Sala de Estudo: Um pouco sobre divisibilidade (Parte 1)



Um pouco sobre divisibilidade

Parte 1 – Múltiplos e divisores



O comportamento de observar relações, criar e descrever padrões visando generalizações é muito bem-vindo no estudo da Matemática!
Nesta Sala, vamos explorar particularidades de determinadas sequências numéricas para iniciar o estudo de um importante tópico da Teoria dos Números – divisibilidade.

Vamos, inicialmente, formalizar dois objetos matemáticos com os quais vocês estão habituados a trabalhar: múltiplos e divisores.
Durante toda a nossa discussão, trabalharemos apenas com números naturais.

Múltiplos e divisores


Números podem estar relacionados entre si ou formar sequências numéricas com particularidades interessantes. Essas particularidades são comumente conhecidas por padrões ou regularidades. Aqueles que gostam de resolver problemas de matemática com certeza já se depararam com questões interessantes envolvendo a descoberta de regularidades em determinadas sequências de números, ou seja, questões nas quais é necessário procurar uma lei geral que caracterize todo e qualquer elemento de uma dada sequência numérica.
O nosso ponto de partida para o estudo da divisibilidade será exatamente a procura de padrões e regularidades em algumas sequências formadas por números naturais. Não serão sequências mirabolantes, mas sequências que permitirão que desenvolvamos um pedacinho importante da teoria dos números naturais. Apresentamos três delas:

  • Sequência 1:    0 ,   2 ,   4 ,   6 ,   8 ,   10 ,   12 ,   14 ,   16 ,   …
  • Sequência 2:    0 ,   5 ,   10 ,   15 ,   20 ,   25 ,   30 ,   35 ,   40 ,   …
  • Sequência 3:    0 ,   10 ,   20 ,   30 ,   40 ,   50 ,   60 ,   70 ,   80 ,   …

O que têm em comum os elementos da primeira sequência? O que há de especial nos elementos da segunda sequência? Que elementos vêm após o 80 na terceira sequência?
Podemos responder facilmente a essas três perguntas se observarmos que as sequências foram obtidas multiplicando-se cada número natural por 2, 5 e 10, respectivamente. Com isso podemos reescrever as sequências da seguinte forma:

  • Sequência 1: 0 × 2,   1 × 2,   2 × 2,   3 × 2,   4 × 2,   5 × 2,   6 × 2,   7 × 2,   8 × 2,   …
  • Sequência 2: 0 × 5,   1 × 5,   2 × 5,   3 × 5,   4 × 5,   5 × 5,   6 × 5,   7 × 5,   8 × 5,   …
  • Sequência 3: 0 × 10,   1 × 10,   2 × 10,   3 × 10,   4 × 10,   5 × 10,   6 × 10,   7 × 10,   8 × 10,   …

e como multiplicamos números naturais por 2, 5 e 10, dizemos que as sequências são, respectivamente, formadas por:

  • múltiplos de 2;
  • múltiplos de 5;
  • múltiplos de 10.

O padrão que caracteriza os elementos de qualquer uma dessas três sequências (e responde, particularmente, às três perguntas formuladas) pode ser generalizado. Podemos, então, produzir para cada número natural [tex] a[/tex] a sequência dos múltiplos de [tex] a[/tex]:

  • [tex] \, \, 0 \times a, \, 1 \times a, \, 2 \times a, \, 3 \times a, \, 4 \times a, \, 5 \times a, \, 6 \times a, \, 7 \times a, \, 8 \times a, \, \cdots[/tex].

Feitos os produtos, podemos notar que nessa sequência o primeiro elemento é [tex] 0[/tex] e cada elemento, a partir do segundo, é a soma entre o elemento anterior e [tex] a[/tex], ou seja, é uma sequência de números que se inicia em zero e vai aumentando de [tex] a[/tex] em [tex] a[/tex]:

  • [tex] \, \, 0, \, \, a, \, \, 2a, \, \, 3a, \, \, 4a, \, \, 5a, \, \, 6a, \, \, 7a, \, \, 8a, \, \, \cdots[/tex].

A relação entre cada elemento dessa sequência e o número natural [tex] a[/tex] que a definiu será importante para os nossos propósitos, portanto vamos registrá-la como uma definição.

Definição: Sejam [tex]a[/tex] e [tex]n[/tex] números naturais. Dizemos que [tex]n[/tex] é um múltiplo de [tex]a[/tex] quando existir um número natural [tex]k[/tex] de modo que [tex]n=k\times a[/tex].

