Sala de Estudo: Malabarismos aritméticos e algébricos


Malabarismos

Algébricos e Aritméticos




Aritmética x Álgebra

A briga eterna na cabeça de quem está aprendendo Matemática…

O contato inicial de quem está aprendendo Matemática com a Álgebra é um momento de ruptura com a matemática “concreta” da Aritmética, para uma entrada na matemática “abstrata” da Álgebra!
Na Aritmética, números são números e na Álgebra, números são letras, isso porque enquanto que na Aritmética há uma busca por um resultado final, “um número de verdade”, na Álgebra, o foco é estabelecer procedimentos e relações para expressá-los de forma geral e simplificada. Na Álgebra procuramos expressar o que é genérico, ou seja, aquilo que se pode afirmar não apenas para um único número, mas sim para muitos e muitos valores numéricos, independentemente de quais sejam.
Particularmente para aqueles que acreditam que em um problema de matemática deve-se, necessariamente, encontrar uma resposta numérica, a Álgebra é um verdadeiro terror, já que a resposta de um problema algébrico deve expressar, de alguma forma, o processo a ser realizado para a resolução do problema.
Muitas vezes, quem está resolvendo um problema de Álgebra até entende que tem que somar dois números [tex]a \, [/tex] e [tex] \, b[/tex], mas fica incrédulo que a resposta seja [tex]a+b \, [/tex]. Assim, não é raro, que em situações como essa, a soma [tex]3x+5y[/tex] seja efetuada e resulte em [tex]8xy[/tex].
Nesta Sala de Estudos queremos propor problemas que envolvem Identidades Algébricas, já que estas são ferramentas extremamente úteis em diversos cálculos matemáticos. No entanto, gostaríamos que vocês apreciassem a beleza dos problemas que serão propostos (muitos deles extraídos de Olimpíadas realizadas em várias partes do mundo), e, também, conseguissem resolvê-los. Mas, para isso é necessário que vocês conheçam algumas Identidades Algébricas e também tenham certeza de que não cometem “erros algébricos” como o que comentamos, [tex]3x+5y=8xy[/tex], ou mesmo erros em manipulações aritméticas.
Assim, lhes oferecemos três opções, não excludentes:

ir para a página na qual apresentaremos alguns erros algébricos e aritméticos que são cometidos com frequência na resolução de problemas (Sala 1);
ir para a página na qual exploraremos algumas identidades algébricas (Sala 2);
ir para a página na qual apresentaremos os problemas (Sala 3).

Bem, ir para uma ou outra página é fácil, basta clicar no botão conveniente. Mas tomar a decisão de qual botão deve ser clicado pode ser bem mais complicado!

Você ficou na dúvida se já cometeu ou ainda comete erros algébricos?
Não tem certeza de que sabe o que é uma identidade algébrica?

Então resolva o problema-teste abaixo e avalie se você deve ou não ir diretamente para a página de problemas.

De qualquer forma, independente do botão escolhido,
Bons Estudos!

Problema-teste


Em certa Mostra de Invenções, as atenções se voltaram para interessantes robôs de desinfecção hospitalar.
Um dos inventores apresentou o robô JLZM e um segundo inventor apresentou os robôs NZM e TZM.
robo4

Os robôs NZM e TZM trabalham juntos e desinfetam, respectivamente, áreas circulares de raios [tex]n \, [/tex] e [tex] \, t[/tex], a cada período de tempo [tex]p[/tex].
O robô JLZM desinfeta, no mesmo período de tempo [tex]p[/tex], uma área circular de raio [tex]n+t[/tex].

Sabendo que o custo de JLZM é a soma dos custos de NZM e TZM, qual das alternativas abaixo lhe parece correta?

Escolha a alternativa e faça uma avaliação da sua resposta!

a) Valerá mais a pena produzir robôs NZM e TZM.

Infelizmente não é esta a alternativa correta!
Ao resolver algebricamente o problema, você se depara com uma expressão do tipo [tex]\left( x+y \right)^2[/tex].
Um erro comum é acreditar que [tex]\left( x+y \right)^2=x^2+y^2[/tex], o que não é correto.
O que é verdadeiro é a identidade algébrica
[tex]\qquad \left( x+y \right)^2=x^2+2xy+y^2[/tex].
Recomendamos que você dê uma passadinha nas Salas 1, 2 e 3.
b) Valerá mais a pena produzir robôs JLZM.

