.Sala de Estudo: Um pouco sobre divisibilidade (Parte 1)

Múltiplos e divisores

Números podem estar relacionados entre si ou formar sequências numéricas com particularidades interessantes. Essas particularidades são comumente conhecidas por padrões ou regularidades. Aqueles que gostam de resolver problemas de matemática com certeza já se depararam com questões interessantes envolvendo a descoberta de regularidades em determinadas sequências de números, ou seja, questões nas quais é necessário procurar uma lei geral que caracterize todo e qualquer elemento de uma dada sequência numérica.
O nosso ponto de partida para o estudo da divisibilidade será exatamente a procura de padrões e regularidades em algumas sequências formadas por números naturais. Não serão sequências mirabolantes, mas sequências que permitirão que desenvolvamos um pedacinho importante da teoria dos números naturais. Apresentamos três delas:

• Sequência 1:    0 ,   2 ,   4 ,   6 ,   8 ,   10 ,   12 ,   14 ,   16 ,   …
• Sequência 2:    0 ,   5 ,   10 ,   15 ,   20 ,   25 ,   30 ,   35 ,   40 ,   …
• Sequência 3:    0 ,   10 ,   20 ,   30 ,   40 ,   50 ,   60 ,   70 ,   80 ,   …

O que têm em comum os elementos da primeira sequência? O que há de especial nos elementos da segunda sequência? Que elementos vêm após o 80 na terceira sequência?
Podemos responder facilmente a essas três perguntas se observarmos que as sequências foram obtidas multiplicando-se cada número natural por 2, 5 e 10, respectivamente. Com isso podemos reescrever as sequências da seguinte forma:

• Sequência 1: 0 × 2,   1 × 2,   2 × 2,   3 × 2,   4 × 2,   5 × 2,   6 × 2,   7 × 2,   8 × 2,   …
• Sequência 2: 0 × 5,   1 × 5,   2 × 5,   3 × 5,   4 × 5,   5 × 5,   6 × 5,   7 × 5,   8 × 5,   …
• Sequência 3: 0 × 10,   1 × 10,   2 × 10,   3 × 10,   4 × 10,   5 × 10,   6 × 10,   7 × 10,   8 × 10,   …

e como multiplicamos números naturais por 2, 5 e 10, dizemos que as sequências são, respectivamente, formadas por:

• múltiplos de 2;
• múltiplos de 5;
• múltiplos de 10.

O padrão que caracteriza os elementos de qualquer uma dessas três sequências (e responde, particularmente, às três perguntas formuladas) pode ser generalizado. Podemos, então, produzir para cada número natural [tex] a[/tex] a sequência dos múltiplos de [tex] a[/tex]:

• [tex] \, \, 0 \times a, \, 1 \times a, \, 2 \times a, \, 3 \times a, \, 4 \times a, \, 5 \times a, \, 6 \times a, \, 7 \times a, \, 8 \times a, \, \cdots[/tex].

Feitos os produtos, podemos notar que nessa sequência o primeiro elemento é [tex] 0[/tex] e cada elemento, a partir do segundo, é a soma entre o elemento anterior e [tex] a[/tex], ou seja, é uma sequência de números que se inicia em zero e vai aumentando de [tex] a[/tex] em [tex] a[/tex]:

• [tex] \, \, 0, \, \, a, \, \, 2a, \, \, 3a, \, \, 4a, \, \, 5a, \, \, 6a, \, \, 7a, \, \, 8a, \, \, \cdots[/tex].

A relação entre cada elemento dessa sequência e o número natural [tex] a[/tex] que a definiu será importante para os nossos propósitos, portanto vamos registrá-la como uma definição.

Dessa forma:

• 18 é múltiplo de 2, pois 18 = 9 × 2 e 9 é um número natural;
• 40 é múltiplo de 10, pois 40 = 4 × 10 e 4 é um número natural;
• 259 é múltiplo de 37, pois 259 = 7 × 37 e 7 é um número natural;
• 15 não é múltiplo de 7, pois não existe um número natural [tex]k[/tex] tal que [tex]15=k\times 7[/tex];

(Observe que 0 × 7 = 0, 1 × 7 = 7, 2 × 7 = 14 . Agora, 3 × 7 e todos os demais produtos [tex]k \times 7[/tex] serão maiores do que 15.)

