Atividade: A Razão Áurea

Tópicos

I – Apresentação do Tema

Encontrada na ciência e na natureza, em diferentes formas, na obra de artistas como Salvador Dalí, de arquitetos como Le Corbusier e na arquitetura de forma geral, a razão áurea é um dos números mais famosos da matemática, há muito tempo – os gregos antigos já atribuíam a essa razão propriedades mágicas e usavam-na nas construções de seus edifícios.
A razão áurea é um número irracional, tal qual o famoso número [tex]\pi[/tex] (pi), e é também denotado por uma letra grega, o “phi” (pronunciamos fi): phi maiúsculo, [tex]\Phi[/tex], ou phi minúsculo, [tex]\varphi[/tex].
Conhecido desde a Antiguidade, o [tex]\Phi[/tex] recebeu vários títulos honoríficos: “Número Áureo”, “Razão Áurea”, “Seção Áurea”, “Proporção Áurea”, “Proporção de Ouro”, “Número de Ouro”, “Média e Extrema Razão”, “Divisão de Extrema Razão”, “Razão de Phidias” e até “Proporção Divina”, tal o fascínio que esse número exerceu sobre as pessoas!
Talvez seja difícil imaginar um número que apareça em situações tão diferentes – artes, ciências, natureza – mas, embora chegue até a ser denominado de Proporção Divina, a razão áurea é apenas um número e uma bela oportunidade de se estudar matemática!
E é com esse espírito que apresentamos o objeto central desta Sala de Atividades: [tex]\Phi[/tex]
Esse famoso objeto matemático aqui será tratado cercado de algumas de suas verdades e de alguns de seus mitos, já que nem tudo o que encontramos sobre esse número é verdadeiro!
Portanto, peguem papel, lápis, borracha e uma lupa, e mãos à obra.

Boa investigação e boa diversão!!!

II – Um pouco de matemática para começar . . .

A equação [tex]X^2-X-1=0[/tex], resultante da modelagem desse problema, fornece respostas para alguns problemas geométricos interessantes. Observem dois deles.

O segundo problema trata de retângulos semelhantes. Se vocês sabem quando dois retângulos são semelhantes, podem ir direto para o problema; caso contrário, vejam antes a próxima definição.

Dois retângulos são ditos semelhantes, se seus lados correspondentes são proporcionais, isto é, se a razão entre os lados maior e menor de um retângulo é igual à razão entre os lados maior e menor do outro.

Problema: Considere qualquer retângulo ABCD com a seguinte propriedade:
se dele suprimirmos um quadrado como AEFD, o retângulo restante, EBCF, será semelhante ao retângulo original.

Determinar a razão entre os lados maior e menor do retângulo inicial ABCD.

Suponhamos que o retângulo ABCD tenha lados com comprimento [tex]a \, [/tex] e [tex] \, a+b \, [/tex].

Como os retângulos ABCD e EBCF são semelhantes, então[tex] \, \dfrac{a+b}{a}=\dfrac{a}{b}[/tex].
Se [tex] \, r=\dfrac{a+b}{a}[/tex], podemos, então afirmar que [tex] \, r=\dfrac{a+b}{a}=1+\dfrac{b}{a}=1+\dfrac{1}{r} \, [/tex], ou, ainda, que [tex]r^2-r-1=0[/tex].
Como [tex]r\gt0[/tex], então [tex]r=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}[/tex] .

Apresentamos três dos inúmeros problemas cuja solução consiste em encontrar a raiz positiva da equação [tex]X^2-X-1=0[/tex], portanto já temos uma motivação inicial para darmos um nome especial para o número irracional positivo [tex]\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}[/tex]. Vamos lá!

➥ Diz-se que um ponto [tex]X[/tex] de um segmento [tex]\overline{AB}[/tex] divide este segmento em média e extrema razão se a razão entre os comprimentos do menor e do maior dos segmentos é igual à razão entre os comprimentos do maior e do segmento todo.

