. Um pouco sobre polígonos – Estrelas 2

As   figuras (n , k)  são obtidas quando atribuímos para as variáveis [tex] n [/tex] e [tex] k [/tex] valores numéricos estabelecidos na definição, ou seja, números naturais tais que 0 < k < n . Observem que, dividida uma circunferência em n   arcos congruentes, os segmentos de reta que definem uma figura (n , k) são cordas da circunferência fixada, todas com o mesmo comprimento e tendo como extremidades pontos que dividiram a circunferência nas [tex] n [/tex] partes iguais. O comprimento constante dessas cordas depende do número [tex] k [/tex], já que este determina a quantidade de arcos que serão pulados na definição de cada segmento.
Vejamos alguns exemplos dessas figuras.

➥Se [tex] k [/tex] for um número natural não nulo e n = 2k, então a figura (n , k) definida será um segmento de reta.

Com efeito, fixado um número natural não nulo [tex] k [/tex], vamos cumprir os passos que definem a   figura (2k,k):
▸ PASSO 1 – Dividimos uma circunferência em n = 2k partes iguais e nomeamos como A₁ , A₂ , … , A_n, nessa ordem, os consecutivos pontos da divisão. Esses pontos serão os nós do processo.
▸ PASSO 2 – Fixamos o ponto [tex]A_1[/tex]: este será o primeiro “ponto visitado“.
▸ PASSO 3 – Traçamos o segmento de reta do ponto [tex]A_1[/tex] ao ponto A_1+k (demos [tex] k [/tex] saltos). Assim, A_1+k será o nosso segundo ponto visitado.
▸ PASSO 4 – O PASSO 3 só poderá ser executado mais uma vez: ao darmos [tex] k [/tex] pulos a partir do ponto A_1+k, chegaremos ao ponto A_(1+k)+k.
Como (1+k)+k = 2k+1 = n+1, isso significa que percorremos uma volta completa na circunferência e retornamos ao ponto [tex]A_1[/tex], que é um ponto já visitado. O segmento definido neste segundo caminho é o mesmo do primeiro.

☞ Vale observar que, fixado um número natural não nulo [tex] k [/tex], se repetirmos o processo de construção da   figura (2k , k) por [tex] k [/tex] vezes, tomando, nos respectivos PASSO 2, sucessivamente, os pontos [tex]A_1, \, A_2, \, \cdots , A_k [/tex], obteremos aqueles segmentos de reta concorrentes que observamos na Sala 1 sobre Estrelas.

➥ Se [tex] n [/tex] for um número natural tal que n > 2 e k = 1, a figura (n , k) será um polígono regular de [tex] n [/tex] lados.

Seja [tex] n [/tex] um número natural, n > 2.
Vamos, agora, cumprir os passos que definem a   figura (n , 1) :
▸ PASSO 1 – Dividimos uma circunferência em [tex] n [/tex] partes iguais e chamamos de A₁ , A₂ , … , A_n , nessa ordem, os consecutivos pontos da divisão.
▸ PASSO 2 – Fixamos o ponto [tex]A_1[/tex]: este será o nosso primeiro ponto visitado.
▸ PASSO 3 – Traçamos o segmento de reta do ponto [tex]A_1[/tex] ao ponto [tex]A_2[/tex] (demos 1 salto). Dessa forma, [tex]A_2[/tex] será o nosso segundo ponto visitado.▸ PASSO 4 – O PASSO 3 poderá ser executado mais n – 1 vezes:
✓ traçamos o segmento de reta de [tex]A_2[/tex] para [tex] A_3 [/tex] e [tex] A_3 [/tex] será o terceiro ponto visitado;

✓      .   .   .

✓ traçamos o segmento de reta de [tex] A_{n-1} [/tex] para [tex] A_n [/tex] e [tex] A_n [/tex] será o n-ésimo ponto visitado;

✓ traçamos o segmento de reta de [tex] A_n [/tex] para [tex]A_1[/tex]; e, como [tex]A_1[/tex] já é um ponto visitado, terminamos o processo.

