Matrizes, determinantes e sistemas de equações lineares são assuntos muito importantes e com grandes aplicações em diversas áreas do conhecimento humano. Engana-se quem imagina que esses assuntos são necessários apenas para resolver problemas de matemática, eles vão muito além disso. As aplicações abrangem modelagem de circuitos elétricos, linhas de transmissão de energia elétrica, expectativa de vida da população de um país, assim como nas áreas da estatística e da computação gráfica.
A história dos sistemas de equações lineares mostra as contribuições de diversos estudiosos até chegar ao que conhecemos hoje. Os sistemas lineares deram origem ao estudo dos determinantes e matrizes. O livro Nove Capítulos sobre a Arte Matemática, publicado entre 200 a.C. e 100 a.C. na China, é uma das mais antigas obras que trata sobre a ideia de matrizes, e, nessa obra, estão as provas mais antigas da utilização dos sistemas em tabletas babilônicas feitas de argila datadas de cerca de 300 a.C. e as representações dos coeficientes de sistemas lineares em barras de bambu.
Dois grandes matemáticos iniciaram os estudos da teoria dos determinantes: Seki Shinsuke Kowa, no Japão, e Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 – 1716), na Alemanha. Já o termo matriz veio com James Joseph Sylvester, em 1850, e com seu amigo Arthur Cayley (1821-1895), em 1858. Existem inscrições que foram encontradas em papiros, por exemplo, o de Rhind ou Ahmes, que contém [tex]85[/tex] problemas que comprovam que os egípcios também utilizavam a matemática nas tarefas diárias. Esse papiro e também o papiro de Moscou, trazem soluções de frações unitárias, operações aritméticas e geométricas, razões trigonométricas e também equações lineares.
Uma importante contribuição dos chineses para a álgebra é marcada pelas inscrições por diagramas dos coeficientes lineares em barras de bambus. Essa representação dos sistemas lineares foi um marco na matemática oriental de bastante destaque, uma vez que a cultura chinesa foi seriamente prejudicada por quebras abruptas, pois o imperador da China, Shi Huang-ti (213 a.C.), ordenou a queima de livros e registros, cabendo aos chineses somente a cópia das obras que sobraram ou a transmissão oral das que se perderam.
Chiu-Chang Suan-Shu é um dos livros chineses mais antigos (Os Nove Capítulos da Arte da Matemática – autor desconhecido). Escrito por volta de 250 a.C. durante a dinastia Han, essa obra traz representações em barras de bambu dos coeficientes de sistemas lineares escritos sobre quadrados em tabuleiros. A obra contém [tex]246[/tex] problemas com medidas de terras, agricultura, sociedades, engenharia, impostos, cálculos, soluções de equações e propriedades dos triângulos retângulos, além do método da “falsa posição”.
A primeira ideia de determinante veio em [tex]1683[/tex], pelo matemático japonês Seki Kowa, que sistematizou o antigo procedimento chinês para o caso de duas equações, mas não para casos gerais. Ele desenvolveu vários exemplos de sistemas de equações lineares em forma matricial.
No ocidente, o estudo dos determinantes iniciou também em 1683, por meio de Leibniz, que em uma correspondência para o matemático francês L’Hospital (1661-1704), usou combinações de coeficientes para resolver sistemas de equações lineares e encontrou uma maneira de indexar tais coeficientes com números. Seus estudos estabeleceram a condição de compatibilidade de um sistema de três equações a duas incógnitas em termos do determinante de ordem [tex]3[/tex], formado pelos coeficientes e pelos termos independentes. O matemático alemão Jacobi também desenvolveu a teoria dos determinantes criando uma notação, algoritmos e regras para a sua utilização.
A teoria dos determinantes também recebeu influência do escocês Colin Maclaurin (1698-1746), que em 1730 escreveu “Um Tratado sobre Álgebra”. Esse livro foi publicado em 1748, e nele encontra-se o “teorema geral” para eliminação de incógnitas de sistemas lineares, com demonstrações para matrizes de ordem [tex]2[/tex], [tex]3[/tex] e [tex]4[/tex]. O matemático suíço Gabriel Cramer (1704-1752) publicou o livro “Introdução à Análise de Curvas Algébricas”, em 1750, que apresentava resultados para matrizes de ordem [tex]n[/tex].
O matemático francês Augustin-Louis Cauchy (1789-1857), atribui o termo determinante no sentido atual, em 1812 provou o teorema da multiplicação de determinantes, através da utilização de permutações e também melhorou a notação de determinantes. Porém, a notação de duas barras verticais ladeando um quadrado de números para indicar um determinante, só foi apresentada em 1841 por Cayley.
