Identidades Algébricas – Problemas propostos
Muitos dos problemas que serão apresentados a seguir são problemas de olimpíadas e, portanto, podem exigir um pouco mais de raciocínio.
Para ajudar, apresentaremos abaixo algumas identidades apresentadas no nosso Blog.
[tex]a^2-b^2=(a+b)(a-b)[/tex]
[tex]a^2\pm 2ab+b^2=(a\pm b)^2[/tex]
[tex]a^3\pm 3a^2b+3ab^2\pm b^3=(a\pm b)^3[/tex]
[tex]a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc=(a+b+c)^2[/tex]
[tex]a^3+b^3+c^3+3(a+b)(a+c)(b+c)=(a+b+c)^3[/tex]
[tex]x^2+x(a+b)+ab=(x+a)(x+b)[/tex]
[tex]x^3+(a+b+c)x^2+(ab+ac+bc)x+abc=(x+a)(x+b)(x+c)[/tex]
[tex](ax+by)^2+(ay-bx)^2=(a^2+b^2)(x^2+y^2)[/tex]
[tex]a^3\pm b^3=(a\pm b)(a^2\mp ab+b^2)[/tex]
[tex]a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)[/tex]
[tex]a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+\dots+ab^{n-2}+b^{n-1})[/tex], [tex]n[/tex] natural
[tex]a^n+b^n=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n-3}b^2-\dots-ab^{n-2}+b^{n-1})[/tex], [tex]n[/tex] ímpar
[tex]1+2+3+ \cdots+t=\dfrac{(1+t)\cdot t}{2}[/tex]
[tex]1.[/tex] Prove que se [tex]a+b+c=0[/tex], então:
[tex](a) \, \, \dfrac{a^5+b^5+c^5}{5}=\dfrac{a^3+b^3+c^3}{3}\times \dfrac{a^2+b^2+c^2}{2},\qquad \qquad [/tex] [tex]
(b) \, \, \dfrac{a^7+b^7+c^7}{7}=\dfrac{a^5+b^5+c^5}{5}\times \dfrac{a^2+b^2+c^2}{2}[/tex].
[tex]2.[/tex] (OCM) Se [tex]x^2+x+1=0[/tex], calcule o valor numérico de
[tex]\qquad \qquad \left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2+\left(x^2+\dfrac{1}{x^2}\right)^2+\left(x^3+\dfrac{1}{x^3}\right)^2+\cdots+\left(x^{27}+\dfrac{1}{x^{27}}\right)^2.[/tex]
[tex]3.[/tex] (Torneio das Cidades) Sejam [tex]a[/tex], [tex]b[/tex], [tex]c[/tex] e [tex]d[/tex] números reais tais que
[tex]\qquad \quad \qquad a^3+b^3+c^3+d^3=a+b+c+d=0.[/tex]
Prove que a soma de dois desses números é zero.
[tex]4.[/tex] (Colômbia) Sejam [tex]a[/tex], [tex]b[/tex], [tex]c[/tex] reais tais que
[tex]\qquad a^{12}+b^{12}+c^{12}=8\quad [/tex] e [tex]\quad \dfrac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{abc}=-\dfrac{6}{a+b+c}.[/tex]
Calcule [tex] \, \, a^6+b^6+c^6[/tex].
[tex]5.[/tex] (China) Seja [tex]\alpha[/tex] um número real tal que [tex]\alpha^3-\alpha-1=0[/tex]. Determine o valor numérico de
[tex]\qquad \qquad\sqrt[3]{3\alpha^2 -4\alpha}+\alpha \sqrt[4]{2\alpha^2 +3\alpha +2}.[/tex]
[tex]6.[/tex] (OMG) Seja [tex]a=2008[/tex]. Determine o valor da soma
[tex]\qquad \qquad \displaystyle\sum_{k=-2007}^{k=2007}\dfrac{1}{1+a^k}.[/tex]
[tex]7.[/tex] (REOIM) Demonstrar que
[tex]\qquad \qquad \dfrac{1}{\sqrt{2+\sqrt{2}}}+\dfrac{1}{\sqrt{6+\sqrt{6}}} \gt \dfrac{5}{6}.[/tex]
[tex]8.[/tex] (Canadá) Calcule:
[tex]\quad(a)\, \sqrt{\dfrac{1}{6}+\dfrac{\sqrt{5}}{18}}-\sqrt{\dfrac{1}{6}-\dfrac{\sqrt{5}}{18}}[/tex];
[tex]\quad (b)\, \sqrt{1+\dfrac{2}{5}}\cdot\sqrt{1+\dfrac{2}{6}}\cdot\sqrt{1+\dfrac{2}{7}}\cdot\sqrt{1+\dfrac{2}{8}}\cdots \sqrt{1+\dfrac{2}{57}}\cdot\sqrt{1+\dfrac{2}{58}}.[/tex]
[tex]9.[/tex] (Romênia) Sejam [tex]x \, [/tex] e [tex] \, y[/tex] números naturais tais que
[tex]\quad 2^x.3^y=\left(24^{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{60}}\right).\left(24^{\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\cdots+\frac{1}{60}}\right)^2.\left(24^{\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\cdots+\frac{1}{60}}\right)^3\cdots \left(24^{\frac{1}{60}}\right)^{59}.[/tex]
Determinar o valor de [tex]x+y[/tex].