➥ Seja [tex] n [/tex] um número natural maior do que 5.
Se [tex] k [/tex] é um número natural tal que [tex] k [/tex] seja um divisor de [tex] n [/tex] e  1 < k < [tex]\dfrac{n}{2}[/tex], então a figura (n , k)  será um polígono regular com menos de [tex] n [/tex] lados (mais especificamente, com [tex]\dfrac{n}{k}[/tex] lados).

Sejam [tex] n \, [/tex] um número natural maior do que [tex]5[/tex] ([tex]n > 5[/tex]) e [tex]k [/tex] um divisor de [tex] n[/tex] tal que [tex] \, \, 1 \lt k \lt \dfrac{n}{2}[/tex].
Inicialmente, observamos que, como [tex] k [/tex] é um divisor de [tex] n[/tex], então existe um número natural [tex]t[/tex] tal que [tex]n=k\cdot t[/tex]. Feita a observação, vamos cumprir os passos que definem a figura (n , k) :
▸ PASSO 1 – Dividimos uma circunferência em [tex] n [/tex] partes iguais e chamamos de [tex] A_1, \, A_2, \, A_3,\cdots, \, A_n[/tex], nessa ordem, os consecutivos pontos da divisão.
▸ PASSO 2 – Fixamos o ponto [tex] A_1[/tex] como o nosso primeiro ponto visitado.
▸ PASSO 3 – Damos [tex] k[/tex] saltos e traçamos o segmento de reta do ponto [tex] A_1[/tex] ao ponto [tex] A_{1+k}[/tex]. Com isso, [tex] A_{1+k}[/tex] será o segundo ponto visitado.
▸ PASSO 4 – O PASSO 3 poderá ser executado mais t – 1 vezes:
✓ traçamos o segmento de reta de [tex] A_{1+k}[/tex] para [tex] A_{1+2k}[/tex] ([tex]k[/tex] saltos) e [tex] A_{1+2k}[/tex] será o terceiro ponto visitado;
✓ traçamos o segmento de reta de [tex] A_{1+2k}[/tex] para [tex] A_{1+3k}[/tex] ([tex]k[/tex] saltos) e [tex] A_{1+3k}[/tex] será o quarto ponto visitado;

✓      .   .   .

✓ traçamos o segmento de reta de [tex] A_{1+(t-2)k}[/tex] para [tex] A_{1+(t-1)k}[/tex] ([tex]k[/tex] saltos) e [tex] A_{1+(t-1)k}[/tex] será o t-ésimo ponto visitado;
✓ traçamos o segmento de reta de [tex] A_{1+(t-1)k}[/tex] para [tex] A_{1+tk}=A_{1+n}=A_1[/tex]. Como [tex]A_1[/tex] já é um ponto visitado, terminamos o processo.

Terminado o processo, obtemos um polígono regular com [tex]t[/tex] lados.
Por outro lado, como [tex]t[/tex] também é divisor de [tex]n[/tex] e [tex]k \ne 1[/tex], então [tex]t \lt n[/tex] e, portanto, a figura (n , k) é um polígono regular com menos de [tex]n[/tex] lados.

Observemos os casos particulares da   figura (12 , 2) , da   figura (12 , 3)  e da   figura (12 , 4) , nos quais obtemos, respectivamente, polígonos regulares de 6, 4 e 3 lados.

☞ Vale, também, observar que, fixado um número natural não nulo [tex] k [/tex] que seja um divisor de [tex] n [/tex], se repetirmos o processo de construção da   figura (n , k) por [tex] k [/tex] vezes, tomando, nos respectivos PASSO 2, sucessivamente, os pontos A₁ , A₂ , … , A_k, obteremos [tex] k [/tex] polígonos regulares com [tex]\dfrac{n}{k}[/tex] lados, ou seja, aquelas figuras que denominamos Falsas Estrelas, na Sala 1 sobre Estrelas.

Observemos, mais uma vez, os casos particulares da   figura (12 , 2) , da   figura (12 , 3)  e da   figura (12 , 4) , repetindo, agora, cada processo de construção por 2, 3 e 4 vezes, respectivamente.

➥ Sejam [tex] n [/tex] e [tex] k [/tex] números naturais tais que 0 < k < n .
Então as figuras (n , k)  e   (n , n − k)  construídas a partir de uma mesma circunferência são iguais.

