.Problema para ajudar na escola: Uma diferença desafiadora!

Problema
(A partir da 2ª série do E. M. – Nível de dificuldade: Muito Difícil)

(LV Olimpiada Matemática Española, 2019 – Adaptado) Para cada número natural [tex]n= abcd[/tex] de quatro dígitos, denotaremos por [tex]D[/tex] o valor absoluto da diferença [tex]abcd – dcba[/tex], ou seja, [tex]D = |abcd–dcba|.[/tex]
Por exemplo:

• se [tex]n=2632[/tex], o número [tex]D[/tex] correspondente seria [tex]D=|2632-2362|=270[/tex];
• se [tex]n=1784[/tex], o número [tex]D[/tex] correspondente seria [tex]D=|1784-4871|=3087[/tex];
• se [tex]n=5336[/tex], o número [tex]D[/tex] correspondente seria [tex]D=|5336-6335|=999.[/tex]

Observe nesses exemplos que [tex]270[/tex] e [tex]3087[/tex] não são múltiplos de [tex]37[/tex], mas [tex]999[/tex] o é:
[tex]\qquad \qquad 37 \times 27=999[/tex].
(a) Se para um número natural [tex] n= abcd [/tex] temos que [tex]D = |abcd – dcba|[/tex] é um múltiplo [tex]37[/tex], o que podemos afirmar sobre os algarismos [tex]a,\, b,\, c\, [/tex] e [tex]\, d[/tex]?
(b) Verifique que a condição que você determinou é também suficiente para que, com as hipóteses do problema, [tex] D[/tex] seja múltiplo de [tex] 37[/tex].

(Aqui, as notações [tex]abcd[/tex] e [tex]dcba[/tex] não indicam produtos e sim representações de números de quatro algarismos no sistema decimal.)

Solução

(a) Seja [tex]n= abcd[/tex] um número natural com quatro dígitos tal que [tex]D = |abcd – dcba|[/tex] seja um múltiplo [tex]37[/tex].

• O problema solicita que determinemos condições sobre os dígitos do número [tex]n[/tex]. Para isso, vamos considerar inicialmente que [tex]a \geqslant d [/tex]; neste caso, [tex]abcd – dcba \geqslant 0[/tex] e, portanto, [tex]D = abcd – dcba.[/tex]

Observe que podemos escrever
[tex]\quad abcd=1000\cdot a+100\cdot b+10\cdot c+d[/tex]
e
[tex]\quad dcba=1000\cdot d+100\cdot c+10\cdot b+a[/tex],
como podemos ver nos esquemas mostrados a seguir.
[tex]\quad \qquad \begin{array}{r l }
a000& \\
\,\, b00& +\\
\,\,\,\,c0& \\
d& \\
\hline
abcd
\end{array}\qquad \qquad [/tex][tex]\begin{array}{r l}
d000&\\
c00&+\\
b0&\\
a&\\
\hline
dcba &
\end{array}\qquad [/tex].
Com isso:
[tex]\qquad D=abcd–dcba[/tex]
[tex]\qquad D=\left(1000\cdot a+100\cdot b+10\cdot c+d\right)-\left(1000\cdot d+100\cdot c+10\cdot b+a\right)[/tex]
[tex]\qquad D=\left(1000\cdot a+100\cdot b+10\cdot c+d\right)-\left(1000\cdot d+100\cdot c+10\cdot b+a\right)[/tex]
[tex]\qquad D=1000\cdot a+100\cdot b+10\cdot c+d-1000\cdot d-100\cdot c-10\cdot b-a[/tex]
[tex]\qquad D=999\cdot a+90\cdot b-90\cdot c-999\cdot d[/tex]
[tex]\qquad D=999\cdot (a-d)+90\cdot (b-c)[/tex]
[tex]\qquad D=3^3 \cdot 37\cdot (a-d)+2\cdot 3^2 \cdot 5\cdot (b-c). \qquad \qquad \textcolor{#800000}{(i)}[/tex]
Como [tex]D[/tex] é um múltiplo [tex]37[/tex], então existe um número natural [tex]k[/tex] tal que [tex]D=37\cdot k[/tex]. Logo, segue de [tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex], que
[tex]\qquad 37\cdot k=3^3 \cdot 37\cdot (a-d)+2\cdot 3^2 \cdot 5\cdot (b-c)[/tex]
[tex]\qquad 2\cdot 3^2 \cdot 5\cdot (b-c)= 37\cdot k-3^3 \cdot 37\cdot (a-d)[/tex]
[tex]\qquad 2\cdot 3^2 \cdot 5\cdot (b-c)= 37\cdot \left( k-3^3\cdot (a-d)\right). \qquad \qquad \textcolor{#800000}{(ii)}[/tex]
Da igualdade [tex]\textcolor{#800000}{(ii)}[/tex] podemos concluir que o produto [tex]\boxed{2\cdot 3^2 \cdot 5\cdot (b-c)}[/tex] é um múltiplo de [tex]37.[/tex]
Mas [tex]37[/tex] é um número primo; logo, para que o produto [tex]\boxed{2\cdot 3^2 \cdot 5\cdot (b-c)}[/tex] seja múltiplo de [tex]37[/tex], ou "o [tex]37[/tex] deve aparecer explicitamente como fator desse produto" ou "esse produto é [tex]0[/tex]".
– No entanto, como [tex]b[/tex] e [tex]c[/tex] são algarismos, a diferença [tex]b-c[/tex] é tal que [tex]-9 \leqslant b-c \leqslant 9[/tex] e, com isso, não temos um fator [tex]37[/tex] no produto [tex]\boxed{2\cdot 3^2 \cdot 5\cdot (b-c)}[/tex].