Dessa forma:

  • 18 é múltiplo de 2, pois 18 = 9 × 2 e 9 é um número natural;
  • 40 é múltiplo de 10, pois 40 = 4 × 10 e 4 é um número natural;
  • 259 é múltiplo de 37, pois 259 = 7 × 37 e 7 é um número natural;
  • 15 não é múltiplo de 7, pois não existe um número natural [tex]k[/tex] tal que [tex]15=k\times 7[/tex];
  • (Observe que 0 × 7 = 0, 1 × 7 = 7, 2 × 7 = 14 . Agora, 3 × 7 e todos os demais produtos [tex]k \times 7[/tex] serão maiores do que 15.)

  • o único múltiplo de 0 é o próprio 0, já que [tex]k \times 0=0[/tex] para qualquer número natural [tex]k[/tex];
  • no entanto, 0 é múltiplo de qualquer número natural [tex]a[/tex], pois [tex]0=0 \times a[/tex].

Observação: Na definição acima, a exigência de que [tex]k[/tex] seja um número natural é para evitar, por exemplo, que alguém classifique [tex]20[/tex] como um múltiplo de [tex]9[/tex], já que [tex]20=\dfrac{20}{9}\times 9[/tex]. Nesse caso, [tex]20=k\times 9[/tex], mas [tex]k[/tex] não é um número natural.

O nome é bem razoável – um múltiplo é um número obtido como resultado de uma multiplicação . . .

carinha1

Isso mesmo!

Então, para sabermos se um número natural [tex]n[/tex] é múltiplo de um número natural [tex]a[/tex], basta ir multiplicando os números naturais, em ordem crescente, por [tex]a[/tex] para tentarmos obter [tex]n[/tex] como um dos possíveis produtos.

carinha4

Teoricamente você está correto.
Mas na prática, essa verificação é bastante simples se [tex]n[/tex] não for um número muito grande; no entanto, dependendo do valor de [tex]n[/tex], a verificação pode ser muito trabalhosa.
Por exemplo, para verificarmos que [tex]51.843.350.484 [/tex] é um múltiplo de [tex]356[/tex], teríamos que fazer muitas multiplicações, já que:
[tex] \, 51843350484 = 145627389 \times 356[/tex].

E agora ??????

Probleminha2

Nada muito desesperador . . .
Veja a discussão a seguir.

Múltiplos sem multiplicações


Vamos dividir a nossa discussão de como “procurar múltiplos sem fazer multiplicações” em duas partes.
Para essa discussão, vamos considerar que não procuraremos múltiplos para zero, pois já observamos que o único múltiplo de zero é o próprio zero.

Parte 1
Sejam [tex]n[/tex] e [tex]a[/tex] números naturais, com [tex]a\ne 0[/tex], tais que [tex]n[/tex] é um múltiplo de [tex]a[/tex].
Nesse caso, o que acontece com o quociente e o resto da divisão de [tex]n[/tex] por [tex]a[/tex]?
Observemos…

[tex]\qquad \qquad \begin{array}{r}
n \, \end{array} \begin{array}{|r}
\, a \, \, \\ \hline
\end{array}[/tex]
[tex]\qquad \qquad\begin{array}{r}
r
\end{array}\begin{array}{r}
\, \, \, \, q
\end{array}[/tex]
Ao dividirmos [tex]n[/tex] por [tex]a[/tex] encontraremos um quociente [tex]q [/tex] e um resto [tex]r [/tex], únicos, tais que:
[tex]\quad (1) \, \, 0 \le r \lt a \qquad \qquad [/tex] [tex](2) \, \, n=q \times a+r[/tex].

Mas [tex]n[/tex] é um múltiplo de [tex]a[/tex], logo existe um número natural [tex]k[/tex] tal que [tex]n=k\times a[/tex], ou seja, [tex]n=k\times a+0[/tex].
Assim temos [tex]n=k\times a+0[/tex] e queremos [tex]n=q \times a+r[/tex].
Como [tex]q[/tex] e [tex]r[/tex] são únicos, necessariamente teremos [tex]\fcolorbox{black}{#CDC9C9}{$q=k$}[/tex] , [tex]\fcolorbox{black}{#CDC9C9}{$r=0$}[/tex] e, então,

[tex]n[/tex] [tex]a[/tex]
[tex]0 [/tex] [tex]k[/tex]

Podemos, portanto, concluir que:

Se [tex]n[/tex] é um múltiplo de [tex]a[/tex] e [tex]a\ne 0[/tex], então o resto da divisão de [tex]n[/tex] por [tex]a[/tex] é zero.[tex]\qquad \qquad(i)[/tex]

Parte 2
Suponhamos, agora, que [tex]n[/tex] e [tex]a[/tex] sejam números naturais, com [tex]a\ne 0[/tex], tais que a divisão de [tex]n[/tex] por [tex]a[/tex] seja exata.