Tente justificar.
Se precisar, use a dica abaixo!

Suponha, sem perda de generalidade, que k < n − k .
Divida uma circunferência em [tex] n [/tex] partes iguais e fixe um dos pontos de divisão como A₁ .
Onde você vai marcar os pontos A_1+k e A_{1+(n – k)} ?

• Sequência de pontos visitados na construção da   figura (n , k):
  ✓ A₁;
  ✓ A_1+k;
  ✓ …
  ✓ A_{1+(n – 2k)};
  ✓ A_{1+(n – k)}. (Com mais um salto de k arcos, voltamos para A₁.)

• Sequência de pontos visitados na construção da   figura (n , n – k):
  ✓ A₁;
  ✓ A_{1+(n – k)} (É como tivéssemos dado uma volta completa e dado um salto de [tex] k [/tex] arcos para trás.)
  ✓ …
  ✓ A_1+k: último ponto visitado. (Com mais um salto de n – k arcos, voltamos para A₁.)

Observemos os casos particulares da   figura (12 , 4) e da   figura (12 , 8) . Em ambos os casos obtivemos um triângulo.

Observemos mais dois casos particulares: a   figura (12 , 5) e a   figura (12 , 7) .
Você consegue distinguir uma figura da outra?

Esse último exemplo, na verdade, é uma importante propriedade das   figuras (n , k): fixado um número natural [tex] n [/tex], com 2 < n, para conhecer todas as figuras (n , k), basta analisar os casos em que [tex] k [/tex] é um número natural não nulo tal que   k < [tex]\dfrac{n}{2}[/tex] . Afinal, já sabemos o que acontece quando   [tex] k =\dfrac{n}{2}[/tex], não é?

II – Analisando as situações apresentadas

Iniciamos a discussão da Sala 1 sobre Estrelas formulando um problema, que foi respondido. Em seguida, aprofundamos a discussão e formulamos uma nova pergunta, que ficou sem resposta. Vamos retomar o problema inicial, para tentar respondê-lo utilizando a ideia de   figuras (n , k), e depois completar a discussão respondendo a segunda pergunta. Para tanto, sejam [tex] n [/tex] e [tex] k [/tex] números naturais tais que   0 < k < n .

Sejam A₁ , A₂ , … , A_n os pontos que dividem uma dada circunferência em [tex] n [/tex] partes iguais. As figuras que obtemos ao ligarmos, consecutivamente, os [tex] n [/tex] pontos que determinam a divisão por segmentos de reta, saltando de [tex] k [/tex] em [tex] k [/tex] pontos (saltando [tex] k [/tex] arcos) são   figuras (n , k) (apenas uma ou mais figuras) e os pontos A₁ , A₂ , … , A_n são os seus respectivos nós. Logo, a pergunta sem resposta da Sala anterior pode ser assim reformulada:

Vamos em busca de respostas.
Observamos, inicialmente que, como 0 < k < n , necessariamente, n ≥ 2. Mas o que mais podemos concluir, a partir das discussões já feitas nesta Sala e, também, na Sala 1 sobre Estrelas?
Vejamos:

• Se n for par e [tex]k=\dfrac{n}{2}[/tex], obteremos um segmento de reta.

Particularmente, se n = 2, então k = 1 e a   figura (n , k), ou seja, a   figura (2 , 1) é um segmento de reta.
(Se n > 2, é possível a repetição contínua do processo da construção de   figuras (n , 1) e, neste caso, obteremos n/2 segmentos de reta concorrentes.)

➨ Dessa forma, não encontraremos estrelas quando [tex]k=\dfrac{n}{2}[/tex].

• Antes de prosseguirmos com nossa análise, lembramos que as figuras (n , k)  e   (n , n − k)  são iguais, para cada número k fixado.

  ➨ Portanto, podemos considerar na nossa discussão apenas os números naturais k tais que [tex]k\lt\dfrac{n}{2}[/tex]; pois, se a figura (n , k)  for uma estrela de [tex] n [/tex] pontas, então a figura (n , n – k) também o será.

• Fixado n, a   figura (n , 1) é um polígono regular de [tex] n [/tex] lados.