O nome “matriz” foi instituído pelo matemático inglês James Joseph Sylvester (1814-1897) em 1850, e que mais tarde recebeu grandes contribuições do seu amigo Cayley, o qual, deu o primeiro significado da palavra matriz, como sendo o lugar onde algo se gera ou cria. Cayley escreveu um artigo em 1855 no qual as matrizes saíram da sombra dos determinantes. Há controvérsias quanto a afirmação de que Cayley foi o principal inventor da teoria das matrizes, mas foi ele quem introduziu a notação de matrizes para simplificar a notação de uma transformação linear.
Assim, o sistema a seguir:
x’&=&ax&+&by\\
y’&=&cx&+&dy
\end{cases}
era escrito como:
a & b\\
c & d
\end{pmatrix}\cdot (x, y).[/tex]
A partir dessas transformações, criou-se a definição de produto de matrizes, como também a matriz inversa, a matriz identidade e a matriz nula. No entanto, somente três anos mais tarde introduziu-se o conceito de soma e produto de matrizes por escalares, dando ênfase para as propriedades algébricas dessas operações. Em suma, boa parte dos resultados sobre a Teoria das Matrizes, foram descobertos pelos matemáticos do século XVIII e XIX, dentre eles Lagrange.
Sistema Linear
Antes de estudarmos os sistemas lineares, precisamos entender primeiro o que é uma equação linear.
Equação Linear
Os números [tex]a_1, a_2, a_3, \dots, a_n[/tex], são todos reais e denominados coeficientes, e, [tex]b[/tex] também é real, e é denominado termo independente da equação.
|
São exemplos de equações lineares: ➤ [tex]10x+7y-9z=0[/tex]; ➤ [tex]-\dfrac{ x}{2}+\sqrt{3}y=100[/tex]; ➤ [tex]0x+0y-0z=2[/tex]. |
Não são exemplos de equações lineares: ➤ [tex]\sqrt{x}+5y=10[/tex]; ➤ [tex]-\dfrac{xy}{3}+\sqrt{3}y=-9[/tex]; ➤ [tex]x^2+y^3-z^4=0[/tex]. |
Solução de uma Equação Linear
A sequência ou ênupla de números reais [tex](\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \dots, \alpha_n)[/tex] é uma solução da equação linear
se a igualdade [tex]a_1\alpha_1+a_2\alpha _2+a_3\alpha _3+\dots+a_n\alpha _n=b[/tex] for satisfeita.
Por exemplo, na equação linear [tex]2x_1+x_2+x_3=6[/tex], o terno [tex](2, 1, 1)[/tex] é solução, pois [tex]2\cdot2+1+1=6[/tex], mas o terno [tex](1, 1, 0)[/tex] não é solução, já que [tex]2\cdot1+1+0\neq6[/tex].
Um sistema linear é um conjunto de equações lineares que compartilham um mesmo conjunto de incógnitas e que são resolvidas simultaneamente para encontrar os valores dessas incógnitas.
O sistema linear pode ser escrito conforme mostrado a seguir:
a_{11}x_1 &+& a_{12}x_2 &+& a_{13}x_3 &+& \dots &+& a_{1n}x_n &=& b_1 \\
a_{21}x_1 &+& a_{22}x_2 &+& a_{23}x_3 &+& \dots &+& a_{2n}x_n &=& b_2 \\
a_{31}x_1 &+& a_{32}x_2 &+& a_{33}x_3 &+& \dots &+& a_{3n}x_n &=& b_3 \\
& & & & & & \;\; \vdots & & & & \\
a_{m1}x_1 &+& a_{m2}x_2 &+& a_{m3}x_3 &+& \dots &+& a_{mn}x_n &=& b_m
\end{cases}.[/tex]
Da definição de produto de matrizes, o sistema linear acima pode ser escrito na forma matricial assim:
a_{11} & a_{12} & a_{13} & \dots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} & \dots & a_{2n} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} & \dots & a_{3n} \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & a_{m3} & \dots & a_{mn}
