Sala para leitura_030: Circunferências ex-inscritas

Circunferências ex-inscritas


Epa, o nome desta Sala não foi escrito erradamente?
Não deveria ser “Circunferências inscritas” ou “Circunferências circunscritas”?

Probleminha2

Não, o nome é esse mesmo! Leia o texto abaixo.
Vamos tentar esclarecer de forma clara e objetiva essa sua dúvida.




Existem três tipos de circunferências notáveis associadas a um dado triângulo [tex]ABC[/tex]. Duas são mais conhecidas:

  • A circunferência circunscrita ao triângulo [tex]ABC[/tex] é aquela que passa pelos seus três vértices. O centro dessa circunferência é denominado circuncentro e esse ponto é a interseção das mediatrizes dos lados do triângulo.
  • A circunferência inscrita ao triângulo [tex]ABC[/tex] é aquela que está contida no interior desse triângulo e que é tangente aos seus três lados. O centro dessa circunferência é denominado incentro e esse ponto é a interseção das bissetrizes internas do triângulo.

Aqui nesta Sala, vamos falar um pouco sobre o terceiro tipo de circunferência associada a um triângulo: circunferências ex-inscritas.




As ex-inscritas

Definição: Uma circunferência é dita ex-inscrita a um triângulo se ela for tangente a um dos lados do triângulo e aos prolongamentos dos outros dois. O centro de uma circunferência ex-inscrita é denominado de ex-incentro.
Assim, dado um triângulo [tex]ABC[/tex], existem três circunferências ex-inscritas a ele:

  • uma tangente ao lado [tex]BC[/tex] e aos prolongamentos dos lados [tex]AB[/tex] e [tex]AC~[/tex];
  • uma tangente ao lado [tex]AB[/tex] e aos prolongamentos dos lados [tex]CB[/tex] e [tex]CA~[/tex];
  • uma tangente ao lado [tex]CA[/tex] e aos prolongamentos dos lados [tex]BA[/tex] e [tex]BC~[/tex].


É usual denotar cada um dos três ex-incentros de um triângulo utilizando a notação do respectivo vértice oposto ao lado ao qual a circunferência é tangente como índice e associar as circunferências ex-inscritas a esses vértices.

É comum também associar as três circunferências ex-inscritas aos respectivos lados do triângulo aos quais elas são tangentes. Assim, com relação às circunferências da figura acima:

  • "a circunferência ex-inscrita relativa ao vértice [tex]C[/tex]" é também denominada "circunferência ex-inscrita ao lado [tex]AB[/tex]";
  • "a circunferência ex-inscrita relativa ao vértice [tex]A[/tex]" é também denominada "circunferência ex-inscrita ao lado [tex]BC[/tex]";
  • "a circunferência ex-inscrita relativa ao vértice [tex]B[/tex]" é também denominada "circunferência ex-inscrita ao lado [tex]CA[/tex]".






Três propriedades importantes:

(1) Uma propriedade importante e que ajuda a traçar as circunferências ex-inscritas a um dado triângulo garante que:

  • Dado um triângulo [tex]ABC[/tex], o centro da circunferência ex-inscrita tangente ao lado [tex]BC[/tex] e aos prolongamentos dos lados [tex]AB[/tex] e [tex]AC~[/tex] é o ponto [tex]I_A[/tex] resultante da interseção da bissetriz interna relativa ao vértice [tex]A[/tex] e das bissetrizes externas relativas aos vértices [tex]B~[/tex] e [tex]~C.[/tex]

Para as outras duas circunferências ex-inscritas ao triângulo [tex]ABC[/tex], os respectivos ex-incentros são definidos de forma análoga.

(2) A próxima propriedade não é uma característica exclusiva das circunferências ex-inscritas a um triângulo, mas ajuda a traçá-las:

  • Os raios definidos pelo centro de uma circunferência ex-inscrita e seus três pontos de tangência formam ângulos retos com os respectivos lados intersectados do triângulo (ou com os seus prolongamentos).

(3) Seja [tex]ABC[/tex] um triângulo cujos lados [tex]AB~[/tex], [tex]BC~[/tex] e [tex]~CA[/tex] têm comprimentos [tex]c~,~a~, b~[/tex], respectivamente.
Se [tex]T_1~ , ~T_2~,~T_3~[/tex] são os pontos de tangência da circunferência inscrita ao triângulo [tex]ABC~[/tex]; [tex]T_4~ , ~T_5~,~T_6~[/tex] são os pontos de tangência da circunferência ex-inscrita relativa ao vértice [tex]A[/tex] do triângulo [tex]ABC~[/tex] e [tex]p=\dfrac{a+b+c}{2}[/tex] é o semiperímetro do triângulo [tex]ABC[/tex], então:

  • Os comprimentos dos segmentos [tex]\textcolor{#009900}{AT_1}~[/tex] e [tex]~\textcolor{#009900}{AT_3}[/tex] são iguais a [tex]\textcolor{#009900}{p-a}.[/tex]
  • Os comprimentos dos segmentos [tex]\textcolor{#0000FF}{BT_1}~[/tex], [tex]~\textcolor{#0000FF}{BT_2}~[/tex] e [tex]~\textcolor{#0000FF}{CT_6}[/tex] são iguais a [tex]\textcolor{#0000FF}{p-b}.[/tex]
  • Os comprimentos dos segmentos [tex]\textcolor{#FF3366}{CT_2}~[/tex], [tex]~\textcolor{#FF3366}{CT_3}~[/tex] e [tex]~\textcolor{#FF3366}{BT_5}[/tex] são iguais a [tex]\textcolor{#FF3366}{p-c}.[/tex]







Usando as propriedades (1) e (2), podemos particularmente traçar as circunferências ex-inscritas a um dado triângulo. Então, utilizem um applet para obter a circunferência ex-inscrita tangente ao lado [tex]BC[/tex] de um dado triângulo [tex]ABC.[/tex] É só clicar no botão abaixo e seguir as instruções.