➨ Logo, não encontraremos estrelas para k = 1.

• Fixado n, se k é um divisor de n e k ≠ 1, então a figura (n , k) é um polígono regular com menos de [tex] n [/tex] lados.
  (Aqui, particularmente é possível a repetição contínua do processo de construção de figuras (n , k) e, neste caso, obteremos [tex] k [/tex] polígonos regulares com [tex]\dfrac{n}{k}[/tex] lados – estrelas falsas.)

➨ Portanto, não encontraremos estrelas quando k for um divisor de [tex] n \, . [/tex]

Já observamos algumas situações nas quais não obtemos estrelas. Com isso, nesse ponto da discussão, alguém pode conjecturar que, se [tex] k [/tex] não for um divisor de [tex] n [/tex], então a   figura (n , k) será uma estrela de [tex] n [/tex] pontas. Será que essa afirmação é correta?
Observe a figura (15 , 6).

A figura (15 , 6) é, de fato, uma estrela, mas é uma estrela de cinco pontas, ou seja, não visitamos os 15 nós obtidos na divisão da circunferência. E note que essa estrela pode ser feita com menos de 15 nós, não é?

☞ Aqui, vale a pena observarmos que se repetirmos o processo de construção da  figura (15 , 6) 3 vezes, tomando em cada PASSO 2, sucessivamente, os pontos A₁ , A₂ , A₃, visitaremos os 15 pontos e obteremos uma bela figura. Mas o resultado final não é o que definimos como uma Estrela e sim a sobreposição de três estrelas de cinco pontas.

➨ Pelo exposto, podemos encontrar estrelas nas situações nas quais k não é divisor de [tex] n [/tex], mas não encontraremos necessariamente estrelas de [tex] n [/tex] pontas.

Pelo até agora discutido, não ficamos com muitas possibilidades para caracterizarmos uma estrela de n pontas como um caso particular das figuras (n , k), para [tex] n [/tex] fixo:

• se k é um divisor de n não definimos estrelas;
• se [tex] k [/tex]e n têm fatores distintos de 1 em comum, podemos até definir estrelas, mas não necessariamente estrelas com n pontas.

Se k for distinto de 1, sobrou, então, para as estrelas de n pontas a condição de que k e n não tenham fatores em comum diferentes de 1 . Ao que tudo indica, a resposta para a pergunta não respondida é:

No entanto, precisamos mais do que falta de opções para garantirmos a veracidade dessa nossa conjectura; mas vamos deixar essa discussão para a próxima sessão.

III – Afinal, uma definição para as nossas estrelas

Vamos iniciar a nossa discussão observando que, mesmo que [tex] n [/tex] e [tex] k [/tex] sejam números naturais tais que n > 4 e 1 < k < n − 1 , o que temos até agora não nos garante que:

(1) Os quatro passos da definição de figuras (n , k) resultam em um conjunto finito de segmentos de reta.
(2) Se [tex] mdc(n,k) = 1 [/tex], então a figura (n , k) é uma estrela de [tex]n[/tex] pontas.
(3) Se uma figura (n , k) for uma estrela de [tex]n[/tex] pontas, então [tex] mdc(n,k) = 1 [/tex].

E a veracidade dessas três afirmações são essenciais para sustentar a resposta que conjecturamos para a intrigante pergunta formulada na Sala 1.
A primeira observação está intimamente ligada ao * colocado no título desta Sala: Estrelas, uma definição algorítmica^*. Para esclarecer o * e a observação (1), lembremos o que é um algoritmo.