[tex]n[/tex] [tex]a[/tex]
[tex]0 [/tex] [tex]q[/tex]

Como em uma divisão o dividendo é a soma entre o resto e o produto do divisor pelo quociente, então temos que [tex]n=q\times a+0[/tex], ou seja, [tex]n=q\times a[/tex]. Como [tex]n=q\times a[/tex] e [tex]q[/tex] é natural, temos que [tex]n[/tex] é múltiplo de [tex]a[/tex].
Pelo exposto, podemos concluir que

Se a divisão de [tex]n[/tex] por [tex]a[/tex] tem resto zero, então [tex]n[/tex] é um múltiplo de [tex]a[/tex].[tex]\qquad \qquad(ii)[/tex]

As conclusões [tex](i)[/tex] e [tex](ii)[/tex] podem ser escritas de uma só vez, da seguinte forma:

Se [tex]n[/tex] e [tex]a[/tex] são números naturais, com [tex]a\ne 0[/tex], então

[tex]n[/tex] é um múltiplo de [tex]a[/tex] se, e somente se, a divisão de [tex]n[/tex] por [tex]a[/tex] for exata.



Então, para saber se um número é múltiplo de outro fazemos várias multiplicações ou apenas uma divisão.

carinha1

Quase isso!
Às vezes é melhor utilizar a divisão, outras vezes as multiplicações; mas em muitas situações as duas maneiras produzem longos processos.
Portanto, precisaremos desenvolver outros métodos para sabermos se um número é múltiplo de outro…

Que bom que teremos outras alternativas.
Fazer divisão às vezes é meio complicadinho

carinha11

Precisaremos desenvolver um pouco mais de teoria para estabelecer esses outros métodos. Por agora, vamos aproveitar a discussão e apresentar mais uma maneira de nos referirmos a dois números naturais tais que um é múltiplo do outro.



Definição: Sejam [tex]m[/tex] e [tex]d[/tex] números naturais. Dizemos que [tex]d[/tex] é um divisor de [tex]m[/tex] quando existir um número natural [tex]t[/tex] de modo que [tex]m=t\times d[/tex].
Já sabemos que, nesse caso, dizemos, também, que [tex]m[/tex] é um múltiplo de [tex]d[/tex].

divsor x multiplo







Nomenclaturas


Observem que quase toda a discussão do tópico anterior pode ser feita a partir da divisão de um número natural [tex]a[/tex], por um número natural não nulo [tex]b[/tex].

[tex]a \, \, \, \, [/tex] [tex] \, \, \, \, b[/tex]
[tex]r [/tex] [tex]\quad q \quad[/tex]

Em particular, se [tex]r=0[/tex], temos que [tex]a=q\times b[/tex] e podemos relacionar os números [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex] dizendo que:

  • a divisão de [tex]a[/tex] por [tex]b[/tex] tem resto [tex]0[/tex];
  • a divisão de [tex]a[/tex] por [tex]b[/tex] é exata;
  • [tex]a[/tex] é divisível por [tex]b[/tex];
  • [tex]b[/tex] é um divisor de [tex]a[/tex];
  • [tex]a[/tex] é um múltiplo de [tex]b[/tex].

(Cinco nomenclaturas para designar o mesmo fato: [tex]a=q\times b[/tex], com [tex]a[/tex], [tex]b[/tex], [tex]q[/tex] números naturais e [tex]b\ne 0[/tex].)

Observações:
1) É importante ter em mente que, ao iniciarmos uma divisão, estamos assumindo que essa divisão pode ser realizada e, portanto, o divisor é diferente de zero.

