.Sala de Estudo: Sistemas Lineares – Escalonamento
Escalonamento
Há vários métodos de resolução de sistemas lineares, dentre os quais temos os métodos da adição, substituição, comparação e o método gráfico. Abordaremos nessa Sala de Estudos o método do escalonamento — também conhecido como método da eliminação de Gauss — e o Teorema de Cramer.
Para que seja possível aplicar o método do escalonamento, é necessário compreender a forma que um sistema linear deve assumir ao final das transformações. Dessa forma, apresentamos a seguir a definição de sistema linear escalonado.
em que em cada equação existe pelo menos um coeficiente não nulo, dizemos que [tex]S[/tex] está na forma escalonada, se o número de coeficientes nulos, antes do primeiro coeficiente não nulo, aumenta de equação para equação.
Exemplo: Os seguintes sistemas estão todos na forma escalonada:
➤[tex]S_1: \begin{cases}
x & + & y & + & 3z & = & 1\\
& & y & – & z & = & 4\\
& & & & 2z & = & 5
\end{cases};[/tex]
➤[tex]S_2: \begin{cases}
x & – & 4y & + & z & = & 5\\
& & 2y & – & z & = & 0
\end{cases};[/tex]
➤[tex]S_3:\begin{cases}
4x & – & y & + & z & + & t & + & w & = & 1\\
& & & & z & – & t & + & w & = & 0\\
& & & & & & 2t & – & w & = & 1
\end{cases}.[/tex]
Antes de apresentar o método do escalonamento, precisamos de uma importante definição.
Dizemos que dois sistemas lineares [tex]S_1[/tex] e [tex]S_2[/tex] são equivalentes se toda solução de [tex]S_1[/tex] for solução de [tex]S_2[/tex] e toda solução de [tex]S_2[/tex] for solução de [tex]S_1[/tex].
Exemplo: O sistema [tex]S_1: \begin{cases}
x&+&3y&=&4 \\
2x&+&y&=&3
\end{cases}[/tex] admite [tex](1, 1)[/tex] como única solução. Da mesma forma, o sistema [tex]S_2: \begin{cases}
5x&+&3y&=&8 \\
7x&+&2y&=&9
\end{cases}[/tex] também admite [tex](1, 1)[/tex] como única solução, e, portanto, são equivalentes.
Uma vez que sistemas equivalentes possuem as mesmas soluções (ou ambos não têm nenhuma), transformaremos um sistema linear qualquer em outro equivalente, mas na forma escalonada. Ao fazermos o escalonamento de um sistema, tornamos o mesmo mais fácil de ser resolvido.
Para executarmos o escalonamento de um sistema, precisamos de dois importantes teoremas.
Teorema 1
Multiplicando-se os membros de uma equação qualquer de um sistema linear [tex]S[/tex] por um número [tex]k\neq 0[/tex], obtemos um novo sistema [tex]S'[/tex] equivalente a [tex]S[/tex].
Perceba que a única diferença entre [tex]S[/tex] e [tex]S'[/tex] é a [tex]i[/tex]-ésima equação.
Inicialmente, suponhamos que [tex](\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n)[/tex] é uma solução de [tex]S[/tex]. Provemos que ela também será solução de [tex]S'[/tex]. Por hipótese, [tex]a_{i1}\alpha_1 + a_{i2}\alpha_2 + \dots + a_{in}\alpha_n=b_i[/tex].
Substituindo [tex](\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n)[/tex] no primeiro membro da [tex]i[/tex]-ésima equação de [tex]S'[/tex], teremos:
o que prova que [tex](\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n)[/tex] satisfaz a [tex]i[/tex]-ésima equação de [tex]S'[/tex]. Logo [tex](\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n)[/tex] é solução de [tex]S'[/tex].
Reciprocamente, suponhamos que [tex](\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n)[/tex] é uma solução de [tex]S'[/tex] e provemos que ela também será solução de [tex]S[/tex]. Por hipótese, [tex]ka_{i1}\alpha_1 + ka_{i2}\alpha_2 + \dots + ka_{in}\alpha_n=kb_i[/tex].