Parabéns! Esta é a alternativa correta!
Ao resolver o problema, você utilizou álgebra ou pensou na figura abaixo e tirou a sua conclusão? De qualquer forma, confira a resposta e passe pelas Salas 1 e 2 antes de ir para a Sala 3. Quem sabe você não aprende alguma coisinha nova…
c) Não há diferença: ambos os inventores produziram projetos de limpeza de mesmo custo/benefício.

Infelizmente não é esta a alternativa correta!
Ao resolver algebricamente o problema, você se depara com uma expressão do tipo [tex]\left( x+y \right)^2[/tex].
Um erro comum é acreditar que [tex]\left( x+y \right)^2=x^2+y^2[/tex], o que não é correto.
O que é verdadeiro é a identidade algébrica
[tex]\qquad \left( x+y \right)^2=x^2+2xy+y^2[/tex].
Recomendamos que você dê uma passadinha nas Salas 1, 2 e 3.

d) É impossível dizer qual tipo de robô deve ser escolhido sem saber os valores de [tex]n[/tex] e [tex]t[/tex].

Infelizmente não é esta a alternativa correta!
Você se lembra do que falamos sobre a Álgebra no início desta página?
Pois é, utilizando ferramentas algébricas é possível manipularmos equações e expressões definidas a partir de números que não conhecemos! A Álgebra está presente na resolução de problemas nos quais não importa o valor desses números desconhecidos e este é um desses problemas! Veja abaixo a solução e visite as Salas 1, 2 e 3.

Imagens extraídas de http://www.colorir.com/

Ainda na dúvida?
Precisam de mais um problema para decidir?
Aí vai……

Um segundo problema


A Garrafa e a rolha

Uma garrafa com sua rolha pesam juntas 110 gramas.
Sabendo que a garrafa pesa 100 gramas a mais que a rolha, qual é o peso da rolha?

garrafa1

Se você respondeu que a rolha pesa [tex]10[/tex] gramas, você foi mais uma dentre as pessoas que erraram a resposta. Diga-se, de passagem, que a maioria das pessoas que fazem este problema erram a resposta…
Observe que se a rolha pesasse [tex]10[/tex] gramas, a garrafa pesaria [tex]100[/tex] gramas, ou seja, [tex]100-10=90[/tex] gramas a mais do que a rolha e não [tex]100[/tex] gramas como pede o problema.
Viu a confiança exagerada em números verdadeiros?
Se você pensasse algebricamente e não cometesse erros grosseiros, fatalmente chegaria na resposta correta. Vejamos…
Sejam [tex]G[/tex] o peso da garrafa, em gramas, e [tex]R[/tex] o peso da rolha, também em gramas.
Assim, como juntas a garrafa e a rolha pesam [tex]110 \, g[/tex], então
[tex]\qquad G + R = 110. \qquad \qquad (i)[/tex]
Por outro lado, a garrafa pesa [tex]100[/tex] gramas a mais que a rolha, então
[tex]\qquad G = R + 100. \qquad \qquad(ii)[/tex]
Por [tex](i)[/tex] e [tex](ii)[/tex] temos que
[tex]\qquad \left(R + 100\right)+R=110[/tex]
[tex]\qquad 2R=110-100[/tex]
[tex]\qquad 2R=10[/tex]
[tex]\qquad R=5[/tex].
Assim [tex]R=5[/tex], [tex]G=105[/tex] e [tex]G-R=105-5=100[/tex].
Será que não seria bom você dar uma passadinha nas Salas 1 e 2 antes de ir para a Sala 3 ?

Agora é a hora da decisão…

Salas de estudo sobre o tema


Escolha uma das Salas anexas e clique no botão correspondente. No canto inferior direito de cada uma das três Salas, você encontrará um link para voltar para esta Sala e, se for necessário, fazer uma nova escolha.
Na Sala 1 apresentaremos alguns erros algébricos e aritméticos que são cometidos com frequência na resolução de problemas;
Na Sala 2 exploraremos algumas identidades algébricas importantes;
Na Sala 3 apresentaremos problemas que envolvem importantes identidades algébricas.

Vamos lá?

Sala 1 Sala 2 Sala 3



Equipe COM – OBMEP

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