[tex]Dividendo \, \, \, \, [/tex] [tex] \, \, \, \, divisor[/tex]
[tex]resto [/tex] [tex]\quad quociente \quad [/tex]

No entanto observem, mais uma vez, que essa restrição não tira a generalidade da discussão, uma vez que, se zero é divisor de [tex]a[/tex], então existe um natural [tex]t[/tex] de forma que [tex]a=t\times 0 [/tex] e com isso, necessariamente, [tex]a=0[/tex].
2) Pelo anteriormente exposto, ao executarmos uma divisão assumiremos que o número utilizado como divisor é diferente de zero, mesmo que isso não seja explicitamente dito.
3) Nesta nossa discussão, denotaremos o produto do número [tex]m[/tex] pelo número [tex]n[/tex] também por [tex]m\cdot n[/tex] ou simplesmente por [tex]mn[/tex].

A partir dos conceitos de múltiplo e divisor, podemos obter algumas classificações interessantes para os números naturais. Alguns desses números serão objetos de Salas de Estudo específicas, mas vale a pena defini-los aqui e aproveitar para amadurecer um pouco mais os conceitos de múltiplo e de divisor. Além do que, esses números são temas frequentes de problemas de várias olimpíadas.

Alguns números especiais


Neste tópico serão apresentados alguns números especiais que foram criados a partir da mistura entre misticismo e matemática, tão peculiar aos gregos antigos. Particularmente, os pitagóricos ficaram conhecidos por sua adoração aos números, inclusive baseando neles a sua filosofia e o seu modo de viver; e é aos pitagóricos que se atribui a descoberta de propriedades interessantes e curiosas sobre os números especiais que aqui apresentaremos. O que se pode afirmar com certeza é que propriedades envolvendo esses números já apareciam, há cerca de 300 anos a.C., nos Elementos de Euclides, nos três livros dedicados à Aritmética: o livro VII, o livro VIII e o livro IX.
Lidar na prática com esses números pode não ser uma tarefa fácil, já que eles são definidos a partir dos conceitos de divisor e múltiplo. Mas eles aparecem em belíssimos problemas criados ao longo da história da matemática!

Vamos conhecer alguns desses números?

Basta clicar no respectivo botão!




I – Números pares e ímpares


A sequência dos múltiplos de [tex] \, 2 \, [/tex] define uma categoria importante e muito antiga de números naturais: os números naturais pares. Um número natural [tex]n[/tex] é dito par se [tex]n[/tex] for um múltiplo de [tex]2[/tex]; assim temos formalmente a seguinte definição:

Definição: Um número natural [tex]n[/tex] é dito par se existir um número natural [tex]k[/tex] de modo que [tex]n=2k[/tex].
Um número natural que não seja par chama-se ímpar.

Assim, se denotarmos o conjunto dos números pares por [tex]\mathbb{P}[/tex] e o conjunto dos números ímpares por [tex]\mathbb{I}[/tex], então:

[tex]\qquad\qquad \mathbb{P}=\{ \, 0, \, 2, \, 4, \, 6, \, 8, \, \cdots \, \}\qquad[/tex] e [tex]\qquad \mathbb{I}=\{ \, 1, \, 3, \, 5, \, 7, \, 9, \, \cdots \, \}[/tex].



Tá, os pares são os múltiplos de [tex]2[/tex] e os ímpares são múltiplos do quê?

Probleminha2

Os números ímpares não vão ser caracterizados como múltiplos de um número natural específico, pois esse número não existe. A caracterização dos ímpares é feita de uma forma diferente. Observe a próxima discussão.



Caracterização dos números ímpares

Inicialmente, vamos mostrar que não podemos caracterizar os ímpares como múltiplos de um determinado número natural, pois tal número natural não existe.

Justificativa: Sabemos que [tex]1[/tex] não é par, logo é ímpar. Por outro lado, [tex]1[/tex] é múltiplo apenas de [tex]1[/tex]; assim, se todos os ímpares fossem múltiplos de um determinado número natural, esse número deveria ser [tex]1[/tex]. Mas notem que todos os pares também são múltiplos de [tex]1[/tex]; logo ser múltiplo de [tex]1[/tex] não é uma característica exclusiva dos ímpares e, portanto, não podemos dizer que os ímpares são aqueles números naturais que são múltiplos de [tex]1[/tex], pois os pares também o são.

