.Sala de Estudo: Sistemas Lineares – Problemas

Problemas
Problema 1

Escreva na forma matricial os seguintes sistemas:

a) [tex]\begin{cases}
ax&+&by&+&cz&=&d \\
-mx&+&ny& & &=&e \\
abx&-&b^2y&+&mz&=&f
\end{cases}[/tex]

b) [tex]\begin{cases}
ax&-&by&+&2z&=&1 \\
a^2x&-&by&+&z&=&3
\end{cases}[/tex]

a) [tex] \begin{bmatrix}
a & b & c \\
-m & n & 0\\
ab & -b^2 & m
\end{bmatrix}
\cdot
\begin{bmatrix}
x \\
y \\
z
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
d \\
e \\
f
\end{bmatrix}[/tex]

b) [tex] \begin{bmatrix}
a & -b & 2 \\
a^2 & -b & 1
\end{bmatrix}
\cdot
\begin{bmatrix}
x \\
y \\
z
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1 \\
3
\end{bmatrix}[/tex]

Problema 2

Verifique se [tex](1, 0, -2, 1)[/tex] é solução do sistema [tex]\begin{cases}
5x&+&3y&-&2z&-&4t&=&5 \\
2x&-&4y&+&3z&-&5t&=&-9 \\
-x&+&2y&-&5z&+&3t&=&12
\end{cases}.[/tex]

Substituindo [tex](1, 0, -2, 1)[/tex] nas equações do sistema, temos:
[tex]\qquad 5\cdot 1+3\cdot 0 -2\cdot (-2)-4\cdot 1=5[/tex];
[tex]\qquad 2\cdot 1-4\cdot 0 +3\cdot (-2)-5\cdot 1=-9[/tex];
[tex]\qquad -1+2\cdot 0 -5\cdot (-2)+3\cdot 1=12[/tex].
Como [tex](1, 0, -2, 1)[/tex] satisfaz todas as equações, então é solução do sistema.

Problema 3

Resolva os sistemas pelo Teorema de Cramer:

a) [tex]\begin{cases}
-x&-&4y&=&0 \\
3x&+&2y&=&5
\end{cases}[/tex]

b) [tex]\begin{cases}
-x&+&y&-&z&=&5 \\
x&+&2y&+&4z&=&4 \\
3x&+&y&-&2z&=&-3
\end{cases}[/tex]

a) [tex]\mathcal{S}=\left\{\left(2, -\dfrac{1}{2}\right)\right\}.[/tex]
b) [tex]\mathcal{S}= \{(-2, 3, 0)\}.[/tex]

Problema 4

Resolva o sistema [tex]\begin{cases}
x&+&y&+&z&+&w&=&2 \\
x&+&2y& & & -&w&=&4 \\
2x&-&y&+&z&-&w&=&-3 \\
-4x&+&y&-&z&+&2w&=&4
\end{cases}.[/tex]

[tex]\mathcal{S}=\left\{\left(-\dfrac{1}{2},\dfrac{9}{4},\dfrac{1}{4},0\right)\right\}.[/tex]

Problema 5

Resolva o sistema pela regra de Cramer: [tex]\begin{cases}
x+y+z&=&1 \\
\dfrac{2x-y}{3z+2}=\dfrac{z+1}{2x+y}&=&1
\end{cases}.[/tex]

[tex]\mathcal{S}=\left \{\left(\dfrac{3}{2}, -\dfrac{5}{4} , \dfrac{3}{4}\right) \right \}.[/tex]

Problema 6

Resolva o sistema pela regra de Cramer:

[tex]\begin{cases}
\dfrac{2}{x}&-&\dfrac{1}{y}&-&\dfrac{1}{z}&=&-1 \\
\dfrac{1}{x}&+&\dfrac{1}{y}&+&\dfrac{1}{z}&=&0 \\
\dfrac{3}{x}&-&\dfrac{2}{y}&+&\dfrac{1}{z}&=&4
\end{cases}.[/tex]

Sugestão: Faça [tex]\dfrac{1}{x}=x’; \dfrac{1}{y}=y’; \dfrac{1}{z}=z’.[/tex]

[tex]\mathcal{S}=\left \{\left(-3, -\dfrac{9}{14} , \dfrac{9}{17}\right) \right \}.[/tex]

Problema 7

Resolva e classifique o sistema:

[tex]\begin{cases}
x&+&y&=&3 \\
3x&-&2y&=&-1 \\
2x&-&3y&=&-4
\end{cases}.[/tex]

[tex]\mathcal{S}=\{(1, 2)\}[/tex], SPD.

