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Um passeio pelo mundo da Equação Quadrática
A partir das raízes [tex]x_1=\dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}[/tex] e [tex]x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}[/tex] de uma equação quadrática [tex]ax^2+bx+c=0[/tex], podemos estabelecer diversas relações entre essas raízes e os coeficientes dessa equação. Essas relações podem ajudar bastante na resolução de problemas envolvendo equações do 2º grau.
Nesta Sala, vamos estudar algumas dessas relações e resolver vários problemas.
Bom proveito, pessoal!
Relações entre os Coeficientes e as Raízes da Equação de 2º Grau
Se [tex]x_1~[/tex] e [tex]~x_2 [/tex] são as raízes da equação quadrática [tex]ax^2+bx+c=0[/tex], então:
[tex]\quad x_1+x_2=\dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}+\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-b + \sqrt{\Delta} – b-\sqrt{\Delta}}{2a} = -\dfrac{2b}{2a}= -\dfrac{b}{a}.[/tex]
Assim, [tex]\,\fcolorbox{black}{#c2d1e0}{$S=-\dfrac{b}{a}$}\,.[/tex]
Se [tex]x_1~[/tex] e [tex]~x_2 [/tex] são as raízes da equação quadrática [tex]ax^2+bx+c=0[/tex], então:
[tex]\quad x_1 \cdot x_2=\left(\dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}\right) \cdot \left(\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\right)=\dfrac{(-b + \sqrt{\Delta}) \cdot (-b-\sqrt{\Delta})}{4a^2}\\
\quad x_1 \cdot x_2=\dfrac{(-b)^2 – (\sqrt{\Delta})^2}{4a^2}=\dfrac{b^2-(b^2-4\cdot a\cdot c)}{4a^2}=\dfrac{b^2-b^2+4ac}{4a^2}=\dfrac{4ac}{4a^2}=\dfrac{c}{a}.[/tex]
Logo, [tex]\,\fcolorbox{black}{#c2d1e0}{$P=\dfrac{c}{a}$}\,.[/tex]
Se [tex]x_1~[/tex] e [tex]~x_2 [/tex] são as raízes da equação quadrática [tex]ax^2+bx+c=0[/tex], então:
[tex]\quad \,\fcolorbox{black}{#c2d1e0}{$\dfrac{x_1+x_2}{2}=\dfrac{S}{2}$}\,.[/tex]
Sejam [tex]x_1~[/tex] e [tex]~x_2 [/tex] raízes da equação quadrática [tex]ax^2+bx+c=0[/tex]. Então:
[tex]\quad \,\fcolorbox{black}{#c2d1e0}{$\sqrt{x_1\cdot x_2}=\sqrt{P}$}\,.[/tex]
Observação: Esta fórmula não está definida no caso de a equação possuir raízes tais que [tex]x_1x_2 \lt 0[/tex].
Sejam [tex]x_1~[/tex] e [tex]~x_2 [/tex] as raízes da equação quadrática [tex]ax^2+bx+c=0[/tex]; então:
[tex]\quad \dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=\dfrac{x_2+x_1}{x_1x_2}\\
\quad \dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=\dfrac{S}{P}=\dfrac{-b/a}{c/a}=\dfrac{-b}{c}.[/tex]
Portanto, [tex]\,\fcolorbox{black}{#c2d1e0}{$\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=\dfrac{-b}{c}$}\,.[/tex]
Observação: Essa fórmula não está definida no caso de a equação possuir raiz nula.
Sejam [tex]x_1~[/tex] e [tex]~x_2 [/tex] as raízes da equação quadrática [tex]ax^2+bx+c=0[/tex]; então:
[tex]\quad \dfrac{2}{\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}}=\dfrac{2}{\dfrac{S}{P}}=\dfrac{2P}{S}=\dfrac{2c/a}{-b/a}=-\dfrac{2c}{b}.[/tex]
Assim, [tex]\,\fcolorbox{black}{#c2d1e0}{$\dfrac{2}{\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}}=-\dfrac{2c}{b}$}\,.[/tex]
Observação: Essa fórmula não está definida no caso de a equação possuir raiz nula ou raízes simétricas.