[tex]10.[/tex] (Rússia) Sejam [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex] números reais não nulos que satisfazem à equação
[tex]\qquad \qquad a^2b^2(a^2b^2+4)=2(a^6+b^6).[/tex]
Mostre que [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex] não podem ser ambos racionais.
[tex]11.[/tex] (REOIM) Dados os números
[tex]\qquad \alpha=\sqrt{13}+\sqrt{10+2\sqrt{13}} \quad[/tex] e [tex]\quad\beta=\sqrt{5+2\sqrt{3}}+\sqrt{18-2\sqrt{3}+2\sqrt{65-26\sqrt{3}}}[/tex],
mostrar que [tex]\alpha=\beta[/tex].
[tex]12.[/tex] (OCM) Determine qual é o maior desses dois números:
[tex]\qquad \qquad \dfrac{123456+10^{999}}{123457+10^{999}} \qquad [/tex] ou [tex]\qquad \dfrac{123457+10^{999}}{123458+10^{999}}.[/tex]
[tex]13.[/tex] (Canadá) Se os números reais positivos [tex]a_1, a_2, \cdots a_n[/tex] são os comprimentos dos lados de um polígono inscrito em uma circunferência, tais que:
[tex]\qquad \qquad a_1^2+a_2^2+a_3^2+…+a_n^2=a_1a_2+a_2a_3+a_3a_4+…+a_na_1,[/tex]
pode-se afirmar que o polígono é equilátero? Justifique sua resposta.
[tex]14.[/tex] (AIME) Sejam [tex]x[/tex] e [tex]y[/tex] números reais, com [tex]x\neq\pm y[/tex], tais que
[tex]\qquad \qquad \begin{cases}
x^3=13x+3y\\
y^3=13y+3x.\\
\end{cases}[/tex]
Determine [tex](x^2-y^2)^2[/tex].
[tex]15.[/tex] (Canadá) Ache os números [tex]x,y\in R_+[/tex] tais que
[tex]\qquad \qquad \begin{cases}
\sqrt{x}+2\sqrt{y}=9\\
x-4y=9.\\
\end{cases}[/tex]
[tex]16.[/tex] (Alemanha) Sejam [tex]x[/tex], [tex]y[/tex], [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex] reais tais que
[tex]\qquad \qquad \begin{cases}
x^2+y^2=1\\
\dfrac{x^4}{a}+\dfrac{y^4}{b}=\dfrac{1}{a+b}\\
\end{cases}.[/tex]
Prove que [tex]\dfrac{x^8}{a^3}+\dfrac{y^8}{b^3}=\dfrac{1}{(a+b)^3}.[/tex]
[tex]17.[/tex] (Canadá) Determine todos os reais positivos [tex]x[/tex], [tex]y[/tex], [tex]z[/tex] tais que
[tex]\qquad \qquad \begin{cases}
\dfrac{4x^2}{4x^2+1}=y\\
\dfrac{4y^2}{4y^2+1}=z\\
\dfrac{4z^2}{4z^2+1}=x.\\
\end{cases}[/tex]
[tex]18.[/tex] (Stanford) Ache os números reais [tex]x[/tex] e [tex]y[/tex] tais que
[tex]\qquad \qquad \begin{cases}
\ x^4+2x^3-y=-\dfrac{1}{4}+\sqrt{3}\\
\ y^4+2y^3-x=-\dfrac{1}{4}-\sqrt{3}.\\
\end{cases}[/tex]
[tex]19.[/tex] (Croácia) Se [tex]ax^3=by^3=cz^3[/tex] e [tex]\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=1[/tex], prove que
[tex]\qquad \qquad \sqrt[3]{ax^2+by^2+cz^2}=\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}.[/tex]
[tex]20.[/tex] Sejam [tex]x[/tex], [tex]y[/tex], [tex]z[/tex] números reais não nulos tais que [tex]x+y+z=0[/tex]. Prove que
[tex]\qquad \qquad \dfrac{x^2+y^2}{x+y}+\dfrac{y^2+z^2}{y+z}+\dfrac{x^2+z^2}{x+z}=\dfrac{x^3}{yz}+\dfrac{y^3}{xz}+\dfrac{z^3}{xy}.[/tex]
[tex]21.[/tex] Qual a soma dos algarismos do número natural não nulo [tex]n[/tex], de modo que
[tex]\qquad \qquad \sqrt{\dfrac{25}{2}+\sqrt{\dfrac{625}{4}-n \, } \, } \, + \, \sqrt{\dfrac{25}{2}-\sqrt{\dfrac{625}{4}-n \, } \, }[/tex]
seja também um número natural?