Problema 8

Resolva e classifique o sistema:

[tex]\begin{cases}
-x&+&y&-&2z& & &=&1 \\
2x&-&y& & &+&3w&=&2 \\
x&-&2y&+&z&-&2w&=&0
\end{cases}.[/tex]

[tex]\mathcal{S}=\{(-12-13\alpha, -11-11\alpha, \alpha, 5+5\alpha); \alpha \in \mathbb{R}\}[/tex], SPI.

Problema 9

Resolva e classifique o sistema:

[tex]\begin{cases}
x&+&3y&+&2z&=&2 \\
3x&+&5y&+&4z&=&4 \\
5x&+&3y&+&4z&=&-10
\end{cases}.[/tex]

[tex]\mathcal{S}=\emptyset[/tex], SI.

Problema 10

Discuta o sistema [tex]\begin{cases}
ax&+&3ay&=&0 \\
2x&+&ay&=&4
\end{cases}.[/tex]

  • Para [tex]a \neq 0[/tex] e [tex]a \neq 6[/tex], o sistema é SPD;
  • Para [tex]a = 0[/tex], o sistema é SPI;
  • Para [tex]a = 6[/tex], o sistema é SI.

Problema 11

Discuta o sistema [tex]\begin{cases}
x&-&y&=&2 \\
2x&+&ay&=&b
\end{cases}.[/tex]

  • Para [tex]a \neq -2[/tex], o sistema é SPD;
  • Para [tex]a = -2[/tex] e [tex]b = 4[/tex], o sistema é SPI;
  • Para [tex]a = 6[/tex] e [tex]b \neq 4[/tex], o sistema é SI.

Problema 12

Resolva o sistema [tex]\begin{cases}
mx&+&y&=&2 \\
x&-&y&=&m \\
x&+&y&=&2
\end{cases}.[/tex]

  • Para [tex]m=1[/tex], o sistema é SPD e sua solução é [tex]\left(\dfrac{3}{2},\dfrac{1}{2}\right)[/tex];
  • Para [tex]m=-2[/tex], o sistema é SPD e sua solução é [tex](0,2)[/tex];
  • Para [tex]m \neq 1[/tex] e [tex]m \neq -2[/tex], o sistema é SI.

Problema 13

Mostre que o sistema [tex]\begin{cases}
x&+&my&+&(m-1)z&=&1 \\
(m-1)x&+&y&+&mz&=&1 \\
mx&+&(m-1)y&+&z&=&1
\end{cases}[/tex] é determinado para todo [tex]m[/tex] real não nulo.

O determinante da matriz incompleta é [tex]D=2m(m^2-3m+3)[/tex]. Como [tex]m^2-3m+3>0, \forall m \in \mathbb{R}[/tex], então [tex]D=0 \iff m=0[/tex].Portanto, [tex]\forall m \in \mathbb{R^*}, D \neq 0[/tex] e o sistema é SPD.

Problema 14

Estude o sistema [tex]\begin{cases}
k(x+y)&+&z&=&0 \\
k(y+z)&+&x&=&0 \\
k(z+x)&+&y&=&0
\end{cases}.[/tex]

O determinante da matriz incompleta é [tex]D=(k-1)^2(2k+1)[/tex]. Portanto, para [tex]k \neq 1 \text{ e } k \neq -\dfrac{1}{2}[/tex], o sistema é SPD e para [tex]k=1 \text{ ou } k=-\dfrac{1}{2}[/tex] o sistema é SPI.

