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Teorema do ângulo externo: justificativas e algumas aplicações

Já sei, aqui vamos tentar justificar os dois resultados envolvendo ângulo externo que observamos utilizando o GeoGebra.

carinha6

Isso mesmo!
Mas vamos também fazer algumas aplicações utilizando, principalmente, o Teorema do Ângulo Externo.

Teorema do ângulo externo: justificativas e algumas aplicações



Justificativas



Problema 1: Dado um triângulo [tex]ABC[/tex], é bastante comum denominarmos os ângulos [tex]A\hat{B}C[/tex], [tex]B\hat{C}A[/tex] e [tex]C\hat{A}B[/tex] de ângulos internos do triângulo. Os adjacentes a esses ângulos, obtidos mediante prolongamento dos lados do triângulo, são denominados de ângulos externos do triângulo [tex]ABC[/tex].
Por exemplo, na figura abaixo, [tex]C\hat{B}D[/tex] é um ângulo externo do triângulo [tex]ABC[/tex], adjacente ao ângulo interno [tex]A\hat{B}C[/tex].

F6

Considerando as medidas β e θ assinaladas na figura, justifique porque β + θ=180°.

Como [tex]C\hat{B}D[/tex] é um ângulo externo do triângulo [tex]ABC[/tex], adjacente ao ângulo interno [tex]A\hat{B}C[/tex], os pontos [tex]A[/tex], [tex]B[/tex] e [tex]D[/tex] são colineares, já que os ângulos [tex]A\hat{B}C[/tex] e [tex]C\hat{B}D[/tex], além de adjacentes, são suplementares.
Portanto, β + θ=180°.

Um applet para recordar: Utilize um applet para recordar dois fatos importantes sobre congruência de ângulos que serão utilizados no Problema 2. É só clicar no botão a seguir.

1) Aguarde o arquivo carregar. Na janela do applet, você visualizará duas retas paralelas, [tex]p_1[/tex] e [tex]p_2[/tex], e dois quadradinhos.
2) Marque o quadradinho Ângulos alternos internos, clicando sobre ele. Você visualizará uma reta [tex]t_1[/tex], transversal a [tex]p_1[/tex] e [tex]p_2[/tex], e dois ângulos alternos internos com suas respectivas medidas em graus. Clique no ponto C (ou D) com qualquer botão do mouse, mantenha o botão pressionado e movimente o ponto horizontalmente. (Se você estiver utilizando um celular ou um tablet, toque levemente no ponto e movimente-o.)
O que você concluiu?
3) Desmarque o quadradinho Ângulos alternos internos, clicando sobre ele.
4) Marque o quadradinho Ângulos correspondentes, clicando sobre ele. Você visualizará uma reta [tex]t_2[/tex], transversal a [tex]p_1[/tex] e [tex]p_2[/tex], e dois ângulos correspondentes com suas respectivas medidas em graus. Clique no ponto A (ou B) com qualquer botão do mouse, mantenha o botão pressionado e movimente o ponto horizontalmente. (Se você estiver utilizando um celular ou um tablet, toque levemente no ponto e movimente-o.)
O que você concluiu?
5) Para voltar para a configuração inicial da janela do applet, é só clicar nas setinhas circulares que aparecem no canto superior direito do applet.


OBMEP_ srdg, criado com o GeoGebra
Observamos que o applet ajuda na visualização do resultado;
mas, matematicamente, não substitui sua demonstração.

Problema 2: Justifique porque a medida de um ângulo externo de um triângulo qualquer é a soma das medidas dos ângulos internos não adjacentes a esse ângulo externo.

Considere um triângulo [tex]ABC[/tex] qualquer, fixe um de seus ângulos internos e os dois ângulos externos adjacentes a esse ângulo, conforme ilustra a figura a seguir.

Vamos justificar a afirmação de que um ângulo externo de um triângulo é a soma das medidas dos ângulos internos não adjacentes a esse ângulo externo. No caso ilustrado pela figura, vamos mostrar que [tex] \textcolor{#FF33FF}{\varphi}=\textcolor{#0099FF}{\alpha}+\textcolor{#080}{\beta} [/tex].

  • Justificativa 1: Observe inicialmente que, conforme ilustra o applet acima, ângulos alternos internos têm a mesma medida. Assim, podemos afirmar que, ao traçarmos uma paralela à reta [tex]CA[/tex] passando por [tex]B[/tex], essa paralela define com o segmento [tex]\overline{BA}[/tex] um ângulo com vértice em [tex]B[/tex] cuja a medida é [tex] \textcolor{#0099FF}{\alpha}[/tex].