• o único múltiplo de 0 é o próprio 0, já que [tex]k \times 0=0[/tex] para qualquer número natural [tex]k[/tex];
• no entanto, 0 é múltiplo de qualquer número natural [tex]a[/tex], pois [tex]0=0 \times a[/tex].

Observação: Na definição acima, a exigência de que [tex]k[/tex] seja um número natural é para evitar, por exemplo, que alguém classifique [tex]20[/tex] como um múltiplo de [tex]9[/tex], já que [tex]20=\dfrac{20}{9}\times 9[/tex]. Nesse caso, [tex]20=k\times 9[/tex], mas [tex]k[/tex] não é um número natural.

Múltiplos sem multiplicações

Vamos dividir a nossa discussão de como “procurar múltiplos sem fazer multiplicações” em duas partes.
Para essa discussão, vamos considerar que não procuraremos múltiplos para zero, pois já observamos que o único múltiplo de zero é o próprio zero.

As conclusões [tex](i)[/tex] e [tex](ii)[/tex] podem ser escritas de uma só vez, da seguinte forma:

Então, para saber se um número é múltiplo de outro fazemos várias multiplicações ou apenas uma divisão.

Quase isso! Às vezes é melhor utilizar a divisão, outras vezes as multiplicações; mas em muitas situações as duas maneiras produzem longos processos. Portanto, precisaremos desenvolver outros métodos para sabermos se um número é múltiplo de outro…

Que bom que teremos outras alternativas. Fazer divisão às vezes é meio complicadinho…

Precisaremos desenvolver um pouco mais de teoria para estabelecer esses outros métodos. Por agora, vamos aproveitar a discussão e apresentar mais uma maneira de nos referirmos a dois números naturais tais que um é múltiplo do outro.

Nomenclaturas

Observem que quase toda a discussão do tópico anterior pode ser feita a partir da divisão de um número natural [tex]a[/tex], por um número natural não nulo [tex]b[/tex].

Em particular, se [tex]r=0[/tex], temos que [tex]a=q\times b[/tex] e podemos relacionar os números [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex] dizendo que:

• a divisão de [tex]a[/tex] por [tex]b[/tex] tem resto [tex]0[/tex];
• a divisão de [tex]a[/tex] por [tex]b[/tex] é exata;
• [tex]a[/tex] é divisível por [tex]b[/tex];
• [tex]b[/tex] é um divisor de [tex]a[/tex];
• [tex]a[/tex] é um múltiplo de [tex]b[/tex].

(Cinco nomenclaturas para designar o mesmo fato: [tex]a=q\times b[/tex], com [tex]a[/tex], [tex]b[/tex], [tex]q[/tex] números naturais e [tex]b\ne 0[/tex].)

Observações:
1) É importante ter em mente que, ao iniciarmos uma divisão, estamos assumindo que essa divisão pode ser realizada e, portanto, o divisor é diferente de zero.

No entanto observem, mais uma vez, que essa restrição não tira a generalidade da discussão, uma vez que, se zero é divisor de [tex]a[/tex], então existe um natural [tex]t[/tex] de forma que [tex]a=t\times 0 [/tex] e com isso, necessariamente, [tex]a=0[/tex].
2) Pelo anteriormente exposto, ao executarmos uma divisão assumiremos que o número utilizado como divisor é diferente de zero, mesmo que isso não seja explicitamente dito.
3) Nesta nossa discussão, denotaremos o produto do número [tex]m[/tex] pelo número [tex]n[/tex] também por [tex]m\cdot n[/tex] ou simplesmente por [tex]mn[/tex].

Alguns números especiais

Neste tópico serão apresentados alguns números especiais que foram criados a partir da mistura entre misticismo e matemática, tão peculiar aos gregos antigos. Particularmente, os pitagóricos ficaram conhecidos por sua adoração aos números, inclusive baseando neles a sua filosofia e o seu modo de viver; e é aos pitagóricos que se atribui a descoberta de propriedades interessantes e curiosas sobre os números especiais que aqui apresentaremos. O que se pode afirmar com certeza é que propriedades envolvendo esses números já apareciam, há cerca de 300 anos a.C., nos Elementos de Euclides, nos três livros dedicados à Aritmética: o livro VII, o livro VIII e o livro IX.
Lidar na prática com esses números pode não ser uma tarefa fácil, já que eles são definidos a partir dos conceitos de divisor e múltiplo. Mas eles aparecem em belíssimos problemas criados ao longo da história da matemática!

