.Sala de Estudo: Sistemas Lineares – Teorema de Cramer

Teorema de Cramer

Nesta sala, veremos mais um método prático e direto para resolver sistemas lineares com o mesmo número de equações e incógnitas.

Teorema de Cramer

Consideremos um sistema linear em que o número de equações é igual ao número de incógnitas. Nessas condições, [tex]A[/tex] (matriz incompleta do sistema) é uma matriz quadrada. A partir de agora, consideraremos [tex]D=\det A.[/tex]

Seja [tex]S[/tex] um sistema linear com número de equações igual ao de incógnitas. Se [tex]D\neq0[/tex], então o sistema será possível e terá solução única [tex](\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \dots, \alpha_n)[/tex], tal que

[tex]\alpha_i=\dfrac{D_{\alpha_i}}{D}, \forall i \in \{1, 2, 3, \dots, n\},[/tex]

onde [tex]D_{\alpha_i}[/tex] é o determinante da matriz obtida a partir de [tex]A[/tex], substituindo-se a [tex]i[/tex]-ésima coluna pela coluna dos termos independentes das equações do sistema.

Consideremos o sistema

[tex]S:\begin{cases}
a_{11}x_1 &+& a_{12}x_2 &+& a_{13}x_3 &+& \dots &+& a_{1n}x_n &=& b_1 \\
a_{21}x_1 &+& a_{22}x_2 &+& a_{23}x_3 &+& \dots &+& a_{2n}x_n &=& b_2 \\
a_{31}x_1 &+& a_{32}x_2 &+& a_{33}x_3 &+& \dots &+& a_{3n}x_n &=& b_3 \\
& & & & & & \;\; \vdots & & & & \\
a_{m1}x_1 &+& a_{m2}x_2 &+& a_{m3}x_3 &+& \dots &+& a_{mn}x_n &=& b_m
\end{cases}[/tex]

As matrizes associadas a esse sistema são:

[tex]A=\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} & \dots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} & \dots & a_{2n} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} & \dots & a_{3n} \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & a_{m3} & \dots & a_{mn}
\end{bmatrix},\;\;\;\;
X=\begin{bmatrix}
x_1\\
x_2\\
x_3\\
\vdots \\
x_n
\end{bmatrix},\;\;\;\;
C=\begin{bmatrix}
b_1\\
b_2\\
b_3\\
\vdots \\
b_n
\end{bmatrix}.[/tex]

O sistema [tex]S[/tex] pode ser escrito na forma matricial [tex]A\cdot X=C[/tex]. Mostraremos que essa equação matricial admite solução única.

Por hipótese, [tex]D\neq0[/tex], logo [tex] \exists A^{-1}[/tex]. Consideremos a matriz [tex]X_0=A^{-1}\cdot C[/tex] e provemos que ela é solução da equação matricial [tex]A\cdot X=C[/tex]. De fato,

[tex]\qquad A\cdot (A^{-1}\cdot C)=(A\cdot A^{-1})\cdot C=I_n \cdot C=C,[/tex]

o que prova a existência da solução [tex]X_0=A^{-1}\cdot C[/tex].

Para provarmos que tal solução é única, vamos considerar a existência de outra solução [tex]X_1\neq X_0,[/tex] ou seja, [tex]A\cdot X_1=C[/tex]. Daí,

[tex]\qquad X_1=I_n\cdot X_1=(A^{-1}\cdot A)\cdot X_1= A^{-1}\cdot(A\cdot X_1)= A^{-1}\cdot C=X_0,[/tex]

o que é uma contradição, uma vez que supomos que [tex]X_1\neq X_0[/tex].

Dessa forma, temos que [tex]X_0[/tex] é solução única de [tex]A\cdot X=C[/tex].

