.Problema para ajudar na escola: O raio da circunferência inscrita

Problema
(A partir da 1ª série do E. M. – Nível de dificuldade: Difícil)

• os lados $AB\,$ e $\,AC\,$ têm o mesmo comprimento;
• o lado $BC$ mede $4n\,$ centímetros;
• a altura relativa ao lado $BC$ mede $\left(n^2-1\right)$ centímetros.

Determinar todos os valores de $n$ para os quais a medida em centímetros do raio da circunferência inscrita no triângulo $ABC$ seja um número inteiro.

Solução 1

Vamos fazer duas figuras com os dados do problema, para facilitar a nossa solução.

• Na figura da esquerda, já vamos inserir algumas conclusões que obtemos utilizando os dois primeiros Lembretes:
  como o ponto $O$ é o centro da circunferência inscrita no triângulo $ABC$, a semirreta $AO$ é uma bissetriz e, portanto, o segmento $\overline{AD}$ é também a mediana e a altura desse triângulo relativa à base $\overline{BC}.$ Dessa forma, o comprimento em centímetros dos segmentos $\overline{BD}$ e $\overline{DC}$ é $2n.$
  Vamos considerar que $E$ e $F$ são pontos de tangência da circunferência inscrita e que $r$ é o comprimento do raio dessa circunferência.
• Note que, como os triângulos $ABD$ e $ACD$ são retângulos, o Teorema de Pitágoras nos permite obter os comprimentos dos lados $\overline{AB}$ e $\overline{AC}$:

$\qquad AB^2=(2n)^2+\left(n^2-1\right)^2$
$\qquad AB^2=4n^2+n^4-2n^2+1$
$\qquad AB^2=4n^2+n^4-2n^2+1$
$\qquad AB^2=n^4+2n^2+1$
$\qquad AB^2=\left(n^2+1\right)^2$
$\qquad \boxed{AB=n^2+1}$.

• Observe agora que, utilizando o caso de congruência citado nos Lembretes, podemos concluir que os triângulos $OEB$ e $ODB$ são congruentes.

Assim, $EB=DB=2n$ e, portanto, segue que:
$\qquad AE=AB-EB$
$\qquad AE=\left(n^2+1\right)-2n$
$\qquad AE=n^2-2n+1$
$\qquad \boxed{AE=\left(n-1\right)^2}.$

• Aplicando uma vez mais o Teorema de Pitágoras, agora ao triângulo retângulo $AEO$, temos que:

$\qquad AO^2=EO^2+AE^2$
$\qquad AO^2=r^2+\left(\left(n-1\right)^2\right)^2$
$\qquad AO=\sqrt{r^2+\left(n^2-1\right)^4}.$

• Como $AD=AO+OD$, segue que:

$\qquad n^2-1=\sqrt{r^2+\left(n-1\right)^4}+r$
$\qquad \sqrt{r^2+\left(n-1\right)^4}=n^2-1-r$
$\qquad \left(\sqrt{r^2+\left(n-1\right)^4}\right)^2=\left(n^2-1-r\right)^2$
$\qquad r^2+\left(n-1\right)^4=\left(n^2-1-r\right)^2$
$\qquad r^2+n^4-4n^3+6n^2-4n+1=n^4-2n^2-2rn^2+2r+1+r^2$
$\qquad \cancel{r^2}+\bcancel{n^4}-4n^3+6n^2-4n+\xcancel{1}=\bcancel{n^4}-2n^2-2rn^2+2r+\xcancel{1}+\cancel{r^2}$
$\qquad -4n^3+6n^2-4n=-2n^2-2rn^2+2r$
$\qquad -4n^3+8n^2-4n=-2rn^2+2r$
$\qquad rn^2-r=2n^3-4n^2+2n$
$\qquad r\left(n^2-1\right)=2n\left(n^2-2n+1\right)$
$\qquad r\left(n+1\right)\left(n-1\right)=2n\left(n-1\right)^2$
$\qquad r\left(n+1\right)\bcancel{\left(n-1\right)}=2n\left(n-1\right)\bcancel{\left(n-1\right)}$
$\qquad r\left(n+1\right)=2n\left(n-1\right)$
$\qquad r=2n\cdot\dfrac{n-1}{n+1}.\qquad \qquad \textcolor{#800000}{(i)}$

Queremos que o comprimento $r$ do raio da circunferência seja um número natural; assim, vamos tentar reescrever $\textcolor{#800000}{(i)}$ explicitando números inteiros do lado direito da igualdade:
$\qquad r=2n\cdot\dfrac{n-1}{n+1}\\ \qquad r=2n\cdot\dfrac{n+1-2}{n+1}=2n\cdot\left(\dfrac{n+1}{n+1}-\dfrac{2}{n+1}\right)\\ \qquad r=2n\cdot\left(1-\dfrac{2}{n+1}\right)=2n-\dfrac{4n}{n+1}\\ \qquad r=2n-\dfrac{4n+4-4}{n+1}\\ \qquad r=2n-\dfrac{4n+4}{n+1}+\dfrac{4}{n+1}=2n-\dfrac{4\cdot (n+1)}{n+1}+\dfrac{4}{n+1}\\ \qquad r=2n-4+\dfrac{4}{n+1}.$
Perceba que $2n-4$ é um número inteiro; assim, para que $r$ seja de fato um inteiro positivo, necessariamente $\dfrac{4}{n+1}$ deve ser um número natural.
Dessa forma, a princípio, temos apenas três opções: $n+1=1$, $n+1=2$ e $n+1=4$; e, com isso, teríamos $n=0$, $n=1$ e $n=3$. Mas, pelos dados do problema, $n$ é um número inteiro maior do que $1$; portanto, $\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$n=3$}$.

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

Solução 2

Se utilizarmos a fórmula que nos garante que a área de um triângulo pode ser obtida multiplicando-se o semiperímetro desse triângulo pelo raio da circunferência nele inscrita, poderíamos obter a expressão $\textcolor{#800000}{(i)}$ da solução anterior de uma outra forma. (Se você não se lembra desse resultado, dê uma olhada na propriedade (5) desta página.)
Vamos então fazer uma segunda solução para este problema e nela vamos também utilizar as duas figuras iniciais da Solução 1.

Observando a figura da direita, vemos um triângulo cujos lados medem $n^2+1, 4n, n^2+1$ e a altura mede $n^2-1$. A área $S$ desse triângulo pode ser obtida por:
$\qquad \qquad S=\dfrac{\text{base} \times \text{altura}}{2}=\dfrac{4n \times (n^2-1)}{2}$
$\,\\ \qquad \qquad S=\text{semiperímetro} \times r=\dfrac{n^2+1+4n+n^2+1}{2} \times r.$
Assim, segue que:

$\qquad \qquad \dfrac{4n \times (n^2-1)}{2}=\dfrac{n^2+1+4n+n^2+1}{2} \times r$
$\qquad \qquad 4n \times (n^2-1)=\left(n^2+1+4n+n^2+1\right) \times r$
$\qquad \qquad 4n \times (n^2-1)=\left(2n^2+2+4n\right) \times r$
$\qquad \qquad 2n \times (n^2-1)=\left(n^2+1+2n\right) \times r$
$\qquad \qquad 2n \times (n+1)\times (n-1)=\left(n+1\right)^2 \times r$
$\qquad \qquad 2n \times (n-1)=\left(n+1\right) \times r$
$\qquad \qquad r=2n\times\dfrac{n-1}{n+1}.\qquad \qquad \textcolor{#800000}{(i)}$

Daqui para frente, a finalização é idêntica à da solução anterior.

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.