Um passeio pelo mundo da Equação Quadrática – Sala 3

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Um passeio pelo mundo da Equação Quadrática

A partir das raízes [tex]x_1=\dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}[/tex] e [tex]x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}[/tex] de uma equação quadrática [tex]ax^2+bx+c=0[/tex], podemos estabelecer diversas relações entre essas raízes e os coeficientes dessa equação. Essas relações podem ajudar bastante na resolução de problemas envolvendo equações do 2º grau.
Nesta Sala, vamos estudar algumas dessas relações e resolver vários problemas.

Bom proveito, pessoal!

Relações entre os Coeficientes e as Raízes da Equação de 2º Grau

Soma das Raízes [tex](S)[/tex]

Se [tex]x_1~[/tex] e [tex]~x_2 [/tex] são as raízes da equação quadrática [tex]ax^2+bx+c=0[/tex], então:

[tex]\quad x_1+x_2=\dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}+\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-b + \sqrt{\Delta} – b-\sqrt{\Delta}}{2a} = -\dfrac{2b}{2a}= -\dfrac{b}{a}.[/tex]

Assim, [tex]\,\fcolorbox{black}{#c2d1e0}{$S=-\dfrac{b}{a}$}\,.[/tex]

Produto das Raízes [tex](P)[/tex]

Se [tex]x_1~[/tex] e [tex]~x_2 [/tex] são as raízes da equação quadrática [tex]ax^2+bx+c=0[/tex], então:

[tex]\quad x_1 \cdot x_2=\left(\dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}\right) \cdot \left(\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\right)=\dfrac{(-b + \sqrt{\Delta}) \cdot (-b-\sqrt{\Delta})}{4a^2}\\
\quad x_1 \cdot x_2=\dfrac{(-b)^2 – (\sqrt{\Delta})^2}{4a^2}=\dfrac{b^2-(b^2-4\cdot a\cdot c)}{4a^2}=\dfrac{b^2-b^2+4ac}{4a^2}=\dfrac{4ac}{4a^2}=\dfrac{c}{a}.[/tex]

Logo, [tex]\,\fcolorbox{black}{#c2d1e0}{$P=\dfrac{c}{a}$}\,.[/tex]

Média Aritmética das Raízes

Se [tex]x_1~[/tex] e [tex]~x_2 [/tex] são as raízes da equação quadrática [tex]ax^2+bx+c=0[/tex], então:

[tex]\quad \,\fcolorbox{black}{#c2d1e0}{$\dfrac{x_1+x_2}{2}=\dfrac{S}{2}$}\,.[/tex]

Média Geométrica das Raízes

Sejam [tex]x_1~[/tex] e [tex]~x_2 [/tex] raízes da equação quadrática [tex]ax^2+bx+c=0[/tex]. Então:

[tex]\quad \,\fcolorbox{black}{#c2d1e0}{$\sqrt{x_1\cdot x_2}=\sqrt{P}$}\,.[/tex]

Observação: Esta fórmula não está definida no caso de a equação possuir raízes tais que [tex]x_1x_2 \lt 0[/tex].

Soma dos Inversos das Raízes

Sejam [tex]x_1~[/tex] e [tex]~x_2 [/tex] as raízes da equação quadrática [tex]ax^2+bx+c=0[/tex]; então:

[tex]\quad \dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=\dfrac{x_2+x_1}{x_1x_2}\\
\quad \dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=\dfrac{S}{P}=\dfrac{-b/a}{c/a}=\dfrac{-b}{c}.[/tex]

Portanto, [tex]\,\fcolorbox{black}{#c2d1e0}{$\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=\dfrac{-b}{c}$}\,.[/tex]

Observação: Essa fórmula não está definida no caso de a equação possuir raiz nula.

Média Harmônica das Raízes

Sejam [tex]x_1~[/tex] e [tex]~x_2 [/tex] as raízes da equação quadrática [tex]ax^2+bx+c=0[/tex]; então:

[tex]\quad \dfrac{2}{\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}}=\dfrac{2}{\dfrac{S}{P}}=\dfrac{2P}{S}=\dfrac{2c/a}{-b/a}=-\dfrac{2c}{b}.[/tex]

Assim, [tex]\,\fcolorbox{black}{#c2d1e0}{$\dfrac{2}{\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}}=-\dfrac{2c}{b}$}\,.[/tex]

Observação: Essa fórmula não está definida no caso de a equação possuir raiz nula ou raízes simétricas.