É claro que

• se [tex]\dfrac{b}{a}=\dfrac{a}{a+b}[/tex], então [tex]\dfrac{a}{b}=\dfrac{a+b}{a}[/tex]

e que

• se [tex]\dfrac{a}{b}=\dfrac{a+b}{a}[/tex], então [tex]\dfrac{b}{a}=\dfrac{a}{a+b}[/tex],

logo poderíamos caracterizar a média e extrema razão por qualquer uma das duas igualdades. A opção pela igualdade [tex]\dfrac{b}{a}=\dfrac{a}{a+b}[/tex] foi preservar a definição dada por Euclides, em os Elementos.
Independente de qual seja a igualdade utilizada para definirmos média e extrema razão, a próxima divisão se refere a uma razão específica.

➥ Seja [tex]X[/tex] o ponto que divide um segmento [tex]\overline{AB}[/tex] em média e extrema razão.

Chamamos de razão áurea a razão entre os comprimentos do maior e do menor segmentos resultantes da divisão do segmento inicial [tex]\overline{AB}[/tex], isto é, [tex]\dfrac{a}{b}[/tex].

Embora possa não parecer, a razão áurea é uma constante que independe do segmento que foi dividido em média e extrema razão. Podemos verificar essa afirmação utilizando parte do raciocínio do segundo problema acima para mostrar que a razão áurea é a raiz positiva da equação [tex]X^2-X-1=0[/tex], qual seja, [tex]\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}[/tex].

Suponhamos que o segmento [tex]\overline{AB}[/tex] tenha sido dividido em média e extrema razão pelo ponto [tex]X[/tex]. Dessa forma, [tex]\dfrac{b}{a}=\dfrac{a}{a+b}[/tex].
Seja [tex]r[/tex] a chamada razão áurea, isto é, [tex]r=\dfrac{a}{b}=\dfrac{a+b}{a}[/tex] e observe, inicialmente, que
[tex] \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, r=\dfrac{a+b}{a}=1+\dfrac{b}{a}=1+\dfrac{1}{r}[/tex].
Assim [tex]r^2=r+1[/tex], donde [tex]r^2-r-1=0[/tex].
A princípio, teríamos dois valores possíveis para [tex]r[/tex]: [tex]r=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}[/tex] ou [tex]r=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}[/tex]; mas [tex]r[/tex] é um quociente entre comprimentos, logo [tex] r \gt 0[/tex] e, portanto, [tex]r=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}[/tex].

Finalmente, podemos apresentar formalmente o número de ouro e também outro belo objeto matemático: o retângulo áureo!

➥ Chamamos de número de ouro, e denotamos por [tex]\phi[/tex] ou [tex]\Phi[/tex], ou ainda [tex]\varphi[/tex]; o número irracional positivo [tex] \, \, \dfrac{1+\sqrt{5}}{2}[/tex].

➥ Um retângulo áureo é um retângulo cujo comprimento do seu lado maior dividido pelo comprimento do seu lado menor é igual ao número de ouro.

Convém observar que, sendo irracional, o número de ouro é um número decimal infinito e não periódico. Assim, qualquer representação finita de [tex]\Phi[/tex] é uma aproximação e não o valor do número de ouro:

• [tex]\Phi=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}[/tex]
• [tex]\Phi=1,6180339887498948482045868343656381177203091798…[/tex]
• [tex]\Phi\approx1,618[/tex]

III – Como podemos obter a razão áurea?

Resolvam os problemas abaixo e comprovem que a razão áurea aparece, de fato, em várias situações.

1) Determinar um número positivo que seja uma unidade maior do que o seu inverso.
2) Qual o comprimento da diagonal de um pentágono regular cujos lados medem 1?
3) Determinar o valor de[tex]\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+ \, \cdots\textcolor{white}{(}}}}}}}[/tex].
4) Determinar o valor de [tex]1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\cdots}}}}}[/tex].
5) Verificar que, se um retângulo de lados com comprimentos [tex]a + b[/tex] e [tex]a[/tex] é áureo, então o retângulo de lados com comprimentos [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex] também o é.