Por outro lado, [tex]A^{-1}[/tex] pode ser calculada pela fórmula

[tex]A^{-1}=\dfrac{1}{D}\cdot \overline{A}=\dfrac{1}{D}\cdot \begin{bmatrix}
A_{11} & A_{21} & A_{31} & \dots & A_{n1} \\
A_{12} & A_{22} & A_{32} & \dots & A_{n1} \\
A_{13} & A_{23} & A_{33} & \dots & A_{n3} \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
A_{1n} & A_{2n} & A_{3n} & \dots & A_{nn}
\end{bmatrix},[/tex]

em que [tex]A_{ij}[/tex] é o cofator do elemento [tex]a_{ij}[/tex] de [tex]A[/tex]. Logo,

[tex]X_0=A^{-1}\cdot C=\dfrac{1}{D}\cdot \begin{bmatrix}
A_{11} & A_{21} & A_{31} & \dots & A_{n1} \\
A_{12} & A_{22} & A_{32} & \dots & A_{n2} \\
A_{13} & A_{23} & A_{33} & \dots & A_{n3} \\
\vdots \\
A_{1i} & A_{2i} & A_{3i} & \dots & A_{ni} \\
\vdots \\
A_{1n} & A_{2n} & A_{3n} & \dots & A_{nn}
\end{bmatrix}\cdot
\begin{bmatrix}
b_1 \\
b_2 \\
b_3 \\
\vdots \\
b_i \\
\vdots \\
b_n
\end{bmatrix}.[/tex]

Tendo em conta que

[tex]X_0=\begin{bmatrix}
\alpha_1 \\
\alpha_2 \\
\alpha_3 \\
\vdots \\
\alpha_n
\end{bmatrix},[/tex]

concluímos que [tex]\alpha_i[/tex] é dado por

[tex]\qquad \alpha_i=\dfrac{1}{D}\cdot (A_{1i}b_1+ A_{2i}b_2+A_{3i}b_3+\dots+A_{ni}b_n),[/tex]

ou seja,

[tex]\qquad \alpha_i=\dfrac{1}{D}\cdot D_{\alpha_i}=\dfrac{D_{\alpha_i}}{D}. \;\blacksquare[/tex]

Agora que já compreendemos o Teorema de Cramer, vamos colocar o que aprendemos em prática.

➤ Exemplo 1: Vamos resolver o sistema [tex]\begin{cases}
x&+&y&+&z&=&6 \\
2x&+&3y&-&z&=&5 \\
x&-&y&-&z&=&-4
\end{cases}.[/tex]

Inicialmente, vamos calcular o determinante da matriz [tex]A[/tex] associada ao sistema:

[tex]A=\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 \\
2 & 3 & -1 \\
1 & -1 & -1
\end{bmatrix}.[/tex]

Temos

[tex]D = \det A=\begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 \\
2 & 3 & -1 \\
1 & -1 & -1
\end{vmatrix}
=-3-1-2-3-1+2=-8.[/tex]

Agora, vamos determinar [tex]D_x, D_y[/tex] e [tex]D_z,[/tex] ou seja, os determinantes das matrizes obtidas pela substituição dos termos que são coeficientes de [tex]x, y[/tex] e [tex]z[/tex], respectivamente, pelos termos independentes:

[tex]D_x=\begin{vmatrix}
6 & 1 & 1 \\
5 & 3 & -1 \\
-4 & -1 & -1
\end{vmatrix}
=-18+4-5+12-6+5=-8;[/tex]
[tex]D_y=\begin{vmatrix}
1 & 6 & 1 \\
2 & 5 & -1 \\
1 & -4 & -1
\end{vmatrix}
=-5-6-8-5-4+12=-16;[/tex]
[tex]D_z=\begin{vmatrix}
1 & 1 & 6 \\
2 & 3 & 5 \\
1 & -1 & -4
\end{vmatrix}
=-12+5-12-18+5+8=-24.[/tex]

Finalmente, temos:

[tex]\boxed{x=\dfrac{D_x}{D}=\dfrac{-8}{-8}=1}; \;\;\;\boxed{y=\dfrac{D_y}{D}=\dfrac{-16}{-8}=2};\;\;\;[/tex] e [tex]\;\;\;\boxed{z=\dfrac{D_z}{D}=\dfrac{-24}{-8}=3}.[/tex]

Assim, o sistema resolvido possui solução única [tex](1, 2, 3)[/tex]. Nesse sentido, podemos classificá-lo como Sistema Possível (ou Compatível) e Determinado.

