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Problema
(A partir do 8º ano do E. F. – Nível de dificuldade: Médio)
Diremos que um número natural é novélico se a soma dos seus algarismos for divisível por nove.
Quantos números novélicos de três algarismos, todos pares, existem?
Solução
Seja [tex]x[/tex] um número natural novélico com exatamente três algarismos, todos pares. Nesse caso, sejam [tex]a \, , \, b[/tex] e [tex]c[/tex] os algarismos de [tex]x[/tex], não necessariamente distintos.
Em um número natural novélico de três algarismos a soma dos seus algarismos é divisível por nove, assim, a princípio, [tex] a+b+c [/tex] pode ser [tex]0, \, 9, \, 18, \, 27, \, 36, \, \cdots . [/tex]
Mas observe que:
- [tex]a \, , \, b \, [/tex] e [tex] \, c[/tex] são algarismos e, assim, [tex]0\le a \, , \, b \, ,c \le 9[/tex], donde [tex]0 \le a+b+c \le 27[/tex];
- por outro lado, [tex]x[/tex] é um número de três algarismos; logo seu primeiro algarismo é diferente de zero e, com isso, [tex]a+b+c\ne 0[/tex];
- também sabemos que os algarismos são pares; dessa forma, [tex] a \le 8 \, ; \, b\le 8 \, [/tex] e [tex] \, c \le 8[/tex], donde [tex]a+b+c \le 24[/tex].
Pelo até aqui exposto, podemos concluir que [tex]0 \lt a+b+c \le 24 [/tex], com [tex] a, \, b, \, c \in \left\{ 0, 2, 4, 6, 8 \right \} \, [/tex] e sendo um deles não nulo.
- Mas, explorando a paridade dos algarismos [tex] a, \, b \, [/tex] e [tex] \, c[/tex], podemos concluir que a soma [tex]a+b+c[/tex] é um número par, já que as três parcelas são algarismos pares. Dos múltiplos de nove, o único que se enquadra nessas condições é o [tex]18[/tex], consequentemente, [tex]a+b+c=18[/tex].
Sabendo que [tex]a+b+c=18[/tex], podemos afirmar que nenhum dos algarismos de [tex]x[/tex] pode ser [tex]0 \, .[/tex] Com efeito, se um dos algarismo de [tex]x[/tex] fosse [tex]0 \, [/tex], necessariamente a soma dos outros dois seria [tex]18[/tex]. Mas a única forma de a soma de dois algarismos ser [tex]18[/tex] seria que ambos fossem iguais a [tex]9[/tex], o que não é possível no nosso caso, já que estamos trabalhando com algarismos pares. Isso mostra que, realmente, os algarismos de [tex]x[/tex] são distintos de [tex]0 \, .[/tex]
Finalmente, são estas as informações que temos para solucionar o problema:
[tex]\qquad \qquad \fcolorbox{#800000}{#E8E8E8}{$a+b+c=18 \text{, com } a, \, b, \, c \in \left\{2, 4, 6, 8 \right \}$} \, .[/tex]
Na tabela a seguir, apresentamos todas as possíveis escolhas dos algarismos que atendem a essas duas características e destacamos os respectivos números novélicos.
[tex] \begin{array}{|c|c|}
\hline
\text{algarismos utilizados} & \text{números novélicos}\\
\hline
2 \, ; \, 8 \, ; \, 8 &\boxed{288} \, ; \, \boxed{828} \, ; \, \boxed{882}\\
\hline
4 \, ; \, 6 \, ; \, 8 &\boxed{468} \, ; \, \boxed{486} \, ; \, \boxed{648} \, ; \, \boxed{684} \, ; \, \boxed{846} \, ; \, \boxed{864}\\
\hline
6 \, ; \, 6 \, ; \, 6 &\boxed{666}\\
\hline
\end{array}[/tex]
Portanto, utilizando a tabela para fazer a contagem, temos [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$10$} \, [/tex] números novélicos com três algarismos todos pares.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
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