IV – Pesquisas

Pesquisem os temas abaixo e, com certeza, vocês encontrarão muita coisa interessante sobre [tex]\Phi[/tex]. Busquem informações na Internet, em livros e não dispensem, mais uma vez, a ajuda imprescindível de seus professores.

1) Mostrem como dividir geometricamente um segmento em média e extrema razão.
2) Mostrem como construir geometricamente um Retângulo Áureo.

3) O que é o “Ângulo de Ouro”?
4) Investiguem uma possível relação do “Ângulo de Ouro” com as sementes e as pétalas de um Girassol.

5) Investiguem se é possível encontrar a Razão Áurea na natureza do crescimento, por exemplo, no crescimento de plantas, em espirais de galáxias, nos dentes dos elefantes e em ondas dos oceanos.
6) Expliquem a relação da Sequência de Fibonacci com a Razão Áurea.

7) Investiguem uma possível relação do Retângulo Áureo com as obras “Mona Lisa” de Leonardo da Vinci e “O Sacramento da Última Ceia” de Salvador Dalí.
8) Investiguem uma possível relação entre a Razão Áurea e o Parthenon / Partenon.

V – Galeria de Vídeos

Aqui vocês encontram vídeos que poderão utilizar nas suas pesquisas.
Cliquem na figura correspondente ao vídeo que vocês querem assistir: na janela que irá abrir, é só clicar na setinha e, depois de assistir ao vídeo escolhido, é só fechar a janela que se abriu.

Donald no País da Matemágica: Divina proporção	Os Segredos do Partenon

 

Isto é Matemática: A Proporção Divina – Parte 1	Isto é Matemática: A Proporção Divina – Parte 2

 

M3 Matemática Multimídia: Um encontro inusitado	Proporção áurea: ferramenta ou mito?

 

Phi Ratio – Sequência de Fibonacci Proporção Áurea	Matemática em toda parte Artes / Retângulo Áureo

VI – Pequena Galeria de Arte

Aqui estão duas obras de arte necessárias para suas pesquisas.

Clique na figura para ampliá-la.	Clique na figura para ampliá-la.
Obra: O Sacramento da Última Ceia (1955) Autor: Salvador Dalí (1904-1989) Técnica: Óleo sobre tela Estilo: Surrealismo Tamanho: 167 cm × 268 cm Localização: Galeria Nacional de Artes – Washington	Obra: Mona Lisa (1503–1517) Autor: Leonardo da Vinci (1452-1519) Técnica: Tinta a óleo Estilo: Renascimento Tamanho: 77 cm × 53 cm Localização: Museu do Louvre – Paris

VII – Galeria de Applets

Disponibilizamos alguns applets para ajudá-los nas investigações propostas. Para facilitar o manuseio e ampliar a área de trabalho, cada applet abrirá em uma outra janela.

VIII – Textos que podem ajudar

Disponibilizamos abaixo links de textos que vocês poderão utilizar nas diversas atividades propostas nas salas sobre a Razão Áurea.

Bom proveito!

❐ A Mitologia e a Verdade da Razão de Ouro   (Último acesso em 08/08/18)
❐ Os mitos e verdades sobre a proporção áurea  (Último acesso em 08/08/18)
❐ Retângulo áureo e divisão áurea  (Último acesso em 08/08/18)

IX – Atividades de Campo

Agora que vocês já estão familiarizados com a razão áurea, que tal utilizarem-na para se divertir?
Escolham um tema, cliquem sobre ele e mãos à obra!

Proporção Áurea: um dos padrões de beleza.
Um concurso de beleza.
Procurando a relação áurea …
A Espiral Áurea.