Embora a definição de   figuras (n , k) tenha sido feita a partir de uma sequência de, apenas, quatro passos, o terceiro passo pode ser executado mais de uma vez; portanto, o que nos garante que o processo de definição de uma   figura (n , k) sempre terá um fim, já que [tex]n[/tex] poderá ser, inclusive, um número natural muito grande?
A condição de parada do nosso algoritmo de definição é traçar um segmento de reta cuja extremidade final seja um ponto (nó) já visitado; assim cabe a pergunta: esse ponto existe para qualquer número natural [tex]n[/tex] maior do que [tex]1[/tex]?
A resposta positiva para essa pergunta encontra justificativa em uma ferramenta utilizada frequentemente na matemática: Princípio da Casa dos Pombos. No nosso caso, esse princípio garante matematicamente um fato que intuitivamente é fácil de ser observado: com efeito, como a circunferência que define a figura (n , k) foi dividida em [tex] n [/tex] arcos congruentes, então existem [tex] n [/tex] nós e, portanto, existirão, no máximo, [tex] n [/tex] pontos visitados. Dessa forma, independentemente do número natural [tex] n [/tex], o passo 3 da definição poderá ser repetido, no máximo, [tex] n [/tex] vezes.
Assim, temos garantidas duas condições:

➨ A definição de figuras (n , k) é, de fato, um algoritmo.

➨ A definição de figuras (n , k) aplicada particularmente para números naturais [tex] n [/tex] e [tex] k [/tex] tais que mdc(n,k) = 1 resulta, certamente, em um conjunto finito de segmentos de reta.

Embora verdadeiras, justificar matematicamente as afirmações (2) e (3) é um pouco complicado. Podemos fazê-lo utilizando propriedades do estudo dos restos de uma divisão euclidiana ou utilizando números complexos, mais especificamente, raízes primitivas da unidade. De qualquer forma, a justificativa matemática das duas afirmações foge dos objetivos desta Sala de Estudo; mas se você se interessou pelos dois caminhos indicados para a demonstração das afirmações, consulte este texto: Polígonos Estrelados Regulares.
Considerando a veracidade das afirmações (1), (2) e (3), faz sentido definirmos, finalmente, as nossas estrelas:

IV – Novos exemplos e novas considerações

Agora ficou muito fácil determinar os valores de [tex] k [/tex] que definem estrelas de [tex] n [/tex] pontas em uma circunferência dividida em [tex] n [/tex] partes iguais: para cada natural [tex] k [/tex], com 0 < k < n, basta verificar se [tex] mdc(n,k) = 1 [/tex], ou seja, se [tex] n [/tex] e [tex] k [/tex] são o que a matemática define como primos entre si. Vejamos alguns exemplos.

➥Se [tex]n=20[/tex], as estrelas de 20 pontas aparecem quando k = 3; 7; 9; 11; 13; 17.
Além disso, são iguais as estrelas definidas para saltos de “3 em 3 e 17 em 17”; “7 em 7 e 13 em 13” e “9 em 9 e 11 em 11”.
Quando [tex]k=1[/tex] ou [tex]k=19[/tex], definimos um icoságono regular.

✓ mdc(20,2) = 2 ✓ mdc(20,3) = 1 ✓ mdc(20,4) = 4 ✓ mdc(20,5) = 5 ✓ mdc(20,6) = 2 ✓ mdc(20,7) = 1

✓ mdc(20,8) = 4 ✓ mdc(20,9) = 1 ✓ mdc(20,10) = 10 ✓ mdc(20,11) = 1 ✓ mdc(20,12) = 4 ✓ mdc(20,13) = 1

✓ mdc(20,14) = 2 ✓ mdc(20,15) = 5 ✓ mdc(20,16) = 4 ✓ mdc(20,17) = 1 ✓ mdc(20,18) = 2

Você pode conferir essas três estrelas e o icosaedro regular utilizando o applet abaixo. Para utilizar o applet, basta clicar na setinha e nas opções desejadas.

OBMEP_srdg, criado com o GeoGebra

Você também pode utilizar o gif animado para visualizar o icoságono regular e as três estrelas.

Você pode, ainda, copiar o arquivo abaixo e utilizá-lo em seu computador.

Pelo exposto no início da discussão, quando k = 2; 4; 5 obtemos polígonos regulares de, respectivamente, 10, 5 e 4 lados.

Como as figuras (n , k)  e   (n , n − k)  são as mesmas, quando k = 18; 16; 15 obtemos, também, polígonos regulares de, respectivamente, 10, 5 e 4 lados.

Nos exemplos acima, para [tex]n=13[/tex] foi possível classificar todos os saltos, antes de executá-los, mas para [tex]n=20[/tex]; faltou determinar o que acontece quando saltamos de 6 em 6 (ou de 14 em 14) e de 8 em 8 (ou de 12 em 12). Para esses casos também conseguimos, de alguma forma, prever o que vai acontecer?

