Um passeio pelo mundo da Equação Quadrática – Sala 2

As possíveis soluções de uma equação do segundo grau

1. Método de Resolução das Equações do [tex]2^\circ[/tex] Grau Incompletas

1.1 Equações da forma [tex]ax^2=0[/tex]
Para equações dessa forma, as raízes são sempre nulas. Observe:
[tex]\qquad ax^2=0\\
\qquad x^2=\dfrac{0}{a}.[/tex]
Então, [tex]\,\fcolorbox{black}{#d8e2ec}{$x=0$}\,[/tex] e o conjunto solução desse tipo de equação é [tex]\,\fcolorbox{black}{#d8e2ec}{$\,\{0\}$}\,[/tex], SEMPRE.
Exemplo: Resolver a equação [tex]4x^2=0[/tex].
Solução:
[tex]\qquad 4x^2=0\\
\qquad x^2=\dfrac{0}{4}\\
\qquad x^2=0\\
\qquad \boxed{x=0}.[/tex]

1.2 Equações da forma [tex]ax^2+bx=0[/tex], com [tex]b\ne 0[/tex]
Para obter soluções para equações dessa forma, fatoramos a equação usando o caso Fator Comum em Evidência e utilizamos o fato de que se o produto de dois números é zero, então, pelo menos um destes número é zero. Observe:
[tex]\qquad ax^2+bx=0[/tex]
Colocando [tex]x[/tex] em evidência, vem:
[tex]\qquad x \cdot(ax+b)=0[/tex].
Se o produto de [tex]x[/tex] por [tex]ax+b[/tex] é zero, então:
[tex]\qquad x=0~[/tex] ou [tex]~ax+b=0[/tex].
Assim, vemos que equações da forma [tex]ax^2+bx=0[/tex] com [tex]b\ne 0[/tex] têm duas soluções distintas; essas soluções são:
[tex]\, \qquad \qquad \fcolorbox{black}{#d8e2ec}{$x=0$}\,\qquad [/tex] ou [tex]\,\qquad \fcolorbox{black}{#d8e2ec}{$x=-\dfrac{b}{a}$}\,.[/tex]
Exemplo: Resolver a equação [tex]6x^2-18x=0.[/tex]
Solução:
Colocando [tex]x[/tex] em evidência, temos:
[tex]\qquad x \cdot(6x-18)=0.[/tex]
Como o produto de [tex]x[/tex] por [tex]6x-18[/tex] é zero, então:
[tex]\qquad x=0~[/tex] ou [tex]~6x-18=0[/tex], donde encontramos as raízes [tex]\boxed{x=0}~[/tex] ou [tex]~\boxed{x=3}[/tex].
Assim, o conjunto solução da equação [tex]6x^2-18x=0\,[/tex] é [tex]\,\{0\,,\, 3\}.[/tex]

1.3 Equações da forma [tex]ax^2+c=0[/tex], com [tex]c\ne 0[/tex]
Para equações dessa forma, isolamos inicialmente o [tex]x^2[/tex]. Observe:
[tex]\qquad ax^2+c=0\\
\qquad ax^2=-c\\
\qquad x^2=\dfrac{-c}{a}.[/tex]
Em seguida, extrai-se a raiz quadrada de ambos os lados da equação, obtendo:
[tex]\qquad x=\pm \sqrt{\dfrac{-c}{a}}.[/tex]
Nesse ponto há duas possibilidades dentro do conjunto dos números reais:
[tex]1º)[/tex] A expressão [tex]\dfrac{-c}{a}~[/tex] é maior ou igual a zero. Nesse caso, a equação possui como raiz os números [tex]\,\fcolorbox{black}{#d8e2ec}{$\sqrt{\dfrac{-c}{a}}$}\,[/tex] e [tex]\,\fcolorbox{black}{#d8e2ec}{$-\sqrt{\dfrac{-c}{a}}$}\,.[/tex]
[tex]2º)[/tex] A expressão [tex]\dfrac{-c}{a}~[/tex] é menor que zero. Nesse caso, a equação não admite raiz real; assim, o seu conjunto solução em [tex]\mathbb{R}[/tex] é o conjunto vazio.
Exemplo 1: Resolver a equação [tex]x^2-81=0[/tex].
Solução:
Isolando o [tex]x^2[/tex], vem:
[tex]\qquad x^2-81=0\\
\qquad x^2=81.[/tex]
Agora, extrai-se a raiz quadrada de ambos os lados da equação, obtendo:
[tex]\qquad x=\pm \sqrt{81}\\
\qquad \boxed{x=\pm 9}.[/tex]
Portanto, o conjunto solução da equação [tex]x^2-81=0\,[/tex] é [tex]\,\{-9\,,\, 9\}.[/tex]
Exemplo 2: Resolver a equação [tex]3x^2+27=0[/tex].
Solução:
Isolando o [tex]x^2[/tex], vem:
[tex]x^2=\dfrac{-27}{3}[/tex]
[tex]x^2=-9[/tex].
Extrai-se a raiz quadrada de ambos os lados da equação, obtendo:
[tex]x=\pm \sqrt{-9}[/tex].
Porém, não há número real cujo quadrado resulte em [tex]-9[/tex]. Desta forma, o conjunto solução dessa equação em [tex]\mathbb{R}[/tex] é o conjunto vazio, [tex]\emptyset[/tex].