    Note que a paralela à reta [tex]CA[/tex] passando por [tex]B[/tex] que traçamos define com o segmento [tex]\overline{BC}[/tex] um ângulo com vértice em [tex]B[/tex] cuja a medida é [tex] \textcolor{#0099FF}{\alpha}+\textcolor{#080}{\beta}[/tex].

    Agora vamos utilizar outra propriedade ilustrada pelo applet acima: ângulos correspondentes têm a mesma medida, e concluir que esse ângulo de medida [tex] \textcolor{#0099FF}{\alpha}+\textcolor{#080}{\beta}[/tex] é congruente ao ângulo externo [tex]A\hat{C}D[/tex].

    Dessa forma, segue que, de fato, [tex]\boxed{\textcolor{#FF33FF}{\varphi}=\textcolor{#0099FF}{\alpha}+\textcolor{#080}{\beta}}[/tex].
    A justificativa que fizemos, pode ser repetida para os dois outros ângulos internos do triângulo [tex]ABC[/tex].
    Que tal você tentar?

  • Justificativa 2: Para esta justificativa, vamos utilizar uma propriedade importante da geometria:
    A soma das medidas dos ângulos internos de um dado triângulo é [tex]180^\circ[/tex].
    Assim, observando os ângulos internos do triângulo [tex]ABC[/tex], concluímos que
    [tex]\qquad \qquad \textcolor{#0099FF}{\alpha}+\textcolor{#080}{\beta}+\textcolor{#996600}{\theta}=180^\circ[/tex].[tex]\qquad \qquad \textcolor{red}{(i)}[/tex]


    Por outro lado, o Problema 1 nos garante que:
    [tex]\qquad \qquad \textcolor{#996600}{\theta}+\textcolor{#FF33FF}{\varphi}=180^\circ[/tex];[tex]\qquad \qquad \textcolor{red}{(ii)}[/tex]


    Assim, por [tex]\textcolor{red}{(i)}[/tex] e [tex]\textcolor{red}{(ii)}[/tex], segue que:
    [tex]\qquad \qquad \textcolor{#0099FF}{\alpha}+\textcolor{#080}{\beta}+\textcolor{#996600}{\theta}=\textcolor{#996600}{\theta}+\textcolor{#FF33FF}{\varphi}\\
    \qquad \qquad \textcolor{#0099FF}{\alpha}+\textcolor{#080}{\beta}+\cancel{\textcolor{#996600}{\theta}}=\cancel{\textcolor{#996600}{\theta}}+\textcolor{#FF33FF}{\varphi}\\
    \qquad \qquad \boxed{\textcolor{#0099FF}{\alpha}+\textcolor{#080}{\beta}=\textcolor{#FF33FF}{\varphi}}\\
    ~~~~[/tex]
    Observação: Se você não se lembra do resultado que utilizamos de que “A soma das medidas dos ângulos internos de um dado triângulo é [tex]180^\circ[/tex]”, dê uma passadinha nesta Sala.









Mais problemas



Problema 3: O triângulo ABC é isósceles de vértice A, assim os pontos A, B e os pontos A,C determinam lados com o mesmo comprimento.
Toma-se o ponto E sobre o lado [tex]\overline{AB}[/tex] e os pontos D e F sobre o lado [tex]\overline{AC}[/tex] de forma que os segmentos [tex]\overline{BC},\, \overline{BD},\, \overline{DE},\, \overline{EF},\, \overline{FA}\, [/tex] tenham o mesmo comprimento.
Determine, em graus, a medida α do ângulo relativo ao vértice A.

F7

Problema 4: O triângulo ABC é isósceles de vértice A, assim os pontos A, B e os pontos A,C determinam lados com o mesmo comprimento.
Toma-se o ponto E sobre o lado [tex]\overline{AB}[/tex] e o ponto F sobre o lado [tex]\overline{AC}[/tex] de forma que os ângulos [tex]C\hat{B}F, \, B\hat{C}E\, [/tex] tenham medidas 60° e 50°, conforme indicado na figura.
Sabendo-se que a medida do ângulo relativo ao vértice A é 20°, determine, em graus, a medida α indicada na figura.

F8

Problema 5: Determine, em graus, a medida α indicada na figura abaixo.

F9

Alguma dificuldade com os problemas 3 e 4?
Tente um pouco mais e depois assista aos vídeos disponibilizados na próxima Sala .



Equipe COM – OBMEP

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