Portanto, escrevemos a solução desse sistema como sendo [tex]\mathcal{S} = \{(1, 2, 3)\}.[/tex]

No exemplo acima obtivemos [tex]D\neq 0,[/tex] mas o que aconteceria se, em vez disso, tívessemos [tex]D=0[/tex]?

Essa é uma excelente pergunta. Embora não consigamos utilizar o teorema de Cramer em casos como esse, podemos tirar conclusões acerca das soluções desse sistema, se é que ele vai ter solução…

Para responder a essa pergunta, vamos analisar, por exemplo, o sistema

[tex]\begin{cases}
ax&+&by&=&c \\
dx&+&ey&=&f
\end{cases},[/tex] onde o determinante da matriz incompleta é [tex]D = 0,[/tex] ou seja, [tex]ae-bd=0.[/tex]

Inicialmente, vamos escalonar o sistema. Para isso, vamos multiplicar a segunda equação por [tex]a,[/tex] obtendo assim o sistema equivalente

[tex]\begin{cases}
ax&+&by&=&c \\
adx&+&aey&=&af
\end{cases}.[/tex]
Agora, multipliquemos a primeira equação por [tex](-d)[/tex] e somemos à segunda equação, obtendo

[tex]\begin{cases}
ax&+&by&=&c \\
aey&-&bdy&=&af-cd
\end{cases}\Longrightarrow \begin{cases}
ax+by&=&c \\
(ae-bd)y&=&af-cd
\end{cases}.[/tex]

Como estamos admitindo [tex]D = 0[/tex] (e portanto [tex]ae-bd=0[/tex]), se na segunda equação tivermos [tex]af-cd\neq 0[/tex] o sistema será impossível, ou seja, se [tex]D_y\neq 0[/tex] o sistema não admite solução.

Se, por outro lado, multiplicássemos a segunda equação do sistema inicial por [tex]b,[/tex] teríamos o sistema equivalente

[tex]\begin{cases}
ax&+&by&=&c \\
bdx&+&bey&=&bf
\end{cases}.[/tex]
Agora, multiplicando a primeira equação por [tex](-e)[/tex] e somando à segunda equação, obtemos

[tex]\begin{cases}
ax&+&by&=&c \\
bdx&-&aex&=&bf-ce
\end{cases}\Longrightarrow \begin{cases}
ax+by&=&c \\
(bd-ae)x&=&bf-ce
\end{cases}.[/tex]

Novamente, como estamos admitindo [tex]D = 0[/tex] (e portanto [tex]bd-ae=0[/tex]), se na segunda equação tivermos [tex]bf-ce\neq 0[/tex] o sistema será impossível, ou seja, se [tex]D_x\neq 0[/tex] o sistema não admite solução.

Isso que acabamos de ver se aplica a qualquer sistema que possui o número de equações igual ao número de incógnitas. Assim, podemos generalizar esse resultado:

Seja [tex]S[/tex] um sistema linear com o número de equações igual ao de incógnitas. Se [tex]D=0[/tex], então o sistema será possível e indeterminado ou impossível:

se [tex]D_{\alpha_i}\neq 0,[/tex] para algum [tex]i\in \{1, 2, 3, \dots, n\},[/tex] então o sistema é impossível;
se [tex]D_{\alpha_i}=0, \forall i\in \{1, 2, 3, \dots, n\},[/tex] então o sistema é possível e indeterminado;

➤ Exemplo 2: Vamos resolver o sistema [tex]\begin{cases}
x&+&y&+&z&=&0 \\
x&-&y&+&z&=&2 \\
x&+&2y&+&z&=&-1
\end{cases}.[/tex]

Inicialmente, vamos calcular o determinante da matriz [tex]A[/tex] associada ao sistema:

[tex]A=\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 \\
1 & -1 & 1 \\
1 & 2 & 1
\end{bmatrix}.[/tex]

Temos

[tex]D=\det A=\begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 \\
1 & -1 & 1 \\
1 & 2 & 1
\end{vmatrix}
=-1+1+2+1-2-1=0.[/tex]

Como obtivemos [tex]D=0[/tex], pelo teorema de Cramer, o sistema não se classifica como possível e determinado. Resta analisar se o sistema é Possível e Indeterminado ou Impossível. Para isso, vamos determinar [tex]D_x, D_y[/tex] e [tex]D_z:[/tex]

[tex]D_x=\begin{vmatrix}
0 & 1 & 1 \\
2 & -1 & 1 \\
-1 & 2 & 1
\end{vmatrix}=0-1+4-1-0-2=0.[/tex]
[tex]D_y=\begin{vmatrix}
1 & 0 & 1 \\
1 & 2 & 1 \\
1 & -1 & 1
\end{vmatrix}=2-0-1-2+1-0=0.[/tex]
[tex]D_z=\begin{vmatrix}
1 & 1 & 0 \\
1 & -1 & 2 \\
1 & 2 & -1
\end{vmatrix}=1+2+0+0-4+1=0.[/tex]

Como encontramos [tex]D_x=D_y=D_z=0,[/tex] neste caso o sistema é classificado como Sistema Possível e Indeterminado, ou seja, o sistema possui infinitas soluções.

E como achar essas infinitas soluções?

Sem perda de generalidade, tomamos [tex]z[/tex] como a variável livre — isto é, aquela que pode assumir qualquer valor real — e determinamos as demais variáveis em função dessa escolha. Porém, utilizaremos apenas duas das três equações. Dessa forma, nosso sistema se torna o seguinte:

[tex]\begin{cases}
x&+&y&=&-z \\
x&-&y&=&2-z
\end{cases}.[/tex]

Agora, adicionando as duas equações, obtemos:

[tex]2x=2-2z\Rightarrow \boxed{x=1-z}[/tex]

e substituindo esse valor de [tex]x[/tex] na primeira equação, obtemos o valor correspondente de [tex]y[/tex]:

[tex]1-z+y=-z\Rightarrow \boxed{y=-1}.[/tex]

Finalmente, a solução do sistema é dada pelo terno ordenado [tex](x, y, z)=(1-z, -1, z)[/tex], onde [tex]z\in \mathbb{R}[/tex] é a variável livre.

Para cada valor real de [tex]z[/tex], temos um terno que é solução do sistema, por isso há infinitas soluções nesse tipo de sistema. Por exemplo,

para [tex]z=0,[/tex] encontramos a solução [tex](1, -1, 0)[/tex];
para [tex]z=1,[/tex] encontramos a solução [tex](0, -1, 1)[/tex];
para [tex]z=-1,[/tex] encontramos a solução [tex](2, -1, -1)[/tex], e assim sucessivamente.

Portanto, escrevemos o conjunto solução desse sistema como sendo [tex]\mathcal{S}=\{(1-z, -1, z); z\in \mathbb{R}\}.[/tex]

➤ Exemplo 3: Vamos resolver o sistema [tex]\begin{cases}
x&+&y&+&z&=&2 \\
2x&+&3y&+&z&=&5 \\
3x&+&4y&+&2z&=&8
\end{cases}.[/tex]

Inicialmente, vamos calcular o determinante da matriz [tex]A[/tex] associada ao sistema:

[tex]A=\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 \\
2 & 3 & 1 \\
3 & 4 & 2
\end{bmatrix}.[/tex]

Logo,

[tex]D=\det A=\begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 \\
2 & 3 & 1 \\
3 & 4 & 2
\end{vmatrix}
=6+3+8-9-4-4=0.[/tex]

[tex]D_x=\begin{vmatrix}
2 & 1 & 1 \\
5 & 3 & 1 \\
8 & 4 & 2
\end{vmatrix}=12+8+20-24-8-10=-2.[/tex]

Como encontramos [tex]D_x\neq 0,[/tex] já podemos parar por aqui, pois neste caso o sistema é classificado como Sistema Impossível (ou Incompatível), ou seja, o conjunto solução é [tex]\mathcal{S} = \emptyset[/tex].

