.Problema para ajudar na escola: Catetos de um triângulo retângulo

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Problema
(A partir do 9º ano do E. F. – Nível de dificuldade: Médio )

Em um dado triângulo retângulo, a hipotenusa mede

$25 \, \text{cm}$ e a altura relativa a ela mede

$12 \, \text{cm}\, .$
Qual é a medida de cada cateto desse triângulo?

Lembretes

Vamos resolver este problema utilizando apenas resultados bem conhecidos da Geometria:
✐ Teorema de Pitágoras: Em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é a soma dos quadrados dos catetos.

Área do triângulo: $\dfrac{\text{base $\times$ altura}}{2}$

Solução

Vamos supor que os catetos de um triângulo retângulo cuja hipotenusa mede $25 \, \text{cm}$ e a altura relativa a ela mede $12 \, \text{cm}\,$ tenham comprimentos $a \, \text{cm}$ e $b \, \text{cm}$ , conforme vemos na figura abaixo.

Pelo segundo Lembrete, a área de um triângulo é dada pela metade do produto entre uma base e sua respectiva altura. No caso do nosso triângulo, vamos calcular a sua área de dois modos:

utilizando os dados do problema: $\frac{25 \times 12}{2}$ ,
considerando como base e altura os dois catetos, já que o triângulo é retângulo: $\frac{a \times b}{2}$ .

Dessa forma, se $A_t$ é a área do nosso triângulo, então:
$\qquad A_t=\dfrac{25 \times 12}{2}=\dfrac{a \times b}{2}$ ,
e assim temos que:
$\qquad a \times b=300.\qquad \textcolor{#800000}{(i)}$
Por outro lado, o primeiro Lembrete nos assegura que
$\qquad a^2+b^2=625.\qquad \textcolor{#800000}{(ii)}$
A partir das equações $\textcolor{#800000}{(i)} \,$ e $\textcolor{#800000}{(ii)}$ , podemos resolver algebricamente o problema de duas maneiras; observe.

Multiplicando a equação

$\textcolor{#800000}{(i)} \,$ por

$2$ , temos que

$\quad 2\times a \times b=600.\qquad \textcolor{#800000}{(iii)}$
Logo, somando $\textcolor{#800000}{(ii)} \,$ e $\textcolor{#800000}{(iii)}$ , segue que:
$\quad \left(a^2+b^2\right)+2\times a \times b=625+600$
$\quad a^2+2\times a \times b+b^2=1225$
$\quad \left(a+b\right)^2=1225$
$\quad \sqrt{ \left(a+b\right)^2}=\sqrt{1225}=35.$
Como $a \,$ e $\, b$ são números positivos, então $a+b=35$ ,
donde
$\quad b=35-a.\qquad \textcolor{#800000}{(iv)}$ ,
Substituindo $\textcolor{#800000}{(iv)} \,$ em $\textcolor{#800000}{(i)} \,$ , obtemos:
$\quad 35a-a^2=300$
$\quad a^2-35a+300=0.$
Resolvendo essa equação do segundo grau obtemos as raízes:
$\quad a=\dfrac{35\pm\sqrt{1225-1200}}{2}=\dfrac{35\pm 5}{2}$
$\quad a_1=\dfrac{35+5}{2}=20 \qquad$ e $\qquad a_2=\dfrac{35-5}{2}=15 \,$ .
Substituindo essas raízes em $\textcolor{#800000}{(iv)} \,$ , obtemos os respectivos valores para o comprimento do segundo cateto:
$\quad b_1=35-a_1=35-20=15 \, \,$ e
$\quad b_2=35-a_2=35-15=20 \, \, \, .$
Com isso, o triângulo retângulo em questão tem catetos com comprimentos $\, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$15 \, \text{cm}\text{ e } 20 \, \text{cm}$} \, .$

Podemos trabalhar diretamente com as equações

$\textcolor{#800000}{(i)} \,$ e

$\, \textcolor{#800000}{(ii)} \, .$

De $\textcolor{#800000}{(i)} \,$ , como $b\ne 0$ , segue que
$\quad a=\dfrac{300}{b}.\qquad \textcolor{#800000}{(v)}$
Substituindo $\textcolor{#800000}{(v)} \,$ em $\textcolor{#800000}{(i)} \,$ , obtemos a equação biquadrada
$\quad b^4-625b^2+90000=0.\qquad \textcolor{#800000}{(vi)}$
Se fizermos $x=b^2$ em $\textcolor{#800000}{(vi)} \,$ , obtemos a seguinte equação do segundo grau em $x$ :
$\quad x^2-625x+90000=0$
Resolvendo essa equação obtemos as raízes:
$\quad x=\dfrac{625\pm\sqrt{390625-360000}}{2}\\ \quad x=\dfrac{625\pm 175}{2}$
$\quad x_1=\dfrac{625+175}{2}=400 \;$ e $\;x_2=\dfrac{625-175}{2}=225 \,$ .
Mas $x=b^2$ , logo:
$\quad b_1^2=400 \qquad$ e $\qquad b_2^2=225 \,$ .
Como estamos lidando com medidas, $\, b_1 \gt 0$ e $\, b_2 \gt 0$ , e
$\quad b_1=20 \qquad$ e $\qquad b_2=15 \, .$
Substituindo esses valores em $\textcolor{#800000}{(v)} \,$ , obtemos os respectivos valores para o comprimento do outro cateto:
$\quad a_1=\dfrac{300}{b_1}=\dfrac{300}{20}=15\qquad$ e
$\, \\ \qquad a_2=\dfrac{300}{b_1}=\dfrac{300}{15}=20.$
Com isso, o triângulo retângulo em questão tem catetos com comprimentos $\, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$15 \, \text{cm}\text{ e } 20 \, \text{cm}$} \, .$

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

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