Substituindo [tex](\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n)[/tex] no primeiro membro da [tex]i[/tex]-ésima equação de [tex]S[/tex], teremos:
o que prova que [tex](\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n)[/tex] satisfaz a [tex]i[/tex]-ésima equação de [tex]S[/tex]. Assim, [tex](\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n)[/tex] é solução de [tex]S[/tex].[tex]\blacksquare[/tex]
Teorema 2
Se substituirmos uma equação de um sistema linear [tex]S[/tex] pela soma, membro a membro, desta equação com outra do mesmo sistema, o novo sistema obtido, [tex]S'[/tex], será equivalente a [tex]S[/tex].
Inicialmente, suponhamos que [tex](\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n)[/tex] é uma solução de [tex]S[/tex]. Provemos que ela também será solução de [tex]S'[/tex]. De fato, por hipótese:
o que prova que [tex](\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n)[/tex] satisfaz a [tex]i[/tex]-ésima equação de [tex]S'[/tex]. Logo, [tex](\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n)[/tex] é solução de [tex]S'[/tex].
Agora, suponhamos que [tex](\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n)[/tex] é uma solução de [tex]S'[/tex] e provemos que ela também será solução de [tex]S[/tex]. De fato, por hipótese:
o que prova que [tex](\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n)[/tex] satisfaz a [tex]i[/tex]-ésima equação de [tex]S[/tex]. Assim, [tex](\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n)[/tex] é solução de [tex]S[/tex]. [tex]\blacksquare[/tex]
Enfim, de posse desses resultados, podemos abordar o primeiro método de resolução dos sistemas lineares.
Escalonamento de um Sistema Linear
Alguns passos devem ser seguidos para podermos escalonar um sistema linear. Vamos a eles!
1º PASSO: Colocamos como 1ª equação aquela em que o coeficiente da 1ª incógnita seja diferente de zero;
2º PASSO: Anulamos o coeficiente da 1ª incógnita de todas as equações (com exceção da 1ª), substituindo a [tex]i[/tex]-ésima equação [tex](i\geq 2)[/tex] pela soma desta com a 1ª multiplicada por um número conveniente;
3º PASSO: Deixamos de lado a 1ª equação e aplicamos o 1º e o 2º passos nas equações restantes;
4º PASSO: Deixamos de lado a 1ª e a 2ª equações e aplicamos o 1º e o 2º passos nas equações restantes, e assim por diante, até o sistema ficar escalonado.
Vamos praticar?
Exemplo 1: Resolva o sistema [tex]\left\{\begin{array}{rcrcrcl}
x &+ & y & + & z & =& 4 \\
x &+ & y & – & z & =& 8 \\
x &- & 2y & – & 3z & = &2
\end{array}\right.[/tex] pelo método do escalonamento.
Inicialmente, deixaremos o sistema com as equações na ordem que estão colocadas, pois não há necessidade de modificar a primeira equação.
Vamos substituir a segunda equação pela soma da primeira equação multiplicada por [tex]-1[/tex] com a segunda equação.
Daí, o sistema se torna: [tex]\left\{\begin{array}{rcrcrcl}
x &+ & y & + & z & =& 4 \\
0x &+ & 0y & – & 2z & =& 4 \\
x &- & 2y & – & 3z & = &2
\end{array}\right.[/tex].
Agora, vamos substituir a terceira equação pela soma da primeira equação multiplicada por [tex]-1[/tex] com a terceira equação.
Daí, o sistema se torna: [tex]\left\{\begin{array}{rcrcrcl}
x &+ & y & + & z & =& 4 \\
0x &+ & 0y & – & 2z & =& 4 \\
0x &- & 3y & – & 4z & = &-2
\end{array}\right.[/tex].