2.1 Método da Fatoração
Dentre os diversos métodos utilizados para solucionar equações, vamos aprender agora a resolver uma equação do segundo grau utilizando fatoração. Podemos dizer que esse método não é tão complicado e é bastante funcional. O método é fundamentado no caso de fatoração denominado Trinômio Quadrado Perfeito (Vamos denotar por TQP para simplificar nossa escrita.):
[tex]\qquad \qquad a^2+2ab+b^2=(a+b)^2~[/tex] e [tex]~a^2-2ab+b^2=(a-b)^2.[/tex]
O processo de resolução consiste em transformar o primeiro membro da equação [tex]ax^2+bx+c=0[/tex] em um Trinômio Quadrado Perfeito.
Vamos fazer um exemplo simples para começar.
Exemplo 1: Resolver, no conjunto dos reais, a equação completa [tex]16x^2+8x+1=0[/tex].
Solução:
Inicialmente, verificaremos se a expressão [tex]16x^2+8x+1[/tex] corresponde a um TQP.
Observe que
☞ [tex]16x^2=(4x)^2[/tex]
☞ [tex]1=1^2[/tex]
☞ [tex]8x=2 \cdot 4x \cdot 1[/tex]
e, portanto, podemos concluir que a expressão em questão é um TQP, pois [tex]16x^2+8x+1=0[/tex] corresponde a [tex](4x+1)^2=0[/tex].
Isso é ótimo, pois a equação fica mais facilmente resolvível. Temos duas possíveis saídas agora:
• Saída 1: Transformar a potência em um produto. Assim:
  [tex]\qquad (4x+1)^2=0\\
  \qquad (4x+1) \cdot (4x+1)=0.[/tex]
  Como o produto dos dois fatores em questão dá zero e eles são iguais, então basta fazer um igual a zero.
  [tex]\qquad 4x+1=0 \\
  \qquad \boxed{x=-\dfrac{1}{4}}.[/tex]
  Desta forma, a equação possui uma raiz igual a [tex]-\dfrac{1}{4}[/tex]. (Na realidade, essa raiz possui multiplicidade dois. O conceito de multiplicidade será melhor abordado em outra sala.)
• Saída 2: Utilizar o fato de que se o quadrado de um número real é zero, então esse número é zero. Assim:
  [tex]\qquad (4x+1)^2=0\\
  \qquad 4x+1=0 \\
  \qquad \boxed{x=-\dfrac{1}{4}}.[/tex]
  Como era de se esperar, a equação continua com o mesmo conjunto solução: [tex]\left\{-\dfrac{1}{4}\right\}[/tex].

Nada mal para um primeiro exemplo! Que tal ver outros?