\end{bmatrix}
\cdot
\begin{bmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3 \\
\vdots \\
x_n
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
b_1 \\
b_2 \\
b_3 \\
\vdots \\
b_m
\end{bmatrix}.[/tex]
Abaixo temos três exemplos de representações de sistemas lineares na forma matricial:
| ➤ O sistema | ➤ O sistema | ➤ O sistema |
|
5x&+&6y&=&7 \\ 8x&-&y&=&4 \end{cases}[/tex] |
x&+&y&+&z&=&0 \\ 2x&-&3y&-&z&=&7 \end{cases}[/tex] |
3x&-&3y&=&1 \\ 2x&+&4y&=&2 \\ x&+&y&=&1 \\ \end{cases}[/tex] |
| pode ser escrito como: | pode ser escrito como: | pode ser escrito como: |
|
5 & 6 \\ 8 & -1 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x \\ y \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 \\ 4 \\ \end{bmatrix}.[/tex] |
1 & 1 & 1 \\ 2 & -3 & -1 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 7 \\ \end{bmatrix}.[/tex] |
3 & -3 \\ 2 & 4 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}.[/tex] |
Solução de um Sistema Linear
Dizemos que a sequência ou ênupla de reais [tex](\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \dots, \alpha_n)[/tex] é solução de um sistema linear, se for solução de todas as equações do sistema
a_{11} \alpha_1 &+& a_{12} \alpha_2 &+& a_{13} \alpha_3 &+& \dots &+& a_{1n} \alpha_n &=& b_1 \\
a_{21} \alpha_1 &+& a_{22} \alpha_2 &+& a_{23} \alpha_3 &+& \dots &+& a_{2n} \alpha_n &=& b_2 \\
a_{31} \alpha_1 &+& a_{32} \alpha_2 &+& a_{33} \alpha_3 &+& \dots &+& a_{3n} \alpha_n &=& b_3 \\
& & & & & & \;\; \vdots & & & & \\
a_{m1} \alpha_1 &+& a_{m2} \alpha_2 &+& a_{m3} \alpha_3 &+& \dots &+& a_{mn} \alpha_n &=& b_m
\end{cases}.[/tex]
Exemplo: O terno ordenado [tex](1, 2, 3)[/tex] é solução do sistema
x&+&y&+&z&=&6 \\
2x&+&y&-&z&=&1 \\
3x&-&y&+&z&=&4
\end{cases},[/tex]
pois
1&+&2&+&3&=&6 \\
2\cdot1&+&2&-&3&=&1 \\
3\cdot1&-&2&+&3&=&4
\end{cases}.[/tex]
Por outro lado, o sistema
\begin{cases}
x&+&y&=&8 \\
x&+&y&=&9
\end{cases}
não possui solução, pois não existe nenhum par ordenado [tex](x, y)[/tex] tal que a soma [tex]x+y[/tex] seja ao mesmo tempo [tex]8[/tex] e [tex]9[/tex].
a_{11}x_1 &+& a_{12}x_2 &+& a_{13}x_3 &+& \dots &+& a_{1n}x_n &=& 0 \\
a_{21}x_1 &+& a_{22}x_2 &+& a_{23}x_3 &+& \dots &+& a_{2n}x_n &=& 0 \\
a_{31}x_1 &+& a_{32}x_2 &+& a_{33}x_3 &+& \dots &+& a_{3n}x_n &=& 0 \\
& & & & & & \;\; \vdots & & & & \\
a_{m1}x_1 &+& a_{m2}x_2 &+& a_{m3}x_3 &+& \dots &+& a_{mn}x_n &=& 0
\end{cases}.[/tex]
Um sistema homogêneo sempre admite a solução [tex](\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n)[/tex] em que [tex]\alpha_i=0, \forall i\in \{1, 2, 3, \dots, n\}[/tex], chamada solução nula, trivial ou imprópria.
Exemplo: Os dois sistemas lineares representados a seguir são homogêneos.
➤ [tex]\begin{cases}
x&+&y&+&z&=&0 \\
x&-&2y&-&3z&=&0
\end{cases}.[/tex]
➤ [tex]\begin{cases}
3x&+&5y&+&6z&+&8w&=&0 \\
x&-&2y&-&3z&+&w&=&0 \\
9x&-&3y&-&3z&+&w&=&0 \\
x&-&y&-&z&-&w&=&0
\end{cases}.[/tex]
Todo Sistema Linear Homogêneo admite sempre como solução a sequência ordenada [tex](\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \dots, \alpha_n)[/tex] em que [tex]\alpha_i=0[/tex], [tex]\forall i\in\{1, 2, 3, \dots, n\}[/tex].