Se [tex]x_1~[/tex] e [tex]~x_2 [/tex] são as raízes da equação quadrática [tex]ax^2+bx+c=0[/tex], então:
[tex]\quad (x_1+x_2)^2={x_1}^2+2x_1x_2+{x_2}^2\\
\quad {x_1}^2+{x_2}^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2\\
\quad \fcolorbox{black}{#c2d1e0}{${x_1}^2+{x_2}^2=S^2-2P$}\,.[/tex]
Se [tex]x_1~[/tex] e [tex]~x_2 [/tex] são as raízes da equação quadrática [tex]ax^2+bx+c=0[/tex], então:
[tex]\quad \dfrac{1}{{x_1}^2}+\dfrac{1}{{x_2}^2}=\dfrac{{x_2}^2+{x_1}^2}{{x_1}^2{x_2}^2}\\
\quad \fcolorbox{black}{#c2d1e0}{$\dfrac{1}{{x_1}^2}+\dfrac{1}{{x_2}^2}=\dfrac{S^2-2P}{P^2}$}\,.[/tex]
Observação: Essa fórmula não está definida no caso de a equação possuir raiz nula.
Se [tex]x_1~[/tex] e [tex]~x_2 [/tex] são as raízes da equação quadrática [tex]ax^2+bx+c=0[/tex], então:
[tex]\quad (x_1+x_2)^3={x_1}^3+3{x_1}^2x_2+3x_1{x_2}^2+{x_2}^3\\
\quad {x_1}^3+{x_2}^3=(x_1+x_2)^3-3{x_1}^2x_2-3x_1{x_2}^2\\
\quad {x_1}^3+{x_2}^3=(x_1+x_2)^3-3(x_1+x_2)(x_1x_2)\\
\quad \fcolorbox{black}{#c2d1e0}{${x_1}^3+{x_2}^3=S^3-3SP$}\,.[/tex]
Se uma equação [tex]ax^2+bx+c=0[/tex], com [tex]a \neq 0[/tex], possui raízes [tex]x_1[/tex] e [tex]x_2[/tex], denominamos Forma Fatorada dessa equação à expressão [tex]a(x-x_1)(x-x_2)=0[/tex].
Vamos mostrar que, a partir de uma forma fatorada, podemos determinar a sua equação quadrática correspondente. Dessa forma, será possível determinar uma equação quadrática, a partir de suas raízes.
Vamos então, supor que [tex]x_1[/tex] e [tex]x_2[/tex] sejam as raízes da equação [tex]ax^2+bx+c=0[/tex] e vamos tentar chegar nessa equação usando a forma fatorada [tex]a(x-x_1)(x-x_2)=0[/tex].
Observe então que se [tex]a(x-x_1)(x-x_2)=0[/tex], segue que:
[tex]\qquad \boxed{a(x-x_1)(x-x_2)=0}\\
\qquad a(x-x_1)(x-x_2)=0\\
\qquad a(x^2-xx_2-xx_1+x_1x_2)=0\\
\qquad a[x^2-x(x_1+x_2)+x_1x_2]=0. \qquad \textcolor{#20b0ff}{(i)}[/tex]
Utilizando as relações da soma e do produto das duas raízes, segue de [tex]\textcolor{#20b0ff}{(i)}[/tex] que:
[tex]\qquad a[x^2-x(x_1+x_2)+x_1x_2]=0\\
\qquad a\left[x^2-x\left(-\dfrac{b}{a}\right)+\dfrac{c}{a}\right]=0\\
\qquad \boxed{ax^2+bx+c=0}.[/tex]
Que é o que queríamos mostrar.
Se [tex]x_1[/tex] e [tex]x_2[/tex] são as raízes da equação [tex]ax^2+bx+c=0[/tex], então, como [tex]a \neq 0[/tex], podemos dividir essa equação por [tex]a[/tex] e obter:
[tex]\qquad x^2-x\left(-\dfrac{b}{a}\right)+\dfrac{c}{a}=0\\
\qquad x^2-Sx+P=0,[/tex]
onde [tex]S[/tex] é a soma das raízes e [tex]P[/tex] o produto das mesmas.
