Sejam [tex]a[/tex], [tex]b[/tex] e [tex]c[/tex] números naturais, com [tex]a\ne 0[/tex].
(i) Se [tex]a[/tex] é divisor de [tex]b[/tex] e [tex]c[/tex], então [tex]a[/tex] também é divisor de [tex]b+c[/tex] ? Justificar a resposta.
(ii) Se [tex]a[/tex] é divisor de [tex]b+c[/tex], então [tex]a[/tex] também é divisor de [tex]b[/tex] e de [tex]c[/tex] ? Só de [tex]b[/tex] ? Só de [tex]c[/tex] ? Justificar a resposta.
Sejam [tex]a[/tex], [tex]b[/tex] e [tex]c[/tex] números naturais, com [tex]a\ne 0[/tex].
(i) Se [tex]a[/tex] é divisor de [tex]b[/tex] e [tex]c[/tex], então [tex]a[/tex] também é divisor de [tex]bc[/tex] ? Justificar a resposta.
(ii) Se [tex]a[/tex] é divisor de [tex]bc[/tex], então [tex]a[/tex] também é divisor de [tex]b[/tex] e de [tex]c[/tex] ? Só de [tex]b[/tex] ? Só de [tex]c[/tex] ? Justificar a resposta.
Um número natural abundante poderia ser um número quase perfeito? Justificar a resposta.
Seja [tex]p[/tex] um número natural primo.
(i) O número [tex]p[/tex] pode ser perfeito?
(ii) O número [tex]p[/tex] pode ser abundante?
(iii) O número [tex]p[/tex] pode ser deficiente?
Justificar as respostas.
Se [tex]n[/tex] é um número natural maior do que [tex]1[/tex], denote por [tex]\sigma (n)[/tex] a soma de todos os divisores de [tex]n[/tex]. (Não confundir com soma [tex]s(n)[/tex] dos divisores próprios de [tex]n[/tex].)
Assim, diremos que [tex]n[/tex] é multiperfeito se a soma [tex]\sigma (n)[/tex] de todos os divisores de [tex]n[/tex] for um número múltiplo de [tex]n.[/tex]
Neste caso, se [tex]k[/tex] for o quociente entre [tex]\sigma (n)[/tex] e [tex]n[/tex], diremos que [tex]n[/tex] é um multiperfeito de multiplicidade [tex]k.[/tex]
Foram os matemáticos franceses René Descartes (1596 – 1650), Pierre Simon de Fermat (1601 – 1665) e Marin Mersenne (1588 – 1648) os primeiros a trabalhar com números multiperfeitos.
Então:
(i) Mostrar que [tex]120[/tex] é um número multiperfeito. Qual a sua multiplicidade?
(ii) O que acontece com números multiperfeitos com multiplicidade [tex]2[/tex] ?
Seja [tex]n[/tex] um número natural primo.
Dizemos que [tex]n[/tex] é OMIRP se ao escrevermos os seus algarismos na ordem inversa se obtém também um número primo.
Por exemplo, [tex]13[/tex] e [tex]17[/tex] são omirp’s, já que [tex]31[/tex] e [tex]71[/tex] são também primos. Consequentemente [tex]31[/tex] e [tex]71[/tex] são também omirp’s.
Encontrar mais quatro números de dois algarismos com essa propriedade.
Seja [tex]n[/tex] um número natural.
Diremos que [tex]n[/tex] é um par isolado, se [tex]n[/tex] for divisível por [tex]2[/tex] mas não for divisível por [tex]4[/tex].
Os primeiros pares isolados são [tex]2, \, 6, \, 10, \, 14, \, 18[/tex].
Determinar a forma geral de um par isolado.
Um número natural não nulo [tex]n[/tex] é dito perfeito multiplicativo se o produto dos seus divisores for igual a [tex]n^2[/tex].
Determinar os dez primeiros números naturais perfeitos multiplicativos.
Um número natural [tex]n[/tex] chama-se prático se todos os números estritamente menores do que ele são divisores de [tex]n[/tex] ou soma de distintos divisores de [tex]n[/tex].
Por exemplo, [tex]12[/tex] é um número prático, pois seus divisores menores do que ele são [tex]1, \, 2, \, 3, \, 4, \, 6[/tex] e:
[tex]1[/tex] é divisor de [tex]12[/tex];
[tex]2[/tex] é divisor de [tex]12[/tex];
[tex]3[/tex] é divisor de [tex]12[/tex];
[tex]4[/tex] é divisor de [tex]12[/tex];
[tex]5=2+3[/tex];
[tex]6[/tex] é divisor de [tex]12[/tex];
[tex]7=1+6[/tex];
[tex]8=2+6[/tex];
[tex]9=3+6[/tex];
[tex]10=4+6[/tex];
[tex]11=1+4+6[/tex].
Determinar os dez primeiros números práticos.
Dois números naturais da forma [tex]p[/tex] e [tex]p+4[/tex] são ditos primos primos se tanto [tex]p[/tex] quanto [tex]p+4[/tex] forem primos.
Por exemplo, [tex]3[/tex] e [tex]7[/tex] são primos primos!
Determinar todos os primos primos menores do que [tex]100[/tex].
Chamamos de semiprimo todo número natural que é o produto de dois números primos, não necessariamente distintos.
Determinar os semiprimos menores do que [tex]20[/tex].
Primos da forma [tex]4n+3[/tex] são denominados primos gaussianos.
(i) Determinar todos os primos gaussianos menores do que [tex]20[/tex].
(ii) Dentre os primos
[tex]\quad 23, \, \, 29, \, \, 31, \, \, 37, \, \, 41, \, \, 43, \, \, 47, \, \, 53, \, \, 59, \, \, 61, \, \, 67, \, \, 71, \, \, 73, \,\\
\quad 79, \, \, 83, \, \, 89 \,\text{ e } \, 97 [/tex]
determinar os gaussianos.
(OBM – 2007) Uma avenida possui 100 prédios numerados de 1 a 100, sendo que prédios com numeração par se situam do lado direito da rua e prédios com numeração ímpar se situam no lado esquerdo. A quantidade de andares de cada prédio é igual à soma dos algarismos do número correspondente ao prédio. Assim, podemos afirmar que:
A) A quantidade de prédios com mais de 10 andares é maior do lado direito da rua.
B) A quantidade de prédios com menos de 5 andares é maior do lado direito da rua.
C) Pelo menos metade dos prédios possui 10 ou mais andares.
D) Em ambos os lados da rua há a mesma quantidade de prédios com exatos 8 andares.
E) Pelo menos 25% dos prédios possui menos de 5 andares.
(OBMEP – 2014) O número 2014 tem quatro algarismos distintos, um ímpar e três pares sendo um deles 0. Quantos números possuem exatamente essas características?
Mostre que o quadrado de um natural ímpar é da forma [tex]8k+1[/tex], com [tex]k\in\mathbb{N}[/tex].
Mostre que o produto de dois números naturais da forma [tex]6k+5[/tex] é da forma [tex]6k+1[/tex].
Equipe COM – OBMEP