].

[tex](b)[/tex] Note que, se [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex] são as raízes da equação [tex]x^2-2x-1=0[/tex], então [tex]a^2-2a-1=0 \, [/tex] e [tex] \, b^2-2b-1=0[/tex] ou, ainda, [tex]a^2=2a+1 \, [/tex] e [tex] \, b^2=2b+1[/tex].
Assim, do item anterior, segue que [tex]a^5=29a+12 \, [/tex] e [tex] \, b^5=29b+12[/tex] e, portanto:
[tex]\quad a^5+b^5=(29a+12)+(29b+12)=29\times(a+b)+24. \qquad \qquad (I)[/tex]
Mas, o termo que acompanha [tex]x[/tex] na equação [tex]x^2-2x-1=0[/tex] é a soma com “sinal trocado” das raízes dessa equação e, como [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex] são as raízes da equação [tex]x^2-2x-1=0[/tex], então [tex]a+b=2.[/tex]
Assim, de [tex](I)[/tex], podemos concluir que:
[tex]\qquad a^5+b^5=29\times(a+b)+24=29.(2)+24[/tex]
e, portanto, [tex]\fcolorbox{black}{#e6d7d4}{$a^5+b^5=82$}[/tex].

A partir dos números reais não nulos [tex]a[/tex], [tex]b[/tex], [tex]c[/tex], de acordo com as hipóteses do problema, definimos [tex]\boxed{y=abc} \, [/tex] e [tex] \, \boxed{x=a^2+b^2+c^2}[/tex].
Como [tex] (a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc[/tex] e, por hipótese, [tex]a+b+c=0[/tex], então [tex]0=x+2(ab+ac+bc)[/tex], ou seja, [tex]\boxed{ab+ac+bc=-\dfrac{x}{2}}[/tex].
Por outro lado, como [tex]a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)[/tex] e, por hipótese, [tex]a+b+c=0[/tex] e [tex]a^3+b^3+c^3=a^5+b^5+c^5[/tex], segue que [tex]\boxed{a^5+b^5+c^5=a^3+b^3+c^3=3abc}[/tex].
Logo
[tex]\quad 3abc=a^3+b^3+c^3 \\ \qquad 3abc(a^2+b^2+c^2)=(a^3+b^3+c^3)(a^2+b^2+c^2)[/tex]
[tex]\quad 3xy=a^5+b^5+c^5+a^2b^2(a+b)+a^2c^2(a+c)+b^2c^2(b+c)[/tex]
[tex]\quad 3xy=3y+a^2b^2(-c)+a^2c^2(-b)+b^2c^2(-a) \\ \qquad 3xy=3y-abc(ab+ac+bc)[/tex]
[tex]\quad 3xy=3y-y\left(-\dfrac{x}{2}\right)\\ \qquad 3xy=3y+\dfrac{xy}{2}[/tex]
Como [tex]y\ne 0[/tex], de [tex] 3xy=3y+\dfrac{xy}{2}[/tex], segue que [tex] 3x=3+\dfrac{x}{2} [/tex], donde [tex]x=\dfrac{6}{5}.[/tex]
Assim, como [tex]x=a^2+b^2+c^2[/tex], tem-se [tex]\fcolorbox{black}{#e6d7d4}{$a^2+b^2+c^2=\dfrac{6}{5}$}[/tex].

