.Problema para ajudar na escola: Números novélicos

Problema
(A partir do 8º ano do E. F. – Nível de dificuldade: Médio)

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Diremos que um número natural é novélico se a soma dos seus algarismos for divisível por nove.
Quantos números novélicos de três algarismos, todos pares, existem?

Solução

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Seja $x$ um número natural novélico com exatamente três algarismos, todos pares. Nesse caso, sejam $a \, , \, b$ e $c$ os algarismos de $x$, não necessariamente distintos.
Em um número natural novélico de três algarismos a soma dos seus algarismos é divisível por nove, assim, a princípio, $a+b+c$ pode ser $0, \, 9, \, 18, \, 27, \, 36, \, \cdots .$
Mas observe que:

• $a \, , \, b \,$ e $\, c$ são algarismos e, assim, $0\le a \, , \, b \, ,c \le 9$, donde $0 \le a+b+c \le 27$;
• por outro lado, $x$ é um número de três algarismos; logo seu primeiro algarismo é diferente de zero e, com isso, $a+b+c\ne 0$;
• também sabemos que os algarismos são pares; dessa forma, $a \le 8 \, ; \, b\le 8 \,$ e $\, c \le 8$, donde $a+b+c \le 24$.

Pelo até aqui exposto, podemos concluir que $0 \lt a+b+c \le 24$, com $a, \, b, \, c \in \left\{ 0, 2, 4, 6, 8 \right \} \,$ e sendo um deles não nulo.

• Mas, explorando a paridade dos algarismos $a, \, b \,$ e $\, c$, podemos concluir que a soma $a+b+c$ é um número par, já que as três parcelas são algarismos pares. Dos múltiplos de nove, o único que se enquadra nessas condições é o $18$, consequentemente, $a+b+c=18$.
  Sabendo que $a+b+c=18$, podemos afirmar que nenhum dos algarismos de $x$ pode ser $0 \, .$ Com efeito, se um dos algarismo de $x$ fosse $0 \,$, necessariamente a soma dos outros dois seria $18$. Mas a única forma de a soma de dois algarismos ser $18$ seria que ambos fossem iguais a $9$, o que não é possível no nosso caso, já que estamos trabalhando com algarismos pares. Isso mostra que, realmente, os algarismos de $x$ são distintos de $0 \, .$

Finalmente, são estas as informações que temos para solucionar o problema:
$\qquad \qquad \fcolorbox{#800000}{#E8E8E8}{$a+b+c=18 \text{, com } a, \, b, \, c \in \left\{2, 4, 6, 8 \right \}$} \, .$
Na tabela a seguir, apresentamos todas as possíveis escolhas dos algarismos que atendem a essas duas características e destacamos os respectivos números novélicos.

$\begin{array}{|c|c|} \hline \text{algarismos utilizados} & \text{números novélicos}\\ \hline 2 \, ; \, 8 \, ; \, 8 &\boxed{288} \, ; \, \boxed{828} \, ; \, \boxed{882}\\ \hline 4 \, ; \, 6 \, ; \, 8 &\boxed{468} \, ; \, \boxed{486} \, ; \, \boxed{648} \, ; \, \boxed{684} \, ; \, \boxed{846} \, ; \, \boxed{864}\\ \hline 6 \, ; \, 6 \, ; \, 6 &\boxed{666}\\ \hline \end{array}$

Portanto, utilizando a tabela para fazer a contagem, temos $\, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$10$} \,$ números novélicos com três algarismos todos pares.

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Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.