Matrizes de um Sistema
Consideremos um sistema linear [tex]S[/tex] com [tex]m[/tex] equações e [tex]n[/tex] incógnitas:
a_{11}x_1 &+& a_{12}x_2 &+& a_{13}x_3 &+& \dots &+& a_{1n}x_n &=& b_1 \\
a_{21}x_1 &+& a_{22}x_2 &+& a_{23}x_3 &+& \dots &+& a_{2n}x_n &=& b_2 \\
a_{31}x_1 &+& a_{32}x_2 &+& a_{33}x_3 &+& \dots &+& a_{3n}x_n &=& b_3 \\
& & & & & & \;\; \vdots & & & & \\
a_{m1}x_1 &+& a_{m2}x_2 &+& a_{m3}x_3 &+& \dots &+& a_{mn}x_n &=& b_m
\end{cases}[/tex]
A matriz [tex]A[/tex], formada pelos coeficientes das incógnitas das equações do sistema, é denominada Matriz Incompleta do Sistema, ou seja,
a_{11} & a_{12} & a_{13} & \dots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} & \dots & a_{2n} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} & \dots & a_{3n} \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & a_{m3} & \dots & a_{mn}
\end{bmatrix}.[/tex]
Semelhantemente, denominamos Matriz Completa do Sistema, a matriz [tex]B[/tex], formada a partir da matriz A, acrescentando-se uma coluna formada pelos termos independentes das equações do sistema, ou seja,
a_{11} & a_{12} & a_{13} & \dots & a_{1n} & b_1\\
a_{21} & a_{22} & a_{23} & \dots & a_{2n} & b_2\\
a_{31} & a_{32} & a_{33} & \dots & a_{3n} & b_3\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\
a_{m1} & a_{m2} & a_{m3} & \dots & a_{mn} & b_m
\end{bmatrix}.[/tex]
A seguir vemos dois exemplos de sistemas lineares com suas respectivas matrizes completas e imcompletas.
|
➤ No sistema 7x&+&2y&=&19 \\ 9x&-&45y&=&0 \\ \end{cases}[/tex] a matriz incompleta do sistema é dada por 7 & 2 \\ 9 & -45 \end{bmatrix},[/tex] e a matriz completa do sistema é dada por 7 & 2 & 19\\ 9 & -45 & 0 \end{bmatrix}.[/tex] |
➤ No sistema x&+&y&-&3z&=&9 \\ x&-&5y&+&2z&=&1 \\ \end{cases}[/tex] a matriz incompleta do sistema é dada por 1 & 1 & -3 \\ 1 & -5 & 2 \end{bmatrix},[/tex] e a matriz completa do sistema é dada por 1 & 1 & -3 & 9\\ 1 & -5 & 2 & 1 \end{bmatrix}.[/tex] |
A seguir, você será conduzido por quatro salas de estudo, cada uma dedicada a um aspecto importante da resolução e compreensão dos sistemas lineares. Prepare-se para aprender passo a passo!
➤ Sala 2: Resolução de Sistema pelo Teorema de Cramer
➤ Sala 3: Discussão de Sistemas Lineares
➤ Sala 4: Problemas
Recomendamos fortemente que vocês continuem a leitura seguindo a ordem na qual essas Salas estão anunciadas.
| Sala 1 | Sala 2 | Sala 3 | Sala 4 |
No canto inferior direito de cada uma das quatro Salas, você encontrará um link para voltar para esta Sala e, se necessário, fazer uma nova escolha.
Equipe COM – OBMEP
Novembro de 2025
[1] IEZZI, Gelson; HAZZAN, Samuel. Fundamentos de Matemática Elementar. Volume 4. São Paulo: Atual Editora.
[2] BUCCHI, Paulo. Curso Prático de Matemática. Volume 2. São Paulo: Editora Moderna.
[3] PAIVA, Manoel. Matemática. Volume 2. São Paulo: Editora Moderna.
[4] BIANCHINI, Edwaldo; PACCOLA, Herval. Matemática. Volume 2. São Paulo: Editora Moderna.
[5] IEZZI, Gelson; DOLCE, Osvaldo; DEGENSZAJN, David; PÉRIGO, Roberto; ALMEIDA, Nilze de. Matemática – Ciência e Aplicações. Volume 2. São Paulo: Editora Saraiva.
[6] GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto. Matemática Completa. Volume 2. São Paulo: Editora FTD.
[7] DANTE, Luiz Roberto. Matemática – Contexto e Aplicações. Volume 2. São Paulo: Editora Ática.
[8] GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto. Matemática – Uma Nova Abordagem. Volume 2. São Paulo: Editora FTD.
[9] SOUSA, Fábio Barros de; SABINO, Elizabeth Rego; SABINO, Elizete Rego. Abordagem Histórica e Conceitual sobre os Sistemas de Equações Lineares e sua Relação com Matrizes e Determinantes. (Último acesso em 31/10/25)