Vamos conhecer alguns desses números?

Basta clicar no respectivo botão!

I – Números pares e ímpares

---

A sequência dos múltiplos de [tex] \, 2 \, [/tex] define uma categoria importante e muito antiga de números naturais: os números naturais pares. Um número natural [tex]n[/tex] é dito par se [tex]n[/tex] for um múltiplo de [tex]2[/tex]; assim temos formalmente a seguinte definição:

Definição: Um número natural [tex]n[/tex] é dito par se existir um número natural [tex]k[/tex] de modo que [tex]n=2k[/tex].
Um número natural que não seja par chama-se ímpar.

Assim, se denotarmos o conjunto dos números pares por [tex]\mathbb{P}[/tex] e o conjunto dos números ímpares por [tex]\mathbb{I}[/tex], então:

[tex]\qquad\qquad \mathbb{P}=\{ \, 0, \, 2, \, 4, \, 6, \, 8, \, \cdots \, \}\qquad[/tex] e [tex]\qquad \mathbb{I}=\{ \, 1, \, 3, \, 5, \, 7, \, 9, \, \cdots \, \}[/tex].

---

---

Tá, os pares são os múltiplos de [tex]2[/tex] e os ímpares são múltiplos do quê?

Os números ímpares não vão ser caracterizados como múltiplos de um número natural específico, pois esse número não existe. A caracterização dos ímpares é feita de uma forma diferente. Observe a próxima discussão.

---

---

Caracterização dos números ímpares

Inicialmente, vamos mostrar que não podemos caracterizar os ímpares como múltiplos de um determinado número natural, pois tal número natural não existe.

Justificativa: Sabemos que [tex]1[/tex] não é par, logo é ímpar. Por outro lado, [tex]1[/tex] é múltiplo apenas de [tex]1[/tex]; assim, se todos os ímpares fossem múltiplos de um determinado número natural, esse número deveria ser [tex]1[/tex]. Mas notem que todos os pares também são múltiplos de [tex]1[/tex]; logo ser múltiplo de [tex]1[/tex] não é uma característica exclusiva dos ímpares e, portanto, não podemos dizer que os ímpares são aqueles números naturais que são múltiplos de [tex]1[/tex], pois os pares também o são.

Tentemos, então, outra caracterização.
Sabemos que, ao dividir um número natural [tex]n[/tex] qualquer por [tex]2[/tex], obtemos um quociente [tex]q[/tex] e um resto [tex]r[/tex], únicos, satisfazendo duas condições:

[tex]\qquad \qquad \begin{array}{r} n \, \end{array} \begin{array}{|r} \, 2 \, \, \\ \hline \end{array}[/tex] [tex]\qquad \qquad\begin{array}{r} r \end{array}\begin{array}{r} \, \, \, \, q \end{array}[/tex]

[tex]\qquad \qquad(1) \, \, 0 \le r \lt 2 \qquad \qquad[/tex] [tex]\qquad \qquad(2) \, \, n=q \times 2+r[/tex].

Como por [tex](1)[/tex] [tex]0 \le r \lt 2 [/tex], temos apenas duas opções para [tex]r[/tex], [tex]r=0[/tex] ou [tex]r=1[/tex]. Logo, se [tex]n[/tex] for um número natural, de acordo com [tex](2)[/tex], [tex]n[/tex] pode ter duas formas:
[tex]\qquad n=q \times 2\qquad [/tex] ou [tex]\qquad n=q \times 2+1[/tex].
Se [tex] \, n=q \times 2[/tex], então [tex]n[/tex] é múltiplo de [tex]2[/tex]; portanto par. Bom, isso já sabíamos; afinal, a forma de um par não é [tex]2k[/tex]?
Se [tex] \, n=q \times 2+1[/tex], então [tex]n[/tex] não é múltiplo de [tex]2[/tex]; ou seja, é ímpar. Essa é a novidade: a forma de um ímpar é [tex]2k+1[/tex].
Resumindo:

• Se [tex]n[/tex] é um número natural par, então [tex]n[/tex] é da forma [tex]n=2k[/tex], com [tex]k[/tex] um número natural.
• Se [tex]n[/tex] é um número natural ímpar, então [tex]n[/tex] é da forma [tex]n=2k+1[/tex], com [tex]k[/tex] um número natural.