.Sala para leitura_026: Linguagem matemática: Implicações e equivalências

Linguagem matemática

Implicações e equivalências


Em uma teoria matemática, a partir de conceitos já conhecidos, outros conceitos vão sendo definidos e, portanto, palavras e expressões novas vão, continuamente, surgindo. Mas, independente do assunto, existem algumas expressões e palavras que são utilizadas com frequência e com significados próprios e bem definidos em textos matemáticos; neste tópico, vamos discutir um pouco sobre os significados de algumas delas.
Observamos que o interesse, aqui, não é estudar lógica matemática; queremos, apenas, que vocês se sintam mais seguros e confortáveis quando da leitura e compreensão das definições e proposições que aparecem nas nossas Salas.




Nesta nossa breve discussão, [tex]P[/tex] e [tex]Q[/tex] representarão propriedades que se referem a elementos genéricos de um dado conjunto não vazio [tex]U[/tex]. Assim, por exemplo, podemos ter:

[tex]U[/tex]: conjunto dos triângulos de um plano;
[tex]P[/tex]: [tex]T[/tex] é equilátero;
[tex]Q[/tex]: [tex]T[/tex] é isósceles.

[tex]U[/tex]: conjunto dos números naturais;
[tex]P[/tex]: [tex]a[/tex] é par;
[tex]Q[/tex]: [tex]a[/tex] é múltiplo de [tex]5[/tex].

[tex]U[/tex]: conjunto das retas de um plano;
[tex]P[/tex]: [tex]r[/tex] e [tex]s[/tex] são paralelas;
[tex]Q[/tex]: [tex]r[/tex] e [tex]s[/tex] são perpendiculares.

Implicações


Se [tex]P[/tex] e [tex]Q[/tex] são propriedades que se referem a elementos de um dado conjunto não vazio [tex]U[/tex], então as cinco expressões:

  • se [tex]P[/tex], então [tex]Q[/tex]
  • [tex]P[/tex] implica [tex]Q[/tex]
  • [tex]P[/tex] acarreta [tex]Q[/tex]
  • [tex]P[/tex] é condição suficiente para [tex]Q[/tex]
  • [tex]Q[/tex] é condição necessária para [tex]P[/tex]

têm todas o mesmo significado. Elas querem dizer, simplesmente, que:

  • todo elemento do conjunto [tex]U[/tex] que tem a propriedade [tex]P[/tex] também tem a propriedade [tex]Q[/tex].

Para exprimir esse fato, é comum utilizarmos a seguinte notação:[tex]~~P \Rightarrow Q[/tex]. Dessa forma, se considerarmos os conjuntos:
[tex]~~~~~~~~ A=\{~a \in U[/tex], tal que [tex]a[/tex] tem a propriedade [tex]P~\}[/tex]

[tex]~~~~~~~~ B=\{~b \in U[/tex], tal que [tex]b[/tex] tem a propriedade [tex]Q~\}[/tex]
então escrevemos [tex]~~P \Rightarrow Q~~[/tex] para significar que [tex]~~A \subset B[/tex].

Nessas condições, é comum, também, utilizarmos a notação [tex]~~P \nRightarrow Q[/tex] para indicar a negação de [tex]~~P \Rightarrow Q[/tex]. Logo, a notação [tex]~~P \nRightarrow Q[/tex] indica que

  • nem todo elemento do conjunto [tex]U[/tex] que tem a propriedade [tex]P[/tex] também tem a propriedade [tex]Q[/tex]

ou, de outra forma, indica que

  • é possível encontrar, pelo menos, um elemento do conjunto [tex]U[/tex] que tenha a propriedade [tex]P[/tex] e que não tenha a propriedade [tex]Q[/tex].

Resumindo:

Se [tex]P[/tex] e [tex]Q[/tex] são propriedades que se referem a elementos de um dado conjunto não vazio [tex]U[/tex], usamos as notações [tex]~~P \Rightarrow Q~[/tex] e [tex]~~P \nRightarrow Q[/tex] para indicar que:

  • [tex]~~P \Rightarrow Q~[/tex]: todo elemento do conjunto [tex]U[/tex] que tem a propriedade [tex]P[/tex] também tem a propriedade [tex]Q[/tex].
  • [tex]~~P \nRightarrow Q~[/tex]: é possível encontrar, pelo menos, um elemento do conjunto [tex]U[/tex] que tenha a propriedade [tex]P[/tex] e que não tenha a propriedade [tex]Q[/tex].