Exemplo 2: Resolver, no conjunto dos reais, a equação completa [tex]x^2+17x+30=0[/tex].
Será que a expressão [tex]x^2+17x+30[/tex] é um TQP ?
Infelizmente não, pois
☞ [tex]x^2=(x)^2[/tex],
☞ [tex]30=(\sqrt{30})^2[/tex],
mas
☞[tex]17x \ne 2 \cdot x \cdot \sqrt{30}[/tex].
E agora?
Vamos tentar outra técnica já que não temos um TQP. Façamos o seguinte:
Reescrevamos a equação [tex]x^2+17x+30=0[/tex] da seguinte forma:
[tex]\qquad x^2+2 \cdot \dfrac{17}{2} \cdot x=-30.[/tex]
Agora, adicione a ambos os membros dessa última equação o valor [tex]\left(\dfrac{17}{2}\right)^2:[/tex]
[tex]\qquad x^2+2 \cdot \dfrac{17}{2} \cdot x +\left(\dfrac{17}{2}\right)^2=-30+\left(\dfrac{17}{2}\right)^2 .[/tex]
Perceba que temos, agora, um TQP no primeiro membro dessa equação; e, portanto, podemos fatorá-lo da seguinte forma:
[tex]\qquad \left(x+\dfrac{17}{2} \right)^2=-30+ \dfrac{289}{4}[/tex]
o que resulta em
[tex]\qquad \left(x+\dfrac{17}{2} \right)^2=\dfrac{169}{4}.[/tex]
Sabemos que existem dois números reais que elevados ao quadrado resultam em [tex]\dfrac{169}{4}[/tex], que são [tex]\pm \dfrac{13}{2}[/tex]. Desta forma, temos:
[tex]\qquad x+\dfrac{17}{2}=\dfrac{13}{2} \\
\qquad x=\dfrac{13}{2}-\dfrac{17}{2}=-\dfrac{4}{2}=-2[/tex]
ou
[tex]\qquad x+\dfrac{17}{2}=-\dfrac{13}{2} \\
\qquad x=-\dfrac{13}{2}-\dfrac{17}{2}=-\dfrac{30}{2}=-15.[/tex]

Logo, a equação [tex]x^2+17x+30=0[/tex] possui as raízes reais [tex]-2[/tex] e [tex]-15[/tex] e, portanto, seu conjunto solução é [tex]\{-15\,,\, -2\}.[/tex]

Exemplo 3: Resolver, no conjunto dos reais, a equação completa [tex]x^2+5x+10=0[/tex].
Será que a expressão [tex]x^2+5x+10[/tex] é um TQP ?
Infelizmente não, pois
☞ [tex]x^2=(x)^2[/tex],
☞ [tex]10=(\sqrt{10})^2[/tex],
mas
☞ [tex]5x \ne 2 \cdot x \cdot \sqrt{10}[/tex].
Vamos tentar a mesma técnica usada no exemplo anterior; então, façamos o seguinte:
Reescrevamos a equação [tex]x^2+5x+10=0[/tex] da seguinte forma:
[tex]\qquad x^2+2 \cdot \dfrac{5}{2} \cdot x=-10[/tex].
Agora, vamos adicionar a ambos os membros dessa última equação o valor [tex]\left(\dfrac{5}{2}\right)^2[/tex]:
[tex]\qquad x^2+2 \cdot \dfrac{5}{2} \cdot x +\left(\dfrac{5}{2}\right)^2=-10+\left(\dfrac{5}{2}\right)^2 .[/tex]
Perceba que agora temos um TQP no primeiro membro dessa equação; e, portanto, podemos fatorá-lo da seguinte forma:
[tex]\qquad \left(x+\dfrac{5}{2} \right)^2=-10+ \dfrac{25}{4}[/tex],
o que resulta em [tex]\left(x+\dfrac{5}{2} \right)^2=-\dfrac{15}{4}.[/tex]
Chegamos a uma outra situação neste exemplo: como pode um quadrado perfeito de um número real resultar em um número negativo?
Isso significa que essa equação não admite raízes reais, pois nenhum número real elevado ao quadrado resulta em [tex]-\dfrac{15}{4}[/tex].
Logo, o conjunto solução da equação em [tex]\mathbb{R}[/tex] é o conjunto vazio, [tex]\emptyset[/tex].

2.2 A Famosa Fórmula Resolvente (ou Resolutiva)
Resolver uma equação do [tex]2^\circ[/tex] grau significa determinar, por meio de processos algébricos, os valores de [tex]x[/tex] que verifiquem a igualdade correspondente à equação. A partir dos coeficientes [tex]a[/tex], [tex]b[/tex] e [tex]c[/tex] da equação algébrica [tex]ax^2+bx+c=0[/tex], com [tex]a \neq 0[/tex], é possível demonstrar a existência de uma relação entre as raízes e esses coeficientes. Veja como, acompanhando os seguintes passos:
• Equação inicial:
  [tex]\qquad ax^2+bx+c=0[/tex].
• Multiplicamos a equação por [tex]4a[/tex]:
  [tex]\qquad 4a^2x^2+4abx+4ac=0[/tex].
• Subtraímos [tex]4ac[/tex] de ambos os membros da equação anterior:
  [tex]\qquad 4a^2x^2+4abx=-4ac[/tex].
• Somamos [tex]b^2[/tex] a ambos os membros da equação anterior:
  [tex]\qquad 4a^2x^2+4abx+b^2=b^2-4ac[/tex].
• Fatoramos o trinômio quadrado perfeito do primeiro membro:
  [tex]\qquad (2ax +b)^2=b^2-4ac[/tex].
• Extraímos a raiz quadrada de ambos os membros da última equação:
  [tex]\qquad 2ax+b=\pm \sqrt{b^2-4ac}[/tex].
• Subtraímos [tex]b[/tex] em ambos os membros:
  [tex]\qquad 2ax=-b \pm \sqrt{b^2-4ac}[/tex].
• Dividindo a equação anterior por [tex]2a[/tex], obtemos:
  [tex]\qquad x=\dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}[/tex].