Problema 15

Dado o sistema [tex]\begin{cases}
x&+&my&+&z&=&0 \\
x&+&y&+&z&=&0 \\
mx&+&y&+&z&=&0
\end{cases},[/tex] determine [tex]m[/tex] de modo que admita solução própria e resolva-o.

[tex]m=1[/tex] e a solução é dada por [tex]\mathcal{S}=\{(-\alpha -\beta, \alpha, \beta); \alpha, \beta \in \mathbb{R} \}[/tex].

Problema 16

Determine os valores reais de [tex]m[/tex] para os quais o sistema abaixo admite solução não trivial.

[tex]\begin{cases}
-(m+1)^3x_1&+&(-m-1)^2x_2&+&(-m-1)x_3&+&x_4&=&0 \\
-(m+2)^3x_1&+&(-m-2)^2x_2&+&(-m-2)x_3&+&x_4&=&0 \\
(m+1)^3x_1&+&(m+1)^2x_2&+&(m+1)x_3&+&x_4&=&0 \\
(m^2+1)^3x_1&+&(m^2+1)^2x_2&+&(m^2+1)x_3&+&x_4&=&0
\end{cases}.[/tex]

O determinante da matriz incompleta é [tex]D= (-1)\cdot(2m+2)\cdot(2m+3)\cdot(m^2+m+2)\cdot(m^2+m+3)\cdot(m^2-m)[/tex]. Daí,

[tex]D=0 \iff \begin{cases}
2m+2=0, \text{ isto é, } m=-1, \text{ ou } \\
2m+3=0, \text{ isto é, } m=-\dfrac{3}{2}, \text{ ou } \\
m^2-m=0, \text{ isto é, } m=0 \text{ ou } m=1 \end{cases},[/tex] pois [tex]m^2+m+2\gt 0, \forall m\in \mathbb{R}[/tex] e [tex]m^2+m+3\gt 0, \forall m\in \mathbb{R}[/tex]. Portanto, [tex]m \in \left \{-\dfrac{3}{2}, -1, 0, 1\right \}.[/tex]

Problema 17

Determine os valores de [tex]k[/tex] para os quais o sistema abaixo seja indeterminado e impossível.

[tex]\begin{cases}
-x&+&2y&+&kz&=&1 \\
kx&+&4y&-&4z&=&2 \\
2x&+&y&+&z&=&-2k
\end{cases}.[/tex]

  • SPI [tex]\iff k=-2[/tex];
  • SI [tex]\iff k=12[/tex].

Problema 18

Resolva o sistema [tex]\begin{cases}
2^x\cdot 2^y \cdot 2^z&=&8 \\
3^x \cdot 3^z &=& 3^9 \cdot 9^y \\
125^y \cdot 5^x &=& 5^z
\end{cases}.[/tex]

[tex]\mathcal{S}=\left\{\left(\dfrac{11}{2},-2,-\dfrac{1}{2}\right)\right\}.[/tex]

Problema 19

Quais as condições para que o sistema [tex]\begin{cases}
(k_1+k_2)x&+&(k_2-k_3)y&+&(k_1-k_3)z&=&0 \\
(k_2-k_1)x&+&(k_2+k_3)y&+&(k_3-k_1)z&=&0 \\
(k_1-k_2)x&+&(k_3-k_2)y&+&(k_3+k_1)z&=&0
\end{cases}[/tex] só admita solução trivial?

[tex]D \neq 0 \iff k_1 \neq 0, k_2 \neq 0 \text{ e } k_3 \neq 0.[/tex]

Problema 20

(ITA) Sendo [tex]x, y, z, w[/tex] números reais, encontre o conjunto-solução do sistema:

[tex]\begin{cases}
\log \left[(x+2y)(w-3z)^{-1}\right]&=&0 \\
2^{x+3z}-8\cdot 2^{y-3z+w} &=&0 \\
\sqrt[3]{2x+y+6z-2w}-2&=&0
\end{cases}.[/tex]

[tex]\mathcal{S}=\left \{\left (\dfrac{31}{3}+k, -\dfrac{8}{3}, -\dfrac{5}{3}, k\right); \forall k \neq -5 \right \}.[/tex]

Equipe COM – OBMEP

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