Equivalências


Se, novamente, [tex]P[/tex] e [tex]Q[/tex] forem propriedades que se referem a elementos de um dado conjunto não vazio [tex]U[/tex], também as expressões:

  • [tex]P[/tex] é condição necessária e suficiente para [tex]Q[/tex]
  • [tex]P[/tex] se, e somente se, [tex]Q[/tex]
  • [tex]P[/tex] e [tex]Q[/tex] são equivalentes

têm todas o mesmo significado. Elas querem dizer que "[tex]P \Rightarrow Q[/tex]" e "[tex]Q \Rightarrow P[/tex]", ou seja, que, simultaneamente,

  • “todo elemento do conjunto [tex]U[/tex] que tem a propriedade [tex]P[/tex] também tem a propriedade [tex]Q[/tex]” e “todo elemento do conjunto [tex]U[/tex] que tem a propriedade [tex]Q[/tex] também tem a propriedade [tex]P[/tex]”,

fato que denotamos como:[tex]~~P \Leftrightarrow Q[/tex]. Portanto, se considerarmos, uma vez mais, os conjuntos
[tex]~~~~~~~~ A=\{~a \in U[/tex], tal que [tex]a[/tex] tem a propriedade [tex]P~\}[/tex]

[tex]~~~~~~~~ B=\{~b \in U[/tex], tal que [tex]b[/tex] tem a propriedade [tex]Q~\}[/tex]
então escrever [tex]~~P \Leftrightarrow Q~~[/tex] significa que [tex]~~A = B~~[/tex].

Também é comum utilizarmos uma notação para indicar a negação de [tex]~~P \Leftrightarrow Q[/tex]. Assim, a notação [tex]~~P \nLeftrightarrow Q[/tex] indica que [tex]P[/tex] e [tex]Q[/tex] não são equivalentes, ou seja, que, pelo menos, uma das seguintes situações ocorre: [tex]~~P \nRightarrow Q[/tex]; [tex]~~Q \nRightarrow P[/tex].

Resumindo:

Se [tex]P[/tex] e [tex]Q[/tex] são propriedades que se referem a elementos de um dado conjunto não vazio [tex]U[/tex], usamos as notações [tex]~~P \Leftrightarrow Q~[/tex] e [tex]~~P \nLeftrightarrow Q[/tex] para indicar que:

  • [tex]~~P \Leftrightarrow Q~[/tex]: [tex]~~P \Rightarrow Q~[/tex] e [tex]~~Q \Rightarrow P~[/tex];
  • [tex]~~P \nLeftrightarrow Q~[/tex]: [tex]~~P \nRightarrow Q~[/tex] ou [tex]~~Q \nRightarrow P~[/tex].







Algumas observações


[tex]\textcolor{#4178a1}{(i)}[/tex] Observe atentamente a utilização dos símbolos [tex]\boxed{\subset ~~~\not \subset ~~ ~=~~~\Leftrightarrow~~~\nLeftrightarrow~~~\Rightarrow~~~\nRightarrow}~[/tex]:

    • Utilizamos [tex]\boxed{\subset ~~~\not \subset ~~ ~=}~[/tex] entre conjuntos.
    • Utilizamos [tex]\boxed{\Leftrightarrow~~~\nLeftrightarrow~~~\Rightarrow~~~\nRightarrow}~[/tex] entre propriedades.

[tex]\textcolor{#4178a1}{(ii)}[/tex] O símbolo [tex]\Rightarrow[/tex] não significa “então”.
Assim, não escreva coisas do tipo

  • Se [tex]x[/tex] e [tex]y[/tex] são inteiros ímpares [tex]\Rightarrow x+y[/tex] é um número ímpar.
  • Se [tex]6 | a[/tex] [tex]\Rightarrow 3 | a~[/tex].