Soma dos Quadrados das Raízes

Se [tex]x_1~[/tex] e [tex]~x_2 [/tex] são as raízes da equação quadrática [tex]ax^2+bx+c=0[/tex], então:

[tex]\quad (x_1+x_2)^2={x_1}^2+2x_1x_2+{x_2}^2\\
\quad {x_1}^2+{x_2}^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2\\
\quad \fcolorbox{black}{#c2d1e0}{${x_1}^2+{x_2}^2=S^2-2P$}\,.[/tex]

Soma dos Inversos dos Quadrados das Raízes

Se [tex]x_1~[/tex] e [tex]~x_2 [/tex] são as raízes da equação quadrática [tex]ax^2+bx+c=0[/tex], então:

[tex]\quad \dfrac{1}{{x_1}^2}+\dfrac{1}{{x_2}^2}=\dfrac{{x_2}^2+{x_1}^2}{{x_1}^2{x_2}^2}\\
\quad \fcolorbox{black}{#c2d1e0}{$\dfrac{1}{{x_1}^2}+\dfrac{1}{{x_2}^2}=\dfrac{S^2-2P}{P^2}$}\,.[/tex]

Observação: Essa fórmula não está definida no caso de a equação possuir raiz nula.

Soma dos Cubos das Raízes

Se [tex]x_1~[/tex] e [tex]~x_2 [/tex] são as raízes da equação quadrática [tex]ax^2+bx+c=0[/tex], então:

[tex]\quad (x_1+x_2)^3={x_1}^3+3{x_1}^2x_2+3x_1{x_2}^2+{x_2}^3\\
\quad {x_1}^3+{x_2}^3=(x_1+x_2)^3-3{x_1}^2x_2-3x_1{x_2}^2\\
\quad {x_1}^3+{x_2}^3=(x_1+x_2)^3-3(x_1+x_2)(x_1x_2)\\
\quad \fcolorbox{black}{#c2d1e0}{${x_1}^3+{x_2}^3=S^3-3SP$}\,.[/tex]

Forma Fatorada de uma Equação de [tex]2^\circ[/tex] Grau

Se uma equação [tex]ax^2+bx+c=0[/tex], com [tex]a \neq 0[/tex], possui raízes [tex]x_1[/tex] e [tex]x_2[/tex], denominamos Forma Fatorada dessa equação à expressão [tex]a(x-x_1)(x-x_2)=0[/tex].
Vamos mostrar que, a partir de uma forma fatorada, podemos determinar a sua equação quadrática correspondente. Dessa forma, será possível determinar uma equação quadrática, a partir de suas raízes.
Vamos então, supor que [tex]x_1[/tex] e [tex]x_2[/tex] sejam as raízes da equação [tex]ax^2+bx+c=0[/tex] e vamos tentar chegar nessa equação usando a forma fatorada [tex]a(x-x_1)(x-x_2)=0[/tex].
Observe então que se [tex]a(x-x_1)(x-x_2)=0[/tex], segue que:
[tex]\qquad \boxed{a(x-x_1)(x-x_2)=0}\\
\qquad a(x-x_1)(x-x_2)=0\\
\qquad a(x^2-xx_2-xx_1+x_1x_2)=0\\
\qquad a[x^2-x(x_1+x_2)+x_1x_2]=0. \qquad \textcolor{#20b0ff}{(i)}[/tex]
Utilizando as relações da soma e do produto das duas raízes, segue de [tex]\textcolor{#20b0ff}{(i)}[/tex] que:
[tex]\qquad a[x^2-x(x_1+x_2)+x_1x_2]=0\\
\qquad a\left[x^2-x\left(-\dfrac{b}{a}\right)+\dfrac{c}{a}\right]=0\\
\qquad \boxed{ax^2+bx+c=0}.[/tex]
Que é o que queríamos mostrar.