Exemplo: Encontre uma equação do [tex]2^\circ[/tex] grau cujas raízes são [tex]10[/tex] e [tex]-2[/tex].
- Calculando a soma das raízes: [tex]S=-2+10=8[/tex].
- Calculando o produto das raízes: [tex]P=(-2)\cdot (10)=-20[/tex].
- Montando a equação:
[tex]\quad x^2-Sx+P=0\\
\quad x^2-8x+(-20)=0\\
\quad \boxed{x^2-8x-20=0}.[/tex]
Exercícios Propostos
a) [tex]x^2-7x=0[/tex]
b) [tex]x^2-121=0[/tex]
c) [tex]x^2-7x+6=0[/tex]
d) [tex]x^4+10x^2-56=0[/tex]
e) [tex]x^2-2mx+m^2-n^2=0[/tex]
f) [tex] \left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2-\left(x+\dfrac{1}{x}\right)+6=0[/tex]
Para resolver esta equação, vamos colocar o [tex]x[/tex] em evidência:
[tex]\qquad x^2-7x=0\\
\qquad x(x-7)=0\\
\qquad x=0~ \text{ ou } ~x=7.[/tex]
Logo, o conjunto das soluções reais da equação é [tex]\{0, 7\}[/tex].
b) [tex]x^2-121=0[/tex]
Para resolver esta equação, vamos isolar [tex]x^2[/tex] :
[tex]\qquad x^2-121=0\\
\qquad x^2=121\\
\qquad x=\pm \sqrt{121}\\
\qquad x=\pm 11.[/tex]
Portanto, o conjunto das soluções reais da equação é [tex]\{-11, 11\}[/tex].
c) [tex]x^2-7x+6=0[/tex]
Temos uma equação completa. Vamos, então, utilizar a Fórmula Resolvente/Resolutiva:
[tex]\qquad \Delta = b^2-4ac=(-7)^2-4\cdot 1 \cdot 6=25\\
\qquad x=\dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\\
\qquad x=\dfrac{-(-7) \pm \sqrt{25}}{2}\\
\qquad x=\dfrac{-7 \pm 5}{2}\\
\qquad x=\dfrac{-7 + 5}{2}=-1~\text{ ou }~ x=\dfrac{-7-5}{2}=-6.[/tex]
Logo, o conjunto das soluções reais da equação é [tex]\{-1, -6\}[/tex].
d) [tex]x^4+10x^2-56=0[/tex]
Vamos fazer a seguinte mudança de variável: [tex]x^2=y[/tex].
Desta forma, teremos:
[tex]\qquad (x^2)^2+10x^2-56=0\\
\qquad y^2+10y-56=0.[/tex]
Agora, vamos resolver a equação em [tex]y[/tex]:
[tex]\qquad \Delta = b^2-4ac=(10)^2-4\cdot 1 \cdot (-56)=324\\
\qquad y=\dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\\
\qquad y=\dfrac{-(10) \pm \sqrt{324}}{2}\\
\qquad y=\dfrac{-10 \pm 18}{2}\\
\qquad y=\dfrac{-10 + 18}{2}=4~\text{ ou }~ y=\dfrac{-10-18}{2}=-14.[/tex]
Como [tex]x^2=y[/tex], temos:
[tex]\qquad x^2=4[/tex], donde [tex]~x=\pm 2~[/tex]
ou
[tex]\qquad x^2=-14[/tex], o que resulta em raízes não reais.
Com isso, o conjunto das soluções reais da equação [tex]x^4+10x^2-56=0[/tex] é [tex]\{\pm 2\}[/tex].
e) [tex]x^2-2mx+m^2-n^2=0[/tex]
Esta é uma equação completa na variável [tex]x[/tex].