Tentemos, então, outra caracterização.
Sabemos que, ao dividir um número natural [tex]n[/tex] qualquer por [tex]2[/tex], obtemos um quociente [tex]q[/tex] e um resto [tex]r[/tex], únicos, satisfazendo duas condições:

[tex]\qquad \qquad \begin{array}{r}
n \, \end{array} \begin{array}{|r}
\, 2 \, \, \\ \hline
\end{array}[/tex]
[tex]\qquad \qquad\begin{array}{r}
r
\end{array}\begin{array}{r}
\, \, \, \, q
\end{array}[/tex]
[tex]\qquad \qquad(1) \, \, 0 \le r \lt 2 \qquad \qquad[/tex]
[tex]\qquad \qquad(2) \, \, n=q \times 2+r[/tex].

Como por [tex](1)[/tex] [tex]0 \le r \lt 2 [/tex], temos apenas duas opções para [tex]r[/tex], [tex]r=0[/tex] ou [tex]r=1[/tex]. Logo, se [tex]n[/tex] for um número natural, de acordo com [tex](2)[/tex], [tex]n[/tex] pode ter duas formas:
[tex]\qquad n=q \times 2\qquad [/tex] ou [tex]\qquad n=q \times 2+1[/tex].
Se [tex] \, n=q \times 2[/tex], então [tex]n[/tex] é múltiplo de [tex]2[/tex]; portanto par. Bom, isso já sabíamos; afinal, a forma de um par não é [tex]2k[/tex]?
Se [tex] \, n=q \times 2+1[/tex], então [tex]n[/tex] não é múltiplo de [tex]2[/tex]; ou seja, é ímpar. Essa é a novidade: a forma de um ímpar é [tex]2k+1[/tex].
Resumindo:

  • Se [tex]n[/tex] é um número natural par, então [tex]n[/tex] é da forma [tex]n=2k[/tex], com [tex]k[/tex] um número natural.
  • Se [tex]n[/tex] é um número natural ímpar, então [tex]n[/tex] é da forma [tex]n=2k+1[/tex], com [tex]k[/tex] um número natural.

II – Números perfeitos


Definição: Um número natural [tex]n[/tex], [tex]n\gt 1[/tex], é dito perfeito se for igual à soma de seus divisores próprios.
Os divisores próprios de um número natural [tex]n[/tex] são todos os divisores de [tex]n[/tex], exceto o próprio [tex]n[/tex].

Assim, para sabermos se um número natural [tex]n\gt 1[/tex] é perfeito temos que:

  • encontrar todos os divisores de [tex]n[/tex] (tarefa não trivial na maioria dos casos);
  • somar todos os divisores de [tex]n[/tex], exceto [tex]n[/tex];
  • verificar se a soma obtida é [tex]n[/tex] ou não.

Os quatro primeiros números perfeitos são:

✓ [tex]6=1+2+3[/tex]
✓ [tex]28=1+2+4+7+14[/tex]
✓ [tex]496=1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248[/tex]
✓ [tex]8128=1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064[/tex]

e já eram conhecidos pelos gregos antigos desde, pelo menos, Euclides. O quinto número da lista só foi encontrado no século XV: [tex]33.550.336[/tex].


Uma observação curiosa é que todos os números perfeitos conhecidos até o momento são pares. Mais do que isso, nada se sabe sobre a existência ou não de números perfeitos que não sejam pares.

III – Números abundantes e números deficientes


Se um número natural não é perfeito significa que esse número não é igual à soma de seus divisores próprios. Nesse caso, ele pode ser classificado de duas formas, de acordo com as próximas definições.

Definição: Um número natural [tex]n[/tex], [tex]n\gt 1[/tex], é dito deficiente se a soma de seus divisores próprios é inferior a ele.

Definição: Um número natural, [tex]n\gt 1[/tex], é dito abundante se a soma de seus divisores próprios é superior a ele.

Assim, ao compararmos um número natural [tex]n\gt 1[/tex] com a soma de seus divisores próprios, a qual denotaremos por [tex]s(n),[/tex] podemos ter três situações distintas e excludentes:

  • [tex]n=s(n)[/tex]: o número [tex]n[/tex] é perfeito;
  • [tex]n\lt s(n)[/tex]: o número [tex]n[/tex] é abundante;
  • [tex]n\gt s(n)[/tex]: o número [tex]n[/tex] é deficiente.

Por exemplo:

● 8 é deficiente, já que [tex]s(8)=1+2+4=7\lt 8[/tex];
● 12 é abundante, já que [tex]s(12)=1+2+3+4+6=16\gt 12[/tex];
● 13 é deficiente, já que [tex]s(13)=1\lt 13[/tex];
● 18 é abundante, já que [tex]s(18)=1+2+3+6+9=21\gt 18[/tex].