A expressão [tex]b^2-4ac[/tex] é denominada discriminante e é indicada pela letra grega [tex]\Delta[/tex] (lê-se delta); e com ela podemos reescrever a última igualdade obtida como
[tex]\qquad x=\dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}[/tex].
Dessa forma, temos duas maneiras para representar as raízes de uma equação [tex]ax^2+bx+c=0[/tex]:
[tex]\qquad \qquad \,\fcolorbox{black}{#d8e2ec}{$x=\dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$}\quad[/tex] e [tex]\quad \fcolorbox{black}{#d8e2ec}{$x=\dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$}\,.[/tex]

2.3 Método de Viète
Vamos, agora, chegar à mesma fórmula resolvente/resolutiva que obtivemos em 2.2, mas seguindo um caminho desenvolvido pelo grande matemático francês François Viéte.
Esse método consiste numa mudança de variáveis. Dada a equação geral da forma [tex]ax^2+bx+c=0[/tex], o procedimento é o seguinte:
• Considere [tex]x=u+z[/tex].
• Substitua [tex]x=u+z[/tex] em [tex]ax^2+bx+c=0[/tex]:
  [tex]\qquad a \cdot (u+z)^2+b \cdot (u+z)+c=0[/tex].
• Desenvolvendo a igualdade obtida, temos:
  [tex]\qquad a \cdot (u^2+2uz+z^2)+bu+bz+c=0\\
  \qquad au^2+2auz+az^2+bu+bz+c=0\\
  \qquad au^2+(2az+b)u+(az^2+bz+c)=0.[/tex]
  Aqui, temos uma equação do [tex]2^\circ[/tex] grau na variável [tex]u[/tex].
• Se [tex]2az+b=0[/tex], então [tex]z=-\dfrac{b}{2a}[/tex].
• Substituindo [tex]z=-\dfrac{b}{2a}[/tex] em [tex]au^2+(2az+b)u+(az^2+bz+c)=0[/tex], obtemos
  [tex]\qquad au^2+ \left(2a \cdot \left(\dfrac{-b}{2a}\right)+b\right)u+\left(a \cdot \left(\dfrac{-b}{2a}\right)^2+b \cdot \left(\dfrac{-b}{2a}\right)+c\right)=0[/tex]
  e, dessa forma, segue que:
  [tex]\qquad au^2+\left(\dfrac{b^2}{4a}-\dfrac{b^2}{2a}+c \right)=0\\
  \qquad au^2+\left(\dfrac{b^2-2b^2+4ac}{4a} \right)=0\\
  \qquad au^2=-\dfrac{b^2-2b^2+4ac}{4a}\\
  \qquad u^2=-\dfrac{-b^2+4ac}{4a^2}\\
  \qquad u=\pm \sqrt{\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}}\\
  \qquad u=\dfrac{\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}.[/tex]

Finalmente, sendo [tex]x=u+z[/tex], temos:
[tex]\qquad x=\dfrac{\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}+\left(-\dfrac{b}{2a}\right)\\
\qquad \fcolorbox{black}{#d8e2ec}{$x=\dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$}\,.[/tex]

2.4 Vamos resolver agora algumas equações completas

O que ocorrerá se [tex]\Delta[/tex] não for maior que zero? Vamos ver outro exemplo!

Observe que nesse caso o discriminante [tex]\Delta = 0[/tex], o que nos permite encontrar uma raiz dupla ou de multiplicidade dois.
Interessante não? Vamos para mais um exemplo.