Para obtermos o sistema escalonado, vamos permutar a posição da segunda e da terceira equação. Assim, temos nosso sistema escalonado:
Dessa forma, o sistema é possível e determinado porque possui apenas a solução [tex]\mathcal{S}=\left\{\left(\dfrac{8}{3}, \dfrac{10}{3}, -2\right)\right\}.[/tex]
Exemplo 2: Resolva o sistema [tex]\left\{
\begin{array}{rcrcrcrcl}
x &+ & y & – & 3z &+& w& =& 1 \\
3x &+ & 3y & + & z & +& 2w&=& 0 \\
2x &+ & y & + & z & -& 2w&= &4
\end{array}
\right.[/tex] pelo método do escalonamento.
Inicialmente, deixaremos o sistema com as equações na ordem que estão colocadas, pois não há necessidade de modificar a primeira equação.
Vamos substituir a segunda equação pela soma da primeira equação multiplicada por [tex]-3[/tex] com a segunda equação.
Daí, o sistema se torna: [tex]\left\{
\begin{array}{rcrcrcrcl}
x &+ & y & – & 3z &+& w& =& 1 \\
0x &+ & 0y & + & 10z & -& w&=& -3 \\
2x &+ & y & + & z & -& 2w&= &4
\end{array}
\right.[/tex].
Agora, vamos substituir a terceira equação pela soma da primeira equação multiplicada por [tex]-2[/tex] com a terceira equação.
Daí, o sistema se torna: [tex]\left\{
\begin{array}{rcrcrcrcl}
x &+ & y & – & 3z &+& w& =& 1 \\
0x &+ & 0y & + & 10z & -& w&=& -3 \\
0x &- & y & + & 7z & -& 4w&= &2
\end{array}
\right.[/tex].
Vamos permutar a segunda e a terceira equação. Assim, temos nosso sistema escalonado:
Como cada valor diferente atribuído a [tex]w[/tex] gera uma solução distinta para o sistema, dizemos que este é um sistema possível e indeterminado.
Exemplo 3: Resolva o sistema [tex]\left\{
\begin{array}{rcrcl}
3x &- & y & =& 15 \\
x &+ & 4y & =& -8 \\
10x &- & 12y & = &7
\end{array}
\right.[/tex] pelo método do escalonamento.
Inicialmente, trocaremos as posições da primeira equação e da segunda. Dessa forma, temos: [tex]\left\{
\begin{array}{rcrcl}
x &+ & 4y & =& -8 \\
3x &- & y & =& 15 \\
10x &- & 12y & = &7
\end{array}
\right.[/tex]
Vamos substituir a segunda equação pela soma da primeira equação multiplicada por [tex]-3[/tex] com a segunda equação.
Daí, o sistema se torna: [tex]\left\{
\begin{array}{rcrcl}
x &+ & 4y & =& -8 \\
0x &- & 13y & =& 39 \\
10x &- & 12y & = &7
\end{array}
\right.[/tex].
Agora, vamos substituir a terceira equação pela soma da primeira equação multiplicada por [tex]-10[/tex] com a terceira equação.
Daí, o sistema se torna: [tex]\left\{
\begin{array}{rcrcl}
x &+ & 4y & =& -8 \\
0x &- & 13y & =& 39 \\
0x &- & 52y & = &87
\end{array}
\right.[/tex].
Agora, vamos substituir a terceira equação pela soma da segunda equação multiplicada por [tex]-4[/tex] com a terceira equação.
Daí, o sistema se torna: [tex]\left\{
\begin{array}{rcrcl}
x &+ & 4y & =& -8 \\
0x &- & 13y & =& 39 \\
0x &+ & 0y & = &-69
\end{array}
\right.[/tex].
Perceba que a terceira equação não é satisfeita por nenhum valor de [tex]x[/tex] nem de [tex]y[/tex]. Dizemos, portanto, que o sistema é impossível, ou seja, [tex]\mathcal{S}=\emptyset[/tex].
De forma geral, como pudemos observar nos três exemplos apresentados, um sistema pode ser classificado de acordo com o número de soluções que admite, da seguinte forma:
