Problema
(A partir do 9º ano do E. F. – Nível de dificuldade: Médio )
Artur criou uma planilha eletrônica que, a partir de um conjunto de números naturais, elimina todos aqueles cuja soma dos respectivos algarismos é [tex]12[/tex] e, em seguida, dos números que restam, elimina os múltiplos de [tex]12.[/tex]
Para testar a planilha que criou, Artur inseriu nela todos os números naturais de [tex]1[/tex] a [tex]200[/tex].
Quantos números restaram ao final desse teste?
Solução
Vamos analisar separadamente as duas condições presentes na planilha criada pelo Artur para os números naturais de [tex]1[/tex] a [tex]200[/tex].
(1) Números naturais [tex]n[/tex] cuja soma dos algarismos é igual a [tex]12[/tex]
-
► Observe inicialmente que números com um algarismo não atendem esta condição.
► Vamos considerar agora os números naturais [tex]n[/tex] com dois algarismos.
Assim, existem números naturais [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex], com [tex]0 \lt a \leqslant 9[/tex] e [tex]0 \leqslant b \leqslant 9[/tex], tais que [tex]n=ab.[/tex] Como a soma dos algarismos de [tex]n[/tex] é [tex]12[/tex], então [tex]a+b=12.[/tex]
Como o valor máximo de [tex]a[/tex] é [tex]9[/tex], então o valor mínimo de [tex]b[/tex] é [tex]3[/tex]. Da mesma forma, como o valor máximo de [tex]b[/tex] é [tex]9[/tex], então o valor mínimo de [tex]a[/tex] é também [tex]3[/tex]. Com isso, temos [tex]\boxed{7}[/tex] possibilidades para [tex]n[/tex] neste segundo caso.
► Vamos considerar neste caso os números naturais [tex]n[/tex] com três algarismos.
Como estamos considerando números naturais até [tex]200[/tex] e a soma dos algarismos de [tex]200[/tex] não é [tex]12[/tex], [tex]n[/tex] é da forma [tex]1ab[/tex], com [tex]a[/tex], [tex]b[/tex] números naturais tais que [tex]0 \leqslant a,b \leqslant 9.[/tex]
Como a soma dos algarismos de [tex]n[/tex] é [tex]12[/tex], então [tex]1+a+b=12[/tex], ou seja, [tex]a+b=11.[/tex]
Como o valor máximo de [tex]a[/tex] é [tex]9[/tex], então o valor mínimo de [tex]b[/tex] é [tex]2[/tex]. Da mesma forma, como o valor máximo de [tex]b[/tex] é [tex]9[/tex], então o valor mínimo de [tex]a[/tex] é também [tex]2[/tex]. Com isso, temos [tex]\boxed{8}[/tex] possibilidades para [tex]n[/tex] neste último caso.
Conforme o exposto, existem [tex]7+8= \, \fcolorbox{black}{#d7d7d7}{$15$} \, [/tex] números naturais de [tex]1[/tex] a [tex]200[/tex] cuja soma dos algarismos é [tex]12.[/tex]
(2) Números naturais múltiplos de [tex]12[/tex]
Ao dividirmos [tex]200[/tex] por [tex]12[/tex] obtemos como quociente [tex]16[/tex],
| [tex]200[/tex] | [tex]12[/tex] | |
| [tex]8[/tex] | [tex]16[/tex] |
assim, os múltiplos de [tex]12[/tex] de [tex]1[/tex] a [tex]200[/tex] são:
- [tex]12 \times 1=12 \, , \, 12 \times 2=24 \, , \, 12 \times 3=36 \, , \, \cdots \, , \, 12 \times 16=192.[/tex]
Portanto, temos [tex] \, \fcolorbox{black}{#d7d7d7}{$16$} \, [/tex] múltiplos naturais de [tex]12[/tex] de [tex]1[/tex] a [tex]200.[/tex]
(3) Ao somarmos os totais obtidos em (1) e em (2), [tex]15+16=31[/tex], poderíamos a princípio achar que finalizamos o problema fazendo a diferença [tex]200-31=169[/tex]. Mas observe que podemos ter contado duas vezes alguns números: os múltiplos de [tex]12[/tex] cuja soma dos algarismos é [tex]12[/tex], não é?
Para eliminar do total [tex]31[/tex] os números que satisfazem simultaneamente as condições (1) e (2), observamos que um número natural cuja soma dos algarismos é [tex]12[/tex] é um múltiplo de [tex]3.[/tex] Assim, precisamos apenas nos preocupar em descobrir quais dentre os números com soma dos algarismos [tex]12[/tex] são múltiplos de [tex]4.[/tex]
-
► Já sabemos que os números naturais [tex]n=ab[/tex] com dois algarismos tais que [tex]a+b=12[/tex] têm necessariamente [tex]3 \leqslant a \leqslant 9[/tex], ou seja [tex]39 \, , \, 48 \, , \, 57 \, ,66 \, , \, 75 \, , \, 84 \, , \, 93[/tex]. Destes, apenas [tex]48[/tex] e [tex]84[/tex] são múltiplos de [tex]12[/tex] e, portanto, foram contados duas vezes.
► Também sabemos que os números naturais com três algarismos que nos interessam são da forma [tex]n=1ab[/tex] com [tex]2 \leqslant a \leqslant 9[/tex] e [tex]a+b=11[/tex]. Destes, apenas [tex]156[/tex] e [tex]192[/tex] são múltiplos de [tex]12[/tex] e, portanto, foram contados duas vezes.
Assim, [tex]2+2= \, \fcolorbox{black}{#d7d7d7}{$4$}[/tex] números foram contados duas vezes.
Agora sim, já podemos finalizar nossa solução.
Observe que temos a seguinte situação:
– Múltiplos de [tex]12[/tex] cuja soma dos algarismos é [tex]12: \, 4[/tex];
– Números com soma dos algarismos igual a [tex]12[/tex], mas não múltiplos de [tex]12: \, 15-4=11[/tex];
– Múltiplos de [tex]12[/tex] cuja soma dos algarismos não é [tex]12: \, 16-4=12[/tex].
Dessa forma, dos [tex]200[/tex] números com os quais Arthur testou sua planilha, [tex]4+11+12=27[/tex] foram eliminados, restando então [tex]200-27= \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$173$} \, [/tex] números.
Para quem gosta de ver para crer, disponibilizamos uma tabela com a análise dos [tex]200[/tex] números testados pelo Artur utilizando os dois critérios da tabela que ele criou. Para vê-la, é só clicar AQUI.
Disponibilizamos abaixo um arquivo contendo essa tabela. Na tabela do arquivo você poderá incluir duzentos números naturais quaisquer e testar os critérios definidos pelo Artur.
Observação: Para abrir o arquivo, você precisa ter o Excel instalado em seu computador.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
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