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Problema
(A partir da 1ª série do E. M. – Nível de dificuldade: Médio )
Quantos números de cinco algarismos têm no mínimo um algarismo repetido?
Ajuda
✏ Princípio Fundamental da Contagem, ou Princípio Multiplicativo: Se
- uma decisão D1 puder ser tomada de [tex] m_1 [/tex] maneiras distintas,
- uma decisão D2 puder ser tomada de [tex] m_2 [/tex] maneiras distintas,
- [tex]\cdots[/tex]
- uma decisão Dk puder ser tomada de [tex]m_k [/tex] maneiras distintas,
- e todas essas decisões forem independentes entre si (isto é, a escolha de uma não muda a quantidade de possibilidades para a escolha de outra),
então o número total de maneiras de tomarmos sucessivamente essas [tex]k[/tex] decisões é igual ao produto
[tex]\qquad \qquad \boxed{m_1\times m_2 \times \cdots \times m_k}\, .[/tex]
(Se você não se lembra desse Princípio, seria interessante dar uma passadinha nesta Sala de Estudo.)
Solução
Quando analisamos os números naturais com cinco algarismos, podemos dividi-los em dois grupos disjuntos:
- os que não têm algarismos repetidos,
- os que têm, pelo menos, um algarismo repetido.
Assim, se [tex]T[/tex] é o total de números naturais com cinco algarismos, [tex]S[/tex] é o total de números naturais com cinco algarismos sem algarismos repetidos e [tex]R[/tex] é o total de números naturais com cinco algarismos com pelo menos um algarismo repetido, então [tex]T=R+S.[/tex] Dessa forma, uma das maneiras de resolvermos o problema é determinarmos [tex]T[/tex] e [tex]S[/tex] e fazermos a diferença [tex]T-S.[/tex]
- Quantidade de números naturais com cinco algarismos
- Quantidade de números naturais com cinco algarismos, sem algarismos repetidos
- Finalizando, temos então [tex] \, \fcolorbox{black}{#d7d7d7}{$R= 90 \, 000 \, – \, 27 \, 216 = 62 \, 784 \, $} \, [/tex] números de cinco dígitos com pelo menos um algarismo repetido.
Observe que em um número com cinco algarismos:
► para cada uma das demais posições, temos [tex]10[/tex] possibilidades: [tex]0 \, , \, 1 \, , \, 2 \, , \, \cdots \, , \, 9.[/tex]
[tex]\begin{array}{c c c c c }
\underline{\text{ 9 escolhas }}&\underline{\text{ 10 escolhas }}&\underline{\text{ 10 escolhas }}&\underline{\text{ 10 escolhas }} &\underline{\text {10 escolhas }}\\
\text{ dezena de milhar }&\text{ unidade de milhar }&\text{ centena }&\textrm{ dezena } & \textrm{ unidade }
\end{array}[/tex]
Assim, pelo Princípio Fundamental da Contagem, existem [tex]9 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10=90 \, 000[/tex] números naturais com cinco algarismos e, portanto, [tex] \, \fcolorbox{black}{#cfdef9}{$T=90 \, 000 \, $} \, .[/tex]
Observe que em um número com cinco algarismos:
► Para o segundo dígito temos as opções de [tex] \, 0 \, [/tex] a [tex] \, 9 \, [/tex], exceto o algarismo que foi usado para o primeiro dígito: nove opções.
► Para o terceiro dígito temos as opções de [tex] \, 0 \, [/tex] a [tex] \, 9 \, [/tex], exceto os algarismos que foram usados no primeiro e no segundo dígitos: oito opções.
► Para o quarto dígito temos novamente as opções de [tex] \, 0 \, [/tex] a [tex] \, 9 \, [/tex], exceto os algarismos que foram usados no primeiro, no segundo e no terceiro dígitos: sete opções.
► Para o quinto dígito temos também as opções de [tex] \, 0 \, [/tex] a [tex] \, 9 \, [/tex], exceto os algarismos que foram utilizados nos primeiros dígitos. São [tex] \, 10-4=6 \, [/tex] opções.
[tex]\begin{array}{c c c c c }
\underline{\text{ 9 escolhas }}&\underline{\text{ 9 escolhas }}&\underline{\text{ 8 escolhas }}&\underline{\text{ 7 escolhas }} &\underline{\text {6 escolhas }}\\
\text{ dezena de milhar }&\text{ unidade de milhar }&\text{ centena }&\textrm{ dezena } & \textrm{ unidade }
\end{array}[/tex]
Utilizando mais uma vez o Princípio Fundamental da Contagem, concluímos que existem [tex]9 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 =27 \, 216[/tex] números naturais com cinco algarismos não repetidos e, portanto, [tex] \, \fcolorbox{black}{#cfdef9}{$S=27 \, 216 \, $} \, .[/tex]
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
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