Aplicando a Fórmula Resolvente/Resolutiva, temos que:
[tex]\qquad \Delta = b^2-4ac=(-2m)^2-4\cdot 1 \cdot (m^2-n^2)=4m^2-4m^2+4n^2=4n^2\\
\qquad x=\dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\\
\qquad x=\dfrac{-(-2m) \pm \sqrt{4n^2}}{2}\\
\qquad x=\dfrac{2m \pm |2n|}{2}.[/tex]
Assim, o conjunto das soluções reais da equação é [tex]\{m+n, m-n\}[/tex].
f) [tex]\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2-\left(x+\dfrac{1}{x}\right)+6=0[/tex]
Vamos fazer a seguinte manipulação: [tex]x+\dfrac{1}{x}=y[/tex]. Desta forma, teremos:
[tex]\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2-\left(x+\dfrac{1}{x}\right)-6=0\\
\qquad y^2-y-6=0\\
\qquad \Delta = b^2-4ac=(-1)^2-4\cdot 1 \cdot (-6)=25\\
\qquad y=\dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\\
\qquad y=\dfrac{-(-1) \pm \sqrt{25}}{2}\\
\qquad y=\dfrac{-1 \pm 5}{2}\\
\qquad y=\dfrac{-1 + 5}{2}=2~\text{ ou }~ x=\dfrac{-1-5}{2}=-3.[/tex]
Como [tex]x+\dfrac{1}{x}=y[/tex], segue que:
[tex]\qquad x+\dfrac{1}{x}=2\\
\qquad x^2-2x+1=0\\
\qquad \Delta = b^2-4ac=(-2)^2-4\cdot 1 \cdot 1=0\\
\qquad x=\dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2}\\
\qquad x=\dfrac{-(-2) \pm \sqrt{0}}{2}\\
\qquad x=\dfrac{2}{2}=1[/tex]
ou
[tex]\qquad x+\dfrac{1}{x}=-3\\
\qquad x^2+3x+1=0\\
\qquad \Delta = b^2 -4ac=(3)^2-4\cdot 1 \cdot 1=5\\
\qquad x=\dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2}\\
\qquad x=\dfrac{-(3) \pm \sqrt{5}}{2}\\
\qquad x=\dfrac{-3 + \sqrt{5}}{2}~\text{ ou }~ x=\dfrac{-3-\sqrt{5}}{2}.[/tex]
Logo, o conjunto das soluções reais da equação [tex]\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2-\left(x+\dfrac{1}{x}\right)+6=0~[/tex] é [tex]\left\{1, \dfrac{-3 + \sqrt{5}}{2}, \dfrac{-3-\sqrt{5}}{2}\right\}[/tex].
[tex]\qquad\Delta = b^2 -4ac=0\\
\qquad \Delta = (-8)^2 -4 \cdot 2 \cdot m=0\\
\qquad 64-8 \cdot m=0\\
\qquad m=\dfrac{64}{8}=8.[/tex]
[tex]\qquad \Delta = b^2 -4ac \gt 0\\
\qquad \Delta = (6)^2 -4 \cdot 3 \cdot m \gt 0\\
\qquad 36-12 \cdot m \gt 0\\
\qquad 36 \gt 12 \cdot m\\
\qquad m \lt \dfrac{36}{12}\\
\qquad m \lt 3.[/tex]
Dessa forma, [tex]m[/tex] pode ser qualquer número real menor do que [tex]3.[/tex]
[tex]\qquad \Delta = b^2 -4ac \lt 0\\
\qquad \Delta = (-3)^2 -4 \cdot 1 \cdot m \lt 0\\
\qquad 9-4 \cdot m \lt 0\\
\qquad 9 \lt 4 \cdot m\\
\qquad m \gt \dfrac{9}{4}.[/tex]
Logo, [tex]m[/tex] pode ser qualquer número real maior do que [tex] \dfrac{9}{4}.[/tex]
Dessa forma, se [tex] x_1~[/tex] e [tex]~x_2~[/tex] são as raízes dessa equação, então [tex]\boxed{x_1+x_2=0}.[/tex]
Reescrevendo a equação, obtemos: [tex]x^2+x(p^2+2p)-4=0[/tex].
Assim, segue que
[tex]\qquad x_1+x_2=S=-\dfrac{b}{a}=0\\
\qquad b=0.[/tex]
Como o coeficiente [tex]b[/tex] é o termo que acompanha [tex]x[/tex] em uma equação quadrática, segue que:
[tex] \qquad p^2+2p=0\\
\qquad p(p+2)=0\\
\qquad p=0 ~\text{ ou }~ p=-2.[/tex]
|
[tex]\qquad S=x_1+x_2=0\\ \qquad S=-\dfrac{b}{a}=0\\ \qquad b=0.[/tex] Como o coeficiente [tex]b[/tex] é o termo que acompanha [tex]x[/tex] em uma equação quadrática, segue que: [tex]\qquad m-n+2=0\\ \qquad m=n-2.[/tex] |
[tex]\qquad P=x_1 \cdot x_2=0\\ \qquad P=\dfrac{c}{a}=0\\ \qquad c=0.[/tex] Como o coeficiente [tex]c[/tex] é o termo independente em uma equação quadrática, segue que: [tex] \qquad n+1=0\\ \qquad \boxed{n=-1}.[/tex] |
Substituindo [tex]n=-1[/tex] em [tex]m=n-2[/tex], obtemos:
[tex]\qquad m=(-1)-2\\
\qquad \boxed{ m=-3}.[/tex]
[tex]x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=\dfrac{6}{1}=6[/tex]
e
[tex]x_1 \cdot x_2=\dfrac{c}{a}=\dfrac{2 \cdot m}{1}=2m[/tex].
A partir das igualdades [tex]x_1+x_2=6[/tex] e [tex]x_1=2 \cdot x_2[/tex], obtemos:
[tex]\qquad x_1+x_2=6\\
\qquad 2 \cdot x_2+x_2=6 \\
\qquad 3 \cdot x_2=6 \\
\qquad x_2 = 2 ~\text{ e }~ x_1=2 \cdot 2 =4.[/tex]
Como [tex]x_1 \cdot x_2=2 \cdot m[/tex], segue que:
[tex]\qquad 2 \cdot 4=2 \cdot m \\
\qquad 8=2 \cdot m \\
\qquad \boxed{m=4}.[/tex]
[tex]\qquad a+b=14~[/tex] e [tex]~a \cdot b=81.[/tex]
A equação do segundo grau com raízes [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex] é da forma [tex]x^2-Sx+P=0[/tex], sendo que [tex]S=a+b=14[/tex] é a soma das raízes e [tex]P=a \cdot b=81[/tex] é o produto das raízes.
Logo, a equação procurada é [tex]x^2-14x+81=0[/tex].
[tex]\qquad x_1^{2}+x_2^{2}=40\\
\qquad (3 \cdot x_2)^{2}+x_2^{2}=40\\
\qquad 9 \cdot x_2^{2}+x_2^{2}=40\\
\qquad 10 \cdot x_2^{2}=40\\
\qquad x_2^{2}=4\\
\qquad x_2=\pm 2 [/tex]
Dessa forma, como [tex]x_1=3 \cdot x_2~[/tex], os valores correspondentes de [tex]x_1[/tex] serão [tex]\pm 6[/tex].