Obtenção de uma equação de [tex]2^\circ[/tex] grau a partir das raízes

Se [tex]x_1[/tex] e [tex]x_2[/tex] são as raízes da equação [tex]ax^2+bx+c=0[/tex], então, como [tex]a \neq 0[/tex], podemos dividir essa equação por [tex]a[/tex] e obter:
[tex]\qquad x^2-x\left(-\dfrac{b}{a}\right)+\dfrac{c}{a}=0\\
\qquad x^2-Sx+P=0,[/tex]
onde [tex]S[/tex] é a soma das raízes e [tex]P[/tex] o produto das mesmas.

Exemplo: Encontre uma equação do [tex]2^\circ[/tex] grau cujas raízes são [tex]10[/tex] e [tex]-2[/tex].

Calculando a soma das raízes: [tex]S=-2+10=8[/tex].
Calculando o produto das raízes: [tex]P=(-2)\cdot (10)=-20[/tex].
Montando a equação:
[tex]\quad x^2-Sx+P=0\\
\quad x^2-8x+(-20)=0\\
\quad \boxed{x^2-8x-20=0}.[/tex]

Exercícios Propostos

Exercício 1: Resolva as seguintes equações no conjunto dos reais.
a) [tex]x^2-7x=0[/tex]
b) [tex]x^2-121=0[/tex]
c) [tex]x^2-7x+6=0[/tex]
d) [tex]x^4+10x^2-56=0[/tex]
e) [tex]x^2-2mx+m^2-n^2=0[/tex]
f) [tex] \left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2-\left(x+\dfrac{1}{x}\right)+6=0[/tex]

a) [tex]x^2-7x=0[/tex]
Para resolver esta equação, vamos colocar o [tex]x[/tex] em evidência:
[tex]\qquad x^2-7x=0\\
\qquad x(x-7)=0\\
\qquad x=0~ \text{ ou } ~x=7.[/tex]
Logo, o conjunto das soluções reais da equação é [tex]\{0, 7\}[/tex].

b) [tex]x^2-121=0[/tex]
Para resolver esta equação, vamos isolar [tex]x^2[/tex] :
[tex]\qquad x^2-121=0\\
\qquad x^2=121\\
\qquad x=\pm \sqrt{121}\\
\qquad x=\pm 11.[/tex]
Portanto, o conjunto das soluções reais da equação é [tex]\{-11, 11\}[/tex].

c) [tex]x^2-7x+6=0[/tex]
Temos uma equação completa. Vamos, então, utilizar a Fórmula Resolvente/Resolutiva:
[tex]\qquad \Delta = b^2-4ac=(-7)^2-4\cdot 1 \cdot 6=25\\
\qquad x=\dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\\
\qquad x=\dfrac{-(-7) \pm \sqrt{25}}{2}\\
\qquad x=\dfrac{-7 \pm 5}{2}\\
\qquad x=\dfrac{-7 + 5}{2}=-1~\text{ ou }~ x=\dfrac{-7-5}{2}=-6.[/tex]
Logo, o conjunto das soluções reais da equação é [tex]\{-1, -6\}[/tex].

d) [tex]x^4+10x^2-56=0[/tex]
Vamos fazer a seguinte mudança de variável: [tex]x^2=y[/tex].
Desta forma, teremos:
[tex]\qquad (x^2)^2+10x^2-56=0\\
\qquad y^2+10y-56=0.[/tex]
Agora, vamos resolver a equação em [tex]y[/tex]:
[tex]\qquad \Delta = b^2-4ac=(10)^2-4\cdot 1 \cdot (-56)=324\\
\qquad y=\dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\\
\qquad y=\dfrac{-(10) \pm \sqrt{324}}{2}\\
\qquad y=\dfrac{-10 \pm 18}{2}\\
\qquad y=\dfrac{-10 + 18}{2}=4~\text{ ou }~ y=\dfrac{-10-18}{2}=-14.[/tex]
Como [tex]x^2=y[/tex], temos:
[tex]\qquad x^2=4[/tex], donde [tex]~x=\pm 2~[/tex]
ou
[tex]\qquad x^2=-14[/tex], o que resulta em raízes não reais.
Com isso, o conjunto das soluções reais da equação [tex]x^4+10x^2-56=0[/tex] é [tex]\{\pm 2\}[/tex].