Defina uma função [tex]f[/tex] tal que [tex]f(x)=x^3-3x^2+5x[/tex]. Então, [tex]f(\alpha)=\alpha^3-3\alpha^2+5\alpha[/tex] e [tex]f(\beta)=\beta^3-3\beta^2+5\beta[/tex].
Vamos agora manipular a expressão [tex]f(x)[/tex] da seguinte forma:
[tex]f(x)=x^3-3x^2+5x=x^3-3x^2+3x-1+2x-2+3\\
f(x)=(x-1)^3+2(x-1)+3.[/tex]
Podemos, então, escrever que [tex]\boxed{f(\alpha)=(\alpha-1)^3+2(\alpha-1)+3}[/tex] e [tex]\boxed{f(\beta)=(\beta-1)^3+2(\beta-1)+3}[/tex].
Adicionando essas duas equações, obtemos
[tex]\qquad f(\alpha)+f(\beta)=(\alpha-1)^3+(\beta-1)^3+2(\alpha-1)+2(\beta-1)+6[/tex],
mas [tex]f(\alpha)+f(\beta)=6[/tex], logo [tex](\alpha-1)^3+(\beta-1)^3+2(\alpha-1)+2(\beta-1)=0[/tex].
Mas, observe que:
[tex](\alpha-1)^3+(\beta-1)^3+2(\alpha-1)+2(\beta-1)=0\iff\\
\iff (\alpha-1)^3+(\beta-1)^3+2(\alpha+\beta-2)=0\iff[/tex]
[tex][(\alpha-1)+(\beta-1)][(\alpha-1)^2-(\alpha-1)(\beta-1)+(\beta-1)^2]+2(\alpha+\beta-2)=0\iff[/tex]
[tex](\alpha+\beta-2)[(\alpha-1)^2-(\alpha-1)(\beta-1)+(\beta-1)^2+2]=0\iff[/tex]
[tex](\alpha+\beta-2)[\alpha^2-\alpha-\alpha\beta+\beta^2-\beta+3]=0\iff[/tex]
[tex](\alpha+\beta-2)\left[\dfrac{(\alpha-1)^2+(\alpha-\beta)^2+(\beta-1)^2+4}{2}\right]=0.[/tex]
Assim,
[tex]\quad (\alpha+\beta-2)\left[\dfrac{(\alpha-1)^2+(\alpha-\beta)^2+(\beta-1)^2+4}{2}\right]=0[/tex],
e como
[tex]\qquad\dfrac{(\alpha-1)^2+(\alpha-\beta)^2+(\beta-1)^2+4}{2}>0[/tex],
temos que [tex]\alpha+\beta-2=0[/tex].
Portanto,[tex] \, \fcolorbox{black}{#e6d7d4}{$\alpha+\beta=2$}[/tex].

Seja
[tex]n=\left(\sqrt{5}+\sqrt{6}+\sqrt{7}\right)\cdot \left(\sqrt{5}+\sqrt{6}-\sqrt{7}\right)\cdot \left(\sqrt{5}-\sqrt{6}+\sqrt{7}\right)\cdot \left(-\sqrt{5}+\sqrt{6}+\sqrt{7}\right)[/tex]
e observe que
[tex]n=\left[\left(\sqrt{5}+\sqrt{6}\right)+\sqrt{7}\right]\cdot \left[ \left(\sqrt{5}+\sqrt{6}\right)-\sqrt{7}\right]\cdot \left[\sqrt{7}+\left(\sqrt{5}-\sqrt{6}\right)\right]\cdot \left[\sqrt{7}-\left(\sqrt{5}-\sqrt{6}\right)\right][/tex]
Como [tex](a+b)(a-b)=a^2-b^2[/tex], temos que:
[tex]\qquad n=\left[\left(\sqrt{5}+\sqrt{6}\right)^2-\left(\sqrt{7}\right)^2\right]\cdot \left[\left(\sqrt{7}\right)^2 – \left(\sqrt{5}-\sqrt{6}\right)^2\right][/tex].
Também, sabemos que [tex]\left(a\pm b \right)^2=a^2\pm 2ab+b^2[/tex], logo
[tex]n=\left[5+2\sqrt{30}+6-7\right] \cdot \left[7- \left(5-2\sqrt{30}+6\right)\right][/tex],
ou ainda
[tex] n=\left[5+2\sqrt{30}+6-7\right] \cdot \left[7-5+2\sqrt{30}-6\right][/tex].
Assim,
[tex]n=\left[2\sqrt{30}+4\right] \cdot \left[2\sqrt{30}-4\right]=\left(2\sqrt{30}\right)^2 -4^2[/tex],
donde
[tex]n=4\cdot 30-16=120-16=104[/tex].

Fantástico, não é?