- Assim, a equação cujas raízes são [tex]~2~[/tex] e [tex]~ 6~[/tex] é [tex]x^2-Sx+P=0[/tex], com [tex]S=2+6=8[/tex] e [tex]P=2 \cdot 6 =12[/tex], donde teremos [tex]\boxed{x^2-8x+12=0}.[/tex]
- Analogamente, a equação cujas raízes são [tex]~-2~[/tex] e [tex]~-6~[/tex] é [tex]x^2-Sx+P=0[/tex], com [tex]S=-2-6=-8[/tex] e [tex]P=(-2) \cdot (-6) =12[/tex], donde teremos [tex]\boxed{x^2+8x+12=0}.[/tex]
[tex]\qquad |x_1-x_2|=\left|\dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}-\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\right|\\
\qquad |x_1-x_2|=\left|\dfrac{-b + \sqrt{\Delta}+b + \sqrt{\Delta}}{2a}\right|\\
\qquad |x_1-x_2|=\left|\dfrac{2 \sqrt{\Delta}}{2a}\right|\\
\qquad |x_1-x_2|=\left|\dfrac{\sqrt{\Delta}}{a}\right|\\
\qquad |x_1-x_2|=\left|\dfrac{\sqrt{b^2-4 \cdot a \cdot c}}{a}\right|.[/tex]
Para a equação [tex]~3x^2–2x+5m=0~[/tex], como [tex] |x_1-x_2|=1[/tex], segue que:
[tex]\qquad |x_1-x_2|=\left|\dfrac{\sqrt{(-2)^2-4 \cdot 3 \cdot 5m}}{3}\right|=1\\
\qquad \left|\dfrac{\sqrt{4-60 \cdot m}}{3}\right|=1,[/tex]
donde
[tex]\qquad \dfrac{\sqrt{4-60 \cdot m}}{3}=1~[/tex] e [tex]~4-60m \geq 0.[/tex]
De [tex]\dfrac{\sqrt{4-60 \cdot m}}{3}=1~[/tex] segue que:
[tex]\qquad \sqrt{4-60 \cdot m}=3\\
\qquad 4-60 \cdot m=9\\
\qquad -60 \cdot m=5\\
\qquad m=-\dfrac{5}{60}\\
\qquad m=-\dfrac{1}{12}.[/tex]
Logo, [tex]\boxed{m=-\dfrac{1}{12}}.[/tex]
(Para [tex] m=-\dfrac{1}{12}[/tex], [tex]~4-60m =4+5=9 \gt 0[/tex].)
- Raízes recíprocas são raízes inversas, ou seja, o produto entre elas resulta em [tex]1[/tex]. Assim:
[tex]\qquad x_1=\dfrac{1}{x_2}\\
\qquad x_1 \cdot x_2=1\\
\qquad \dfrac{c}{a}=1 \\
\qquad \boxed{c=a}.[/tex] - Raízes simétricas ou opostas são raízes cuja soma resulta em zero. Assim:
[tex]\qquad x_1+x_2=0\\
\qquad -\dfrac{b}{a}=0\\
\qquad \boxed{b=0}.[/tex]
[tex]\qquad \dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=\dfrac{x_1+x_2}{x_1 \cdot x_2}=\dfrac{-b/a}{c/a}=-\dfrac{b}{c}[/tex].
Assim:
[tex]\qquad \dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=-\dfrac{b}{c}=\dfrac{5}{12}\\
\qquad-\dfrac{k}{36}=\dfrac{5}{12}\\
\qquad k=-36 \cdot \dfrac{5}{12}\\
\qquad k=-15.[/tex]
[tex]\qquad {x_1}^2+{x_2}^2=S^2-2P[/tex].
Logo, como [tex]S=-\dfrac{b}{a}=-\dfrac{8}{2}=-4~[/tex] e [tex]~P=\dfrac{c}{a}=\dfrac{k}{2}[/tex], temos:
[tex]\qquad {x_1}^2+{x_2}^2=7\\
\qquad S^2-2P=7\\
\qquad (-4)^2-2 \cdot \dfrac{k}{2}=7\\
\qquad 16-k=7\\
\qquad k=9.[/tex]
Componha a equação do [tex]2^\circ[/tex] grau que admita as raízes [tex]a+1[/tex] e [tex]b+1[/tex].
Para obtermos uma equação do segundo grau de raízes [tex]a+1[/tex] e [tex]b+1[/tex], devemos calcular a soma [tex]S[/tex] e o produto [tex]P[/tex] das mesmas.
Observe que:
[tex]\qquad S=(a+1)+(b+1)=a+b+2=m+2[/tex]
e
[tex]\qquad P=(a+1) \cdot (b+1)=a \cdot b+a+b+1=1+m+1=m+2[/tex];
assim, a equação procurada é [tex]x^2–Sx+P=0[/tex], ou seja, [tex]\boxed{x^2–(m+2)x+(m+2)=0}[/tex].
Determine [tex]k[/tex] de modo que [tex]a^3+b^3=-\dfrac{243}{8}[/tex].