Bom proveito, pessoal!




As ex-inscritas e as inscritas

Três propriedades importantes relativas a inscritas e ex-inscritas:

Consideremos o triângulo [tex]ABC[/tex] cujos lados [tex]AB~[/tex], [tex]BC~[/tex] e [tex]~CA[/tex] têm comprimentos [tex]c~,~a~, b~[/tex], respectivamente.

Vamos supor que [tex]r[/tex] é o raio da circunferência inscrita em [tex]ABC[/tex], [tex]r_a[/tex] é o raio da circunferência ex-inscrita ao lado [tex]BC[/tex] e [tex]p=\dfrac{a+b+c}{2}[/tex] é o semi perímetro de [tex]ABC[/tex].
A próxima figura ilustra propriedades gerais relativas a circunferências inscritas e ex-inscritas.

(4) O vértice [tex]A[/tex], o incentro [tex]I[/tex] e o ex-incentro [tex]I_A[/tex] são colineares.

    Esta propriedade é uma decorrência direta da definição do ex-incentro [tex]I_A[/tex], já que este é um ponto da bissetriz interna do vértice [tex]A.[/tex]

(5) A área [tex]S[/tex] do triângulo [tex]ABC[/tex] é dada pelo produto [tex]\boxed{p\cdot r}~.[/tex]

    Se [tex]\textcolor{blue}{[AIB]}[/tex], [tex]\textcolor{blue}{[BIC]}[/tex] e [tex]\textcolor{blue}{[CIA]}[/tex] indicam as áreas dos respectivos triângulos indicados em cada notação, observe que:
    [tex]\qquad S=\textcolor{blue}{[AIB]}+\textcolor{blue}{[BIC]}+\textcolor{blue}{[CIA]}\\
    \qquad S=\dfrac{c\cdot r}{2}+\dfrac{a\cdot r}{2}+\dfrac{b\cdot r}{2}\\
    \qquad S=\dfrac{c+b+a}{2} \cdot r\\
    \qquad \boxed{S=p \cdot r}~.[/tex]

(6) A área [tex]S[/tex] do triângulo [tex]ABC[/tex] é dada pelo produto [tex]\boxed{(p-a)\cdot r_a}~.[/tex]

    Se [tex]\textcolor{#FF00FF}{[AI_AB]}[/tex], [tex]\textcolor{#FF00FF}{[AI_AC]}[/tex] e [tex]\textcolor{#FF00FF}{[BI_AC]}[/tex] indicam as áreas dos respectivos triângulos indicados em cada notação, observe que:
    [tex]\qquad S=\textcolor{#FF00FF}{[AI_AB]}+\textcolor{#FF00FF}{[AI_AC]}-\textcolor{#FF00FF}{[BI_AC]}\\
    \qquad S=\dfrac{c\cdot r_a}{2}+\dfrac{b\cdot r_a}{2}-\dfrac{a\cdot r_a}{2}\\
    \qquad S=\dfrac{c+b-a}{2} \cdot r_a\\
    \qquad S=\dfrac{c+b-a+a-a}{2} \cdot r_a\\
    \qquad S=\left(\dfrac{c+b+a}{2} -\dfrac{2a}{2}\right)\cdot r_a\\
    \qquad\boxed{ S=(p-a) \cdot r_a}~.[/tex]

    De maneira análoga, obtemos as duas próximas propriedades.

(7) A área do triângulo [tex]ABC[/tex] é dada pelo produto [tex]\boxed{(p-b)\cdot r_b}~.[/tex]

(8) A área do triângulo [tex]ABC[/tex] é dada pelo produto [tex]\boxed{(p-c)\cdot r_c}~.[/tex]

(9) Relação entre os centros das circunferências inscrita e ex-inscritas:[tex]\boxed{\dfrac{1}{r_a}+\dfrac{1}{r_b}+\dfrac{1}{r_c}=\dfrac{1}{r}}~.[/tex]
Pelas propriedade (5) , (6) , (7) e (8) temos que:
[tex]\qquad S=p \cdot r=(p-a) \cdot r_a =(p-b) \cdot r_b =(p-c) \cdot r_c [/tex]
assim, segue que:
[tex]\qquad \begin{align*}\boxed{\dfrac{1}{r_a}+\dfrac{1}{r_b}+\dfrac{1}{r_c}}&=\dfrac{p-a}{S}+\dfrac{p-b}{S}+\dfrac{p-c}{S}\\
&=\dfrac{1}{S} \left(p-a+p-b+p-c\right)\\
&=\dfrac{1}{S} \left(3p-(a+b+c)\right)\\
&=\dfrac{1}{S} \left(3p-2p\right)\\
&=\dfrac{p}{S}\\
&=\boxed{\dfrac{1}{r}}\\
\end{align*}[/tex]

Existem outras propriedades interessantes sobre triângulos e suas circunferências.
Que tal pesquisar sobre o assunto?



Equipe COM – OBMEP

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