e) [tex]x^2-2mx+m^2-n^2=0[/tex]
Esta é uma equação completa na variável [tex]x[/tex].
Aplicando a Fórmula Resolvente/Resolutiva, temos que:
[tex]\qquad \Delta = b^2-4ac=(-2m)^2-4\cdot 1 \cdot (m^2-n^2)=4m^2-4m^2+4n^2=4n^2\\
\qquad x=\dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\\
\qquad x=\dfrac{-(-2m) \pm \sqrt{4n^2}}{2}\\
\qquad x=\dfrac{2m \pm |2n|}{2}.[/tex]
Assim, o conjunto das soluções reais da equação é [tex]\{m+n, m-n\}[/tex].

f) [tex]\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2-\left(x+\dfrac{1}{x}\right)+6=0[/tex]
Vamos fazer a seguinte manipulação: [tex]x+\dfrac{1}{x}=y[/tex]. Desta forma, teremos:
[tex]\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2-\left(x+\dfrac{1}{x}\right)-6=0\\
\qquad y^2-y-6=0\\
\qquad \Delta = b^2-4ac=(-1)^2-4\cdot 1 \cdot (-6)=25\\
\qquad y=\dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\\
\qquad y=\dfrac{-(-1) \pm \sqrt{25}}{2}\\
\qquad y=\dfrac{-1 \pm 5}{2}\\
\qquad y=\dfrac{-1 + 5}{2}=2~\text{ ou }~ x=\dfrac{-1-5}{2}=-3.[/tex]

Como [tex]x+\dfrac{1}{x}=y[/tex], segue que:
[tex]\qquad x+\dfrac{1}{x}=2\\
\qquad x^2-2x+1=0\\
\qquad \Delta = b^2-4ac=(-2)^2-4\cdot 1 \cdot 1=0\\
\qquad x=\dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2}\\
\qquad x=\dfrac{-(-2) \pm \sqrt{0}}{2}\\
\qquad x=\dfrac{2}{2}=1[/tex]
ou
[tex]\qquad x+\dfrac{1}{x}=-3\\
\qquad x^2+3x+1=0\\
\qquad \Delta = b^2 -4ac=(3)^2-4\cdot 1 \cdot 1=5\\
\qquad x=\dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2}\\
\qquad x=\dfrac{-(3) \pm \sqrt{5}}{2}\\
\qquad x=\dfrac{-3 + \sqrt{5}}{2}~\text{ ou }~ x=\dfrac{-3-\sqrt{5}}{2}.[/tex]
Logo, o conjunto das soluções reais da equação [tex]\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2-\left(x+\dfrac{1}{x}\right)+6=0~[/tex] é [tex]\left\{1, \dfrac{-3 + \sqrt{5}}{2}, \dfrac{-3-\sqrt{5}}{2}\right\}[/tex].

Exercício 2: Determine [tex]m[/tex] para que a equação [tex]2x^2-8x+m=0[/tex] tenha raízes iguais.

Exercício 3: Determine [tex]m[/tex] para que a equação [tex]3x^2+6x+m=0[/tex] tenha raízes reais e diferentes.

Exercício 4: Determine [tex]m[/tex] para que a equação [tex]x^2-3x+m=0[/tex] não tenha raízes reais.

Exercício 5: Determine [tex]p[/tex] na equação [tex]x^2+p^2x+2px-4=0[/tex] para termos raízes de mesmo módulo e sinais contrários.

Exercício 6: Determine os valores de [tex]m[/tex] e [tex]n[/tex] na equação [tex]x^2+(m-n+2)x+n+1=0[/tex] para que a mesma tenha raízes nulas.

Exercício 7: Calcule o valor de [tex]m[/tex] na equação [tex]x^2-6x+2m=0[/tex], de modo que uma de suas raízes seja o dobro da outra.

Exercício 8: Se a média aritmética de dois números [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex] é [tex]7[/tex] e a média geométrica entre eles é [tex]9[/tex], escreva a equação do [tex]2^\circ[/tex] grau que tem [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex] como raízes.

Exercício 9: Encontrar uma equação do [tex]2^\circ[/tex] grau na qual uma das raízes é o triplo da outra e a soma de seus quadrados é [tex]40.[/tex]

Exercício 10: Determine [tex]m[/tex] na equação [tex]3x^2–2x+5m=0[/tex], de modo que o módulo da diferença entre suas raízes seja [tex]1[/tex].