Dentre os números deficientes podemos encontrar os quase perfeitos! Vejam a definição a seguir.

Definição: Um número natural é dito quase perfeito se a soma de seus divisores próprios é o seu antecessor.
De acordo com a notação acima definida, um número natural [tex]n[/tex] é quase perfeito se [tex]s(n)=n-1.[/tex]

Observem exemplos de números quase perfeitos:

● 4 é quase perfeito, pois [tex]s(4)=1+2=3[/tex];

● 8 é quase perfeito, pois [tex]s(8)=1+2+4=7[/tex];

● 16 é quase perfeito, pois [tex]s(16)=1+2+4+8=15[/tex].

IV – Números primos


Definição: Um número natural [tex]n[/tex], [tex]n\gt 1[/tex], é dito primo se [tex]n[/tex] só admite como divisores ele próprio e o [tex]1[/tex].
Um número natural [tex]n[/tex], [tex]n\gt 1[/tex] que não é primo é dito um número composto.

É importante observar que os números [tex]0[/tex] e [tex]1[/tex] não são considerados nem primos e nem compostos, já que essas denominações são exclusivas para números naturais maiores do que um. Portanto, os números naturais podem ser separados em três conjuntos disjuntos:
primosxcompostos

  • [tex]\{[/tex]números primos[tex]\}[/tex];
  • [tex]\{[/tex]números compostos[tex]\}[/tex];
  • [tex]\left\{0,1\right\}[/tex].

Dessa forma, [tex]\mathbb{N}=\left\{0,1\right\} \cup\{[/tex]números primos[tex]\}\cup\{[/tex]números compostos[tex]\}[/tex] e, assim, se [tex]n[/tex] é um número natural tal que [tex]n\gt 1[/tex], então:

  • [tex]n[/tex] é primo se, e somente se, possuir exatamente dois divisores;
  • [tex]n[/tex] é composto se, e somente se, possuir mais de dois divisores.

Esta é a relação de todos os números naturais primos menores do que [tex]100[/tex]:
[tex]\qquad \qquad 2, \, \, 3, \, \, 5, \, \, 7, \, \, 11, \, \, 13, \, \, 17, \, \, 19, \, \, 23, \, \, 29, \, \, 31, \, \, 37, \, \, 41,\\
\qquad \qquad 43, \, \, 47, \, \, 53, \, \, 59, \, \, 61, \, \, 67, \, \, 71, \, \, 73, \, \, 79, \, \, 83, \, \, 89, \, \, 97 \, .[/tex]


Observação: As restrições feitas em uma definição matemática visam que o objeto que está sendo definido não contrarie a teoria que será desenvolvida a partir daquela definição. Assim, o motivo da convenção de que classifiquemos apenas números naturais maiores do que [tex]1[/tex] como primos ou compostos ficará clara, com o desenvolvimento da teoria que faremos nas próximas salas.




Agora vocês já tem material suficiente para trabalhar, não é?
Então vamos deixar alguns problemas e alguns applets para vocês praticarem . . .

Vamos lá, pessoal!

carinha12

Atividades


Para executar as atividades que serão propostas, vocês precisarão apenas das definições de:

  • múltiplo e divisor;
  • números pares e números ímpares;
  • números perfeitos, números abundantes, números deficientes e números quase perfeitos;
  • números primos e números compostos.

Utilizem inicialmente os applets para fixar os conceitos de divisor e múltiplo e depois ataquem os problemas!

Bons estudos!

Boa diversão!!!







Conheçam a continuação desta sala clicando AQUI



Equipe COM – OBMEP

Referências:
BOYER, C. B., História da Matemática. São Paulo: Edgard Blücher, 1974.
DANTZIG, T., Número: A linguagem da Ciência. Rio de Janeiro: Zahar Editores, 1970.
DOMINGUES, H. H., Fundamentos de Aritmética. São Paulo: Atual Editora, 1991.
HOWARD, R., Introdução à História da Matemática. Campinas: Editora Unicamp, 2004.
RIBENBOIM, P., Números Primos: mistérios e recordes. Coleção Matemática Universitária. Rio de Janeiro: IMPA, 2001.
SAMPAIO, J.C.V.; CAETANO, P.A.S., Introdução à Teoria dos Números – Um curso breve. São Carlos: EDUFScar, 2008.

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