– Consequentemente [tex]2\cdot 3^2 \cdot 5\cdot (b-c)=0[/tex], donde concluímos que [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$b=c$} .[/tex]

• Para fecharmos a solução deste item, precisamos considerar o caso em que [tex]a \lt d [/tex]. Aqui, [tex]abcd – dcba \lt 0[/tex] e, portanto, [tex]D = dcba-abcd.[/tex]

A demonstração neste caso segue exatamente os mesmos passos da demonstração anterior, bastando apenas substituir [tex]D = abcd-dcba[/tex] por [tex]D = dcba-abcd[/tex] nos cálculos efetuados.

Finalizando, pelo exposto, concluímos que:

• Se [tex] n= abcd [/tex] é um número natural com quatro dígitos tal que [tex]D = |abcd – dcba|[/tex] seja um múltiplo [tex]37[/tex], então necessariamente [tex]b=c[/tex], ou seja, os dígitos centrais de [tex]n[/tex] (algarismos das centena e dezena) são iguais.

(b) Ao provarmos no item anterior que a igualdade dos dígitos centrais de [tex]n[/tex] é uma consequência de a diferença [tex]D[/tex] ser múltipla de [tex]37[/tex], estamos logicamente afirmando que, nas condições do problema, a afirmação [tex]b=c[/tex] é uma condição necessária para que [tex]D[/tex] seja um múltiplo de [tex]37.[/tex]
O que vamos fazer neste item é provar que [tex]b=c[/tex] é uma condição suficiente para que [tex]D[/tex] seja um múltiplo de [tex]37[/tex], ou seja, basta que
a igualdade dos dígitos centrais de [tex]n[/tex] aconteça para que [tex]D[/tex] seja um múltiplo de [tex]37.[/tex]
Vamos lá!
Seja [tex]n=abcd [/tex] um número natural com quatro dígitos tal que [tex]b=c.[/tex]
Dessa forma, se [tex]D=|abcd–dcba|[/tex], então segue que:
[tex]\qquad D=|abbd–dbba|[/tex]
[tex]\qquad D=\left| \left(1000\cdot a+100\cdot b+10\cdot b+d\right)-\left(1000\cdot d+100\cdot b+10\cdot b+a\right)\right|[/tex]
[tex]\qquad D=\left|\left(1000\cdot a+110\cdot b+d\right)-\left(1000\cdot d+110\cdot b+a\right)\right|[/tex]
[tex]\qquad D=\left|1000\cdot a+110\cdot b+d-1000\cdot d-110\cdot b-a\right|[/tex]
[tex]\qquad D=\left|999\cdot a-999\cdot d\right|[/tex]
[tex]\qquad D=999\cdot \left|a-d\right| [/tex]
[tex]\qquad D=3^3 \cdot 37\cdot \left|a-d\right|. \qquad \qquad \textcolor{#800000}{(iii)}[/tex]
Como [tex] \left|a-d\right|[/tex] é um número natural, podemos concluir de [tex]\textcolor{#800000}{(iii)}[/tex] que [tex]D[/tex] é um múltiplo de [tex]37.[/tex]
Portanto,

• Se [tex]n= abcd[/tex] é um número natural com quatro dígitos tal que [tex]b=c[/tex], então [tex]D = |abcd – dcba|[/tex] é um múltiplo [tex]37.[/tex]

• Se [tex]n= abcd[/tex] é um número natural com quatro dígitos tal que [tex]D = |abcd – dcba|[/tex] seja um múltiplo [tex]37[/tex], então [tex]b=c[/tex].
• Se [tex]n= abcd[/tex] é um número natural com quatro dígitos tal que [tex]b=c[/tex], então [tex]D = |abcd – dcba|[/tex] é um múltiplo [tex]37.[/tex]

De outra forma, sendo [tex]n= abcd[/tex] um número natural com quatro dígitos e [tex]D = |abcd – dcba|[/tex], provamos que:

• Se [tex]D[/tex] é um múltiplo [tex]37[/tex], então [tex]b=c[/tex].
• Se [tex]b=c[/tex], então [tex]D[/tex] é um múltiplo [tex]37.[/tex]

Podemos juntar essas duas condições em uma única frase escrevendo que acabamos de provar a seguinte afirmação:

• Sejam [tex]n= abcd[/tex] um número natural com quatro dígitos e [tex]D = |abcd – dcba|[/tex]. Então, [tex]D[/tex] é um múltiplo [tex]37[/tex] se, e somente se, [tex]b=c[/tex].

Para saber um pouco mais sobre o significado lógico das expressões "condição necessária" e "condição suficiente", visite esta Sala para Leitura do nosso Blog.

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