O correto seria:

  • "[tex]x[/tex] e [tex]y[/tex] são inteiros ímpares" [tex]\Rightarrow[/tex] "[tex]x+y[/tex] é um número ímpar".
  • [tex]~6 | a \Rightarrow 3 | a~[/tex].

[tex]\textcolor{#4178a1}{(iii)}[/tex] Quando as frases que descrevem duas propriedades [tex]P~[/tex] e [tex]~Q[/tex] forem muito longas, não coloque a implicação [tex]~~P \Rightarrow Q[/tex] (ou a equivalência [tex]~~P \Leftrightarrow Q[/tex]) no meio de outra frase; isole-a em uma outra linha. Por exemplo:

  • Suponha que [tex]x~[/tex] e [tex]~y[/tex] sejam números inteiros. Assim, temos a seguinte propriedade:
    [tex]\qquad "x[/tex] e [tex]y[/tex] ímpares" [tex]\Rightarrow[/tex] "[tex]x+y[/tex] ímpar".







Exemplos


Vamos construir frases matemáticas verdadeiras, utilizando os símbolos [tex]\boxed{\Leftrightarrow~~~\nLeftrightarrow~~~\Rightarrow~~~\nRightarrow}~[/tex]. Tente justificar a veracidade de cada uma.

[tex]\textcolor{#4178a1}{(i)}[/tex] Considere
[tex]U[/tex]: conjunto dos triângulos de um plano;
[tex]P[/tex]: [tex]T[/tex] é equilátero;
[tex]Q[/tex]: [tex]T[/tex] é isósceles.
Então:

  • [tex]P \Rightarrow Q[/tex].
    ou
    "[tex]T[/tex] é equilátero" [tex] \Rightarrow [/tex] "[tex]T[/tex] é isósceles".
  • [tex]Q \nRightarrow P[/tex].
    ou
    "[tex]T[/tex] é isósceles" [tex] \nRightarrow [/tex] "[tex]T[/tex] é equilátero".
  • [tex]P \nLeftrightarrow Q[/tex].
    ou
    "[tex]T[/tex] é equilátero" [tex] \nLeftrightarrow "[/tex] [tex]T[/tex] é isósceles".

[tex]\textcolor{#4178a1}{(ii)}[/tex] Considere
[tex]U[/tex]: conjunto dos números naturais;
[tex]P[/tex]: [tex]a[/tex] é par;
[tex]Q[/tex]: [tex]a[/tex] é múltiplo de [tex]5[/tex].
Então:

  • [tex]P \nRightarrow Q[/tex].
    ou
    "[tex]a[/tex] é par" [tex]\nRightarrow [/tex] "[tex]a[/tex] é múltiplo de [tex]5[/tex]".
  • [tex]Q \nRightarrow P[/tex].
    ou
    "[tex]a[/tex] é múltiplo de [tex]5[/tex]" [tex]\nRightarrow [/tex] "[tex]a[/tex] é par".
  • [tex]P \nLeftrightarrow Q[/tex].
    ou
    "[tex]a[/tex] é par" [tex]\nLeftrightarrow [/tex] "[tex]a[/tex] é múltiplo de [tex]5[/tex]".

[tex]\textcolor{#4178a1}{(iii)}[/tex] (Ampliando a utilização) Considere:
[tex]U[/tex]: conjunto dos números naturais.
Então:

  • "[tex]x[/tex] é par e [tex]y[/tex] é par" [tex]\Rightarrow x+y[/tex] é par".
  • "[tex]x+y[/tex] é par" [tex]\nRightarrow[/tex] "[tex]x[/tex] é par e [tex]y[/tex] é par"
  • "[tex]x[/tex] é ímpar e [tex]y[/tex] é ímpar" [tex]\Rightarrow x+y[/tex] é par".
  • "[tex]x+y[/tex] é par" [tex]\nRightarrow[/tex] "[tex]x[/tex] é ímpar e [tex]y[/tex] é ímpar" .




As expressões “se, então” e “se, e somente se” são de extrema importância para a leitura e compreensão de textos de matemática; portanto vamos resumir e registrar suas características.

lousa02



Equipe COM – OBMEP

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