Sim! Acompanhe com atenção a próxima observação…

➥Vamos ampliar a pergunta feita no final da Sala 1 sobre Estrelas:

Ao dividirmos uma circunferência em [tex] n [/tex] partes iguais e ligarmos, consecutivamente, os [tex] n [/tex] pontos que determinam a divisão por segmentos de reta, saltando de [tex] k [/tex] em [tex] k [/tex] pontos obtemos o que definimos como   figuras (n , k).
Mas, fixado [tex] n \gt 1[/tex], que   figuras (n , k) obtemos para cada inteiro [tex] k [/tex] tal que 0 < k < n ?

Pelo que já discutimos nesta Sala, resta, apenas, observar o que acontece para inteiros [tex] k [/tex] tais que “mdc(n,k) ≠ 1 e [tex] k [/tex] não é divisor de [tex] n [/tex]”.
Encontramos resposta para esse caso na Teoria dos Números, mais uma vez! Existe uma propriedade muito útil dos números naturais que nos garante que:

• Se a, b e d são números naturais não nulos, então mdc(a · d , b · d) = d · mdc(a , b) .

Pois bem, no nosso caso é possível mostrar (não faremos, pois também foge dos objetivos desta Sala de Estudos) que:

• Se d = mdc(n , k) , n = a · d   e   k = b · d , então a figura (n , k) é a figura (a , b).

Mais ainda, como [tex]a=\dfrac{n}{d}[/tex], [tex]b=\dfrac{k}{d}[/tex] e [tex]d=mdc(n, k)[/tex], uma segunda propriedade dos números inteiros nos garante que mdc(a , b) = 1 e, dessa forma, a figura (a , b) é uma estrela de a pontas.

Se eu entendi a observação, como n = 20 = 10 · 2 e k = 6 = 3 · 2 , a figura (20 , 6) é uma estrela de 10 pontas. E como n = 20 = 5 · 4 e k = 8 = 4 · 2 , a figura (20 , 8) é uma estrela de 5 pontas.

Isso mesmo! A   figura (20 , 6)   é a  figura (10 , 3)   e a  figura (20 , 8)   é a   figura (5, 2). Confira abaixo…

V – Um roteiro

Com tudo que desenvolvemos e assumimos nesta Sala, podemos estabelecer um roteiro para responder a pergunta geral formulada. Vejamos…

Vejamos um exemplo.
Para tanto tomemos n = 18 e façamos saltos de t em t, com 0 < t < 10.

• t = 1
  A   figura (18 , 1), assim como a   figura (18 , 17), é um polígono regular de 18 lados.

• t = 2
  Como 2 é divisor de 18, então a   figura (18 , 2), assim como a   figura (18 , 16), é um polígono regular de 9 lados.

• t = 3
  Como 3 é divisor de 18, então a   figura (18 , 3), assim como a   figura (18 , 15), é um polígono regular de 6 lados.

• t = 4
  Como d = mdc(18 , 4) = 2 ≠ 1 e 4 não é divisor de 18, então a   figura (18 , 4), assim como a   figura (18 , 14), é uma estrela de 9 pontas.

• t = 5
  Como d = mdc(18 , 5) = 1, então a   figura (18 , 5), assim como a   figura (18 , 13), é uma estrela de 18 pontas.

• t = 6
  Como 6 é divisor de 18, então a   figura (18 , 6), assim como a   figura (18 , 12), é um polígono regular de 3 lados.

• t = 7
  Como d = mdc(18 , 7) = 1, então a   figura (18 , 7), assim como a   figura (18 , 11), é uma estrela de 18 pontas.

• t = 8
  Como d = mdc(18 , 8) = 2 ≠ 1 e 8 não é divisor de 18, então a   figura (18 , 8), assim como a   figura (18 , 10), é uma estrela de 9 pontas.

• t = 9
  Como 9 = 18 / 2, então a   figura (18 , 9) é um segmento de reta.

Finalmente, revelado o mistério e muito mais . . .