[tex]22.[/tex] (Peru) Determine todos os inteiros positivos [tex]x[/tex] tais que a expressão
[tex]\qquad \qquad \dfrac{\sqrt{9^2+\dfrac{1}{11^2}+\dfrac{9^2}{100^2}}-\dfrac{1}{1100}}{x+1}[/tex]
defina um número inteiro.
[tex]23.[/tex] (EUA) Determine o valor da expressão
[tex]\qquad \qquad \sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1\cdots}}}}[/tex] .
[tex]24.[/tex] (Sophie Germain) Fatore [tex]x^4+4y^4[/tex].
[tex]25.[/tex] Sem efetuar as distributividades e os produtos, desenvolva a expressão [tex](a+b+c+d)^3[/tex], admitindo que [tex]a, \, b, \, c, \, d \, [/tex] são números reais.
[tex]26.[/tex] (Moldávia) Os números inteiros [tex]x[/tex], [tex]y[/tex], [tex]z[/tex] satisfazem a relação [tex]x+y+z=0[/tex].
Mostre que o número [tex]2(x^4+y^4+z^4)[/tex] é um quadrado perfeito.
[tex]27.[/tex] (Rioplatense) Ache o valor da soma
[tex]\quad \sqrt{1+\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}}+\sqrt{1+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}}+\sqrt{1+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{4^2}}+…+\sqrt{1+\dfrac{1}{2005^2}+\dfrac{1}{2006^2}}.[/tex]
[tex]28.[/tex] (Espanha-Adaptado) Sejam [tex]a[/tex], [tex]b[/tex], [tex]c[/tex] números reais não nulos com [tex]a+b+c\neq 0[/tex] tais que
[tex]\qquad \qquad \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{1}{a+b+c}[/tex] .
Mostre que, para [tex]n[/tex] ímpar, se verifica a igualdade
[tex]\qquad \qquad \dfrac{1}{a^n}+\dfrac{1}{b^n}+\dfrac{1}{c^n}=\dfrac{1}{a^n+b^n+c^n}[/tex] .
[tex]29.[/tex] Sejam [tex]x[/tex], [tex]y[/tex], [tex]z[/tex] números reais dois a dois distintos. Prove que a expressão
[tex]\qquad \qquad \dfrac{x(y+z)}{(x-y)(x-z)}+\dfrac{y(x+z)}{(y-z)(y-x)}+\dfrac{z(x+y)}{(z-x)(z-y)}[/tex]
não depende de [tex]x[/tex], [tex]y[/tex] e [tex]z[/tex].
[tex]30.[/tex] Sejam [tex]x[/tex], [tex]y[/tex], [tex]z[/tex] números reais distintos. Prove que
[tex]\qquad \qquad \dfrac{x^2}{(x-y)(x-z)}+\dfrac{y^2}{(y-z)(y-x)}+\dfrac{z^2}{(z-x)(z-y)}=1.[/tex]
[tex]31.[/tex] (Treinamento Cone Sul) Sejam [tex]a, b, c, x, y, z[/tex] reais distintos tais que [tex]ax+by+cz=0[/tex]. Prove que
[tex]\qquad \qquad \dfrac{ax^2+by^2+cz^2}{bc(y-z)^2+ca(z-x)^2+ab(x-y)^2}[/tex]
não depende de [tex]x[/tex], nem de [tex]y[/tex], nem de [tex]z[/tex].
[tex]32.[/tex](Canadá) Os dois menores lados de um triângulo retângulo, [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex], satisfazem à desigualdade
[tex]\qquad \qquad \sqrt{a^2-6a\sqrt{2}+19}+\sqrt{b^2-4b\sqrt{3}+16}\leq 3.[/tex]
Encontre o perímetro desse triângulo.
Equipe COM – OBMEP
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