Interpretação Geométrica de Sistemas Lineares com Duas Variáveis

Consideremos um sistema linear com duas equações e duas incógnitas:

[tex]
\begin{cases}
ax&+&by&=&c \\
dx&+&ey&=&f
\end{cases},[/tex]
onde [tex]a, b, c, d, e, f[/tex] são constantes reais e [tex]x, y[/tex] são as duas incógnitas.

A interpretação geométrica desse sistema está associada à representação das equações como retas no plano cartesiano.

Casos Possíveis

➤ Sistema Possível e Determinado (SPD): Se as duas equações representam retas distintas e concorrentes, então o sistema possui uma única solução, que corresponde ao ponto de interseção das retas.

Exemplo: Observe o sistema [tex]
\begin{cases}
x&+&y&=&4 \\
x&-&y&=&0
\end{cases}.[/tex]
As retas das equações do sistema estão representadas abaixo.

Perceba que a única intersecção das retas ocorre no ponto [tex]A=(2, 2)[/tex], ou seja, o sistema admite uma única solução e, portanto, é Possível (ou Compatível) e Determinado. Sua solução é [tex]\mathcal{S}=\{(2, 2)\}[/tex].

➤ Sistema Possível e Indeterminado (SPI): Se as duas equações representam a mesma reta, ou seja, uma equação é múltipla da outra, então o sistema possui infinitas soluções, correspondendo a todos os pontos dessa reta.

Exemplo: Observe o sistema [tex]
\begin{cases}
x&+&y&=&4 \\
2x&+&2y&=&8
\end{cases}.[/tex]
As retas das equações do sistema estão representadas abaixo.

Perceba que as duas retas coincidem, ou seja, o sistema admite uma infinidade de soluções, e, portanto, é Possível (ou Compatível) e Indeterminado, e sua solução é [tex]\mathcal{S}=\{(4-y, y); y\in \mathbb{R}\}[/tex].

➤ Sistema Impossível (SI): Se as equações representam retas paralelas distintas, então não existe solução, pois as retas nunca se interceptam.

Exemplo: Observe o sistema [tex]
\begin{cases}
x&+&y&=&4 \\
x&+&y&=&5
\end{cases}.[/tex]
As retas das equações do sistema estão representadas abaixo.

Perceba que as duas retas não se intersectam, ou seja, o sistema não admite nenhuma solução, e, portanto, é Impossível (ou Incompatível), e sua solução é [tex]\mathcal{S}=\emptyset[/tex].

Determinação das Condições

Dado o sistema linear com duas incógnitas

[tex]
\begin{cases}
ax&+&by&=&c \\
dx&+&ey&=&f
\end{cases},[/tex]

onde [tex]a, b, c, d, e, f[/tex] são constantes reais e [tex]x, y[/tex] são as variáveis desconhecidas, sua classificação quanto ao número de soluções pode ser feita a partir dos coeficientes das equações:

➤ Se [tex]\dfrac{a}{d}\neq \dfrac{b}{e}[/tex], as retas são concorrentes e o sistema é SPD;
➤ Se [tex]\dfrac{a}{d}=\dfrac{b}{e}=\dfrac{c}{f}[/tex], as equações são da mesma reta e o sistema é SPI;
➤ Se [tex]\dfrac{a}{d}=\dfrac{b}{e}\neq \dfrac{c}{f}[/tex], as retas são paralelas e distintas, tornando o sistema SI.

A interpretação geométrica de um sistema linear com duas incógnitas é uma ferramenta fundamental para compreender sua solução. Ao visualizar as equações como retas no plano, podemos identificar rapidamente a existência e a quantidade de soluções, facilitando a análise e resolução do sistema.

Equipe COM – OBMEP

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