As soluções de uma equação do segundo grau

Ao resolvermos uma equação do [tex]2^\circ[/tex] grau, devemos sempre procurar utilizar o processo mais simples de solução para essa equação. No entanto é sempre bom lembrar que a fórmula resolvente/resolutiva não tem restrições para a sua aplicação, no que tange ao tipo de equação do [tex]2^\circ[/tex] a ser resolvida:

Dessa forma, nessa análise final, vamos utilizá-la; até porque, analisando o valor do [tex]\Delta[/tex] de uma equação quadrática, podemos saber o número de raízes dessa equação, sem mesmo resolvê-la!
Então seja [tex]\, \boxed{ax^2+bx+c=0}\,[/tex] uma equação quadrática. Já sabemos que o discriminante dessa equação é [tex]\, \boxed{\Delta=b^2-4ac}\,[/tex], mas o que veremos agora é que a quantidade de soluções da equação depende apenas desse valor de [tex]\Delta[/tex].
Observe:

• Quando [tex]\Delta \gt 0[/tex], [tex]\sqrt{\Delta}[/tex] é um número real positivo e, portanto, o [tex]\pm[/tex] da fórmula resolvente fornece duas soluções reais distintas da equação; a saber:
  [tex]\qquad \qquad \fcolorbox{black}{#d8e2ec}{$x_1=\dfrac{-b + \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$}\,\qquad [/tex] e [tex]\qquad \fcolorbox{black}{#d8e2ec}{$x_2=\dfrac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$}\,.[/tex]
• Quando [tex]\Delta = 0[/tex], [tex]\sqrt{\Delta}=0[/tex]. Como [tex]\pm0=0[/tex], a fórmula resolvente nos diz que existe apenas uma solução real para a equação; a saber:
  [tex]\qquad \qquad \fcolorbox{black}{#d8e2ec}{$x_1=\dfrac{-b}{2a}$}\,.[/tex]
  Neste caso, a raiz é dita uma “raiz com multiplicidade [tex]2[/tex]”.
• Quando [tex]\Delta \lt 0[/tex], o número [tex]\sqrt{\Delta}[/tex] não está definido no conjunto dos números reais. Assim a equação não tem soluções reais.

Dessa forma, podemos fazer o seguinte resumo:

• Se [tex]\Delta \gt 0[/tex], a equação admite duas raízes reais e distintas.
• Se [tex]\Delta = 0[/tex], a equação admite apenas uma solução real ou, se você preferir, duas raízes reais e iguais.
• Se [tex]\Delta \lt 0[/tex], a equação não admite raízes reais.

Considerando que as equações na forma incompleta podem ser resolvidas sem a utilização da fórmula resolvente, necessariamente, podemos visualizar todas as situações relativas à solução de uma equação [tex]ax^2+bx+c=0[/tex], com [tex]a[/tex], [tex]b[/tex] e [tex]c[/tex] números reais, sendo [tex]a\ne 0[/tex], na imagem a seguir.

Forma Canônica de uma Equação Polinomial do [tex]2^\circ[/tex] Grau

A partir da forma [tex]ax^2+bx+c=0[/tex], podemos obter uma forma denominada de canônica que é bastante útil em determinados procedimentos e problemas.
Veja a seguir o passo a passo de como obtê-la.

1º Passo: Coloque em evidência o coeficiente [tex]a[/tex]:
[tex]\qquad ax^2+bx+c=0\\
\qquad a\cdot \left(x^2+\dfrac{b}{a} \cdot x + \dfrac{c}{a}\right)=0.[/tex]

2º Passo: No parêntese, adicione e subtraia a expressão [tex]\dfrac{b^2}{4a^2}[/tex]:
[tex]\qquad a\cdot \left(x^2+\dfrac{b}{a} \cdot x + \dfrac{b^2}{4a^2} – \dfrac{b^2}{4a^2} + \dfrac{c}{a}\right)=0.[/tex]

3º Passo: Isolamos os três primeiros termos de forma estratégica como mostrado abaixo:
[tex]\qquad a\cdot \left[ \left(x^2+\dfrac{b}{a} \cdot x + \dfrac{b^2}{4a^2}\right) – \dfrac{b^2}{4a^2} + \dfrac{c}{a}\right]=0\\
\qquad a\cdot \left[ \left(x^2+2 \cdot \dfrac{b}{2a} \cdot x + \dfrac{b^2}{4a^2}\right) – \dfrac{b^2}{4a^2} + \dfrac{c}{a}\right]=0.[/tex]

4º Passo: O termos isolados na última expressão correspondem a um quadrado perfeito:
[tex]\qquad a\cdot \left[ \left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2 – \dfrac{b^2}{4a^2} + \dfrac{c}{a}\right]=0.[/tex]

5º Passo: Reduzindo ao mesmo denominador os termos que estão fora dos parênteses, temos:
[tex]\qquad \fcolorbox{black}{#d8e2ec}{$a\cdot \left[ \left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}\right]=0$}\,.[/tex]

Esta é a forma canônica da Equação Polinomial do [tex]2^\circ[/tex] Grau.