Para a equação em questão, o valor de [tex]S=\dfrac{-(-3)}{1}=3[/tex] e o valor de [tex]P=\dfrac{k}{1}=k[/tex]; assim:
[tex]\quad a^3+b^3=S^3-3 \cdot S \cdot P\\
\quad -\dfrac{243}{8}=(3)^3-3 \cdot 3 \cdot k\\
\quad -\dfrac{243}{8}=27-9 \cdot k\\
\quad -\dfrac{243}{8}-27=-9 \cdot k\\
\quad -\dfrac{459}{8}=-9 \cdot k\\
\quad 9 \cdot k=\dfrac{459}{8}\\
\quad k=\dfrac{51}{8}.[/tex]
Exercícios de Aprofundamento
[tex]\qquad \alpha^2+\alpha-1=0\\
\qquad \alpha^2=1-\alpha. \qquad \textcolor{#20b0ff}{(i)}[/tex]
Agora, vamos elevar a expressão [tex]\textcolor{#20b0ff}{(i)}[/tex] ao quadrado:
[tex]\qquad (\alpha^2)^2=(1-\alpha)^2=1-2 \cdot \alpha + \textcolor{#20b0ff}{\alpha^2}=1-2 \cdot \alpha + \textcolor{#20b0ff}{(1- \alpha)}=2-3 \cdot \alpha.[/tex]
Assim, [tex]\alpha^4=2-3 \cdot \alpha. \qquad \textcolor{#20b0ff}{(ii)}[/tex]
Mas queremos determinar o valor de [tex]\alpha^5-5\alpha[/tex]; então, vamos lá!
[tex]\qquad \alpha^5-5 \cdot \alpha=\alpha \cdot (\alpha^4-5).[/tex]
Substituindo [tex]\textcolor{#20b0ff}{(ii)}[/tex] nessa expressão, vem:
[tex]\qquad \alpha^5-5 \cdot \alpha=\alpha \cdot (\textcolor{#20b0ff}{\alpha^4}-5)\\
\qquad \alpha^5-5 \cdot \alpha= \alpha \cdot (\textcolor{#20b0ff}{2-3 \cdot \alpha}-5)\\
\qquad \alpha^5-5 \cdot \alpha= \alpha \cdot (-3 \cdot \alpha -3)\\
\qquad \alpha^5-5 \cdot \alpha= -3 \cdot (\alpha^2 +\alpha).[/tex]
Perceba que na equação inicial, temos [tex]\alpha^2+\alpha=1[/tex]; deste modo:
[tex]\qquad \alpha^5-5 \cdot \alpha=-3 \cdot (\alpha^2 +\alpha)\\
\qquad \alpha^5-5 \cdot \alpha=-3 \cdot (1)\\
\qquad \boxed{\alpha^5-5 \cdot \alpha=-3_{~}}.[/tex]
Sabemos que:
[tex]\qquad x_1+x_2=-\dfrac{b}{a} \qquad \textcolor{#20b0ff}{(i)}[/tex]
e
[tex]\qquad x_1 \cdot x_2=\dfrac{c}{a} \qquad \textcolor{#20b0ff}{(ii)}[/tex].