Exercício 11: Qual a relação que deve existir entre os coeficientes da equação [tex]ax^2+bx+c=0[/tex] para que suas raízes sejam recíprocas? E qual a relação existente entre os coeficientes para que as raízes sejam simétricas (opostas)?

Exercício 12: Determine [tex]k[/tex] na equação [tex]x^2+kx+36=0[/tex], de modo que a soma dos inversos de suas raízes seja igual a [tex]\dfrac{5}{12}[/tex].

Exercício 13: Dada a equação [tex]2x^2+8x+k=0[/tex], ache o valor de [tex]k[/tex], sabendo-se que a soma dos quadrados de suas raízes é igual a [tex]7[/tex].

Exercício 14: Considere a equação [tex]x^2–mx+1=0[/tex] cujas raízes são [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex], reais e desiguais.
Componha a equação do [tex]2^\circ[/tex] grau que admita as raízes [tex]a+1[/tex] e [tex]b+1[/tex].

Exercício 15: Sejam [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex] as raízes da equação [tex]x^2-3x+k=0[/tex].
Determine [tex]k[/tex] de modo que [tex]a^3+b^3=-\dfrac{243}{8}[/tex].

Exercícios de Aprofundamento

Exercício 16: (OBM) Se [tex]\alpha[/tex] é uma raiz da equação [tex]x^2+x–1=0[/tex], determine o valor de [tex]\alpha^5-5\alpha[/tex].

Exercício 17: Provar que a condição para que uma raiz de [tex]ax^2+bx+c=0[/tex] seja [tex]n[/tex] vezes a outra é [tex]b^2=\dfrac{\left(n+1\right)^2}{n} \cdot a \cdot c[/tex].

Exercício 18: (OBM) [tex]a[/tex], [tex]b[/tex], [tex]c[/tex] e [tex]d[/tex] são números reais distintos tais que [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex] são raízes da equação [tex]x^2-3cx-8d=0[/tex] e [tex]c[/tex] e [tex]d[/tex] são raízes da equação [tex]x^2-3ax-8b=0.[/tex]
Calcule a soma [tex]a+b+c+d.[/tex]

Exercício 19: (Romênia) Sejam [tex]a, b, c, d \neq 0[/tex], tais que [tex]a[/tex] e [tex]4a+3b+2c[/tex] têm o mesmo sinal.
Mostre que a equação [tex]ax^2+bx+c=0[/tex] não pode ter duas raízes no intervalo aberto [tex]]1, 2[[/tex].

Equipe COM – OBMEP

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Referências e sugestões de textos:
[1] BIANCHINI, Edwaldo; MIANI, Marcos. Construindo conhecimentos em Matemática, 8ª série. São Paulo: Moderna, 2000.
[2] BIGODE, Antonio José Lopes; MIANI, Marcos. Matemática hoje é feita assim, 8ª série. 1ª Edição. São Paulo: FTD, 2000.
[3] BOYER, Carl Benjamin. História da Matemática, 3ª Edição. São Paulo: Edgard Blucher, 2010.
[4] EVES, Howard. Introdução à História da matemática. Campinas, SP: Editora da Unicamp, 2004.
[5] GUELLI, Oscar. Contando a História da Matemática: História da Equação do 2° Grau, 5°ed. São Paulo: Ática, 1995.
[6] IMENES, Luiz Márcio; LELLIS, Marcelo. Matemática paratodos, 8ª série. 1ª Edição. São Paulo: Scipione, 2002.
[7] MOL, Rogério Santos. Introdução à História da matemática/ Rogério S. Mol. – Belo Horizonte: CAED—UFMG, 2013.
[8] BACELAR, Robério. Material do PECI.
[9] FRAGOSO, Wagner da Cunha. Uma Abordagem Histórica da Equação do 2 Grau. Revista do professor de matemática, 43:20–25, 2000. (Último acesso em 03/07/23)
[10] PEDROSO, Hermes Antonio. Uma breve história da equação do 2º grau. Revista Eletrônica de Matemática, v.2, p.1-13, 2010. (Último acesso em 03/07/23)
[11] O Surgimento da Equação do 2º Grau. Brasil Escola. (Último acesso em 03/07/23)