Vamos substituir [tex]x_1=n \cdot x_2[/tex] em [tex]\textcolor{#20b0ff}{(i)}[/tex]:
[tex]\qquad n \cdot x_2+x_2=-\dfrac{b}{a}\\
\qquad x_2 \cdot (n+1)=-\dfrac{b}{a}\\
\qquad x_2=-\dfrac{b}{a \cdot (n+1)}. \qquad\textcolor{#20b0ff}{(iii)}[/tex]
Agora, substituindo [tex]\textcolor{#20b0ff}{(iii)}[/tex] em [tex]\textcolor{#20b0ff}{(i)}[/tex], vem:
[tex]\qquad x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}\\
\qquad x_1=-\dfrac{b}{a} +\dfrac{b}{a \cdot (n+1)}\\
\qquad x_1=\dfrac{-b \cdot (n+1)+b}{a \cdot (n+1)}\\
\qquad x_1=\dfrac{-b \cdot n}{a \cdot (n+1)}.[/tex]
Agora, para finalizar, vamos substituir [tex]x_1[/tex] e [tex]x_2[/tex] em [tex]\textcolor{#20b0ff}{(ii)}[/tex]:
[tex]\qquad x_1 \cdot x_2=\dfrac{c}{a}\\
\qquad \dfrac{-bn}{a \cdot (n+1)} \cdot \dfrac{-b}{a \cdot (n+1)}=\dfrac{c}{a}\\
\qquad b^2=\dfrac{a\cdot c\cdot(n+1)^2}{n}\\
\qquad b^2=\dfrac{\left(n+1\right)^2}{n} \cdot a \cdot c.[/tex]
Calcule a soma [tex]a+b+c+d.[/tex]
Somando e subtraindo membro a membro essas duas igualdades, obtemos [tex]b+d=2(a+c)~[/tex] e [tex]~b-d=4(c-a).[/tex]
Como [tex]a[/tex] é raiz de [tex]x^2-3cx-8d=0[/tex], segue que [tex]a^2-3ca-8d=0. \qquad \textcolor{#20b0ff}{(i)}[/tex]
Da mesma forma, como [tex]c[/tex] é raiz da equação [tex]x^2-3ax-8b=0[/tex], temos que [tex]c^2-3ac-8b=0. \qquad \textcolor{#20b0ff}{(ii)}[/tex]
Subtraindo as igualdades [tex]\textcolor{#20b0ff}{(i)}[/tex] e [tex]\textcolor{#20b0ff}{(ii)}[/tex] e utilizando as relações anteriormente obtidas, temos que:
[tex]\qquad a^2-c^2=8(d-b)\\
\qquad (a-c)(a+c)=8\cdot 4(a-c)[/tex]
Como [tex]a-c \neq 0[/tex], concluímos que [tex]a+c=32[/tex].
Portanto, [tex]a+c=32~[/tex] e [tex]~b+d=2(a+c)=64[/tex], donde [tex]\boxed{a+b+c+d=96}.[/tex]
Mostre que a equação [tex]ax^2+bx+c=0[/tex] não pode ter duas raízes no intervalo aberto [tex]]1, 2[[/tex].
Por outro lado, note que:
[tex]\qquad \dfrac{4a+3b+c}{a}=4+\dfrac{3b}{a}+\dfrac{2c}{a}\\
\qquad \dfrac{4a+3b+c}{a}=2x_1x_2-3(x_1+x_2)+4\\
\qquad \dfrac{4a+3b+c}{a}=(x_1-1)(x_2-2)+(x_1-2)(x_2-1)[/tex]
e, portanto, [tex]0 \lt (x_1-1)(x_2-2)+(x_1-2)(x_2-1)[/tex].
Agora, se [tex]x_1[/tex] e [tex]x_2[/tex] pertencem ao intervalo [tex]]1, 2[[/tex], então cada termo da soma acima será estritamente negativo, o que é uma contradição.
Equipe COM – OBMEP
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[1] BIANCHINI, Edwaldo; MIANI, Marcos. Construindo conhecimentos em Matemática, 8ª série. São Paulo: Moderna, 2000.
[2] BIGODE, Antonio José Lopes; MIANI, Marcos. Matemática hoje é feita assim, 8ª série. 1ª Edição. São Paulo: FTD, 2000.
[3] BOYER, Carl Benjamin. História da Matemática, 3ª Edição. São Paulo: Edgard Blucher, 2010.
[4] EVES, Howard. Introdução à História da matemática. Campinas, SP: Editora da Unicamp, 2004.
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[7] MOL, Rogério Santos. Introdução à História da matemática/ Rogério S. Mol. – Belo Horizonte: CAED—UFMG, 2013.
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[9] FRAGOSO, Wagner da Cunha. Uma Abordagem Histórica da Equação do 2 Grau. Revista do professor de matemática, 43:20–25, 2000. (Último acesso em 03/07/23)
[10] PEDROSO, Hermes Antonio. Uma breve história da equação do 2º grau. Revista Eletrônica de Matemática, v.2, p.1-13, 2010. (Último acesso em 03/07/23)
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