Sala de Estudo: Uma maneira diferente de resolver problemas do 1° grau

Uma maneira diferente de resolver problemas do 1° grau


Já parou para pensar em alguma maneira de resolver uma equação do [tex]1^\circ[/tex] grau com uma incógnita de uma forma não convencional?

Pois é! Essa pergunta pode ser intrigante do ponto de vista matemático quando alunos que ainda não começaram a estudar equações se propõem a resolver determinados problemas de matemática.
Mas será que existe um método que permita a modelagem de um problema sem a necessidade de equacionar a situação que gerou esse problema?
A resposta é sim e vamos aprender como fazer isso nesta Sala de Estudos.




Será que é possível resolver o problema
Determine cinco números naturais pares consecutivos cuja soma seja 80.
sem usar equações?

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Não só é possível como vamos resolvê-lo. Mas, para que todos entendam direitinho o método que vamos utilizar, começaremos com situações mais simples.
Acompanhem com atenção a discussão que se segue. Em cada situação apresentada, resolveremos o problema utilizando o nosso método alternativo e, em seguida, resolveremos o problema utilizando equações, para que quem sabe utilizá-las possa conferir suas soluções.

Situação 1


A soma de dois números naturais é [tex]50[/tex], sendo um deles [tex]10[/tex] unidades maior que o outro. Calcule os dois números.

Bom, o procedimento proposto é simples.

  • Como a soma dos dois números é [tex]50[/tex], desenhe um quadrado e dentro dele coloque o [tex]50[/tex].

  • Agora, como queremos dois números e um tem [tex]10[/tex] unidades a mais que o outro, chamamos um deles de "quadradinho", o segundo de "quadradinho mais [tex]10[/tex]" e montamos o seguinte esquema para distribuirmos as [tex]50[/tex] unidades:

  • A princípio, poderíamos pensar que teríamos que distribuir [tex]50[/tex] unidades entre os dois quadradinhos; mas perceba que [tex]10[/tex] das [tex]50[/tex] unidades a serem distribuídas já estão, digamos, comprometidas.
    Analisando o esquema acima, observamos que podemos descontar [tex]10[/tex] unidades das [tex]50[/tex] iniciais, [tex]50-10=40, \, [/tex] e dividir as unidades restantes entre os dois quadradinhos, [tex]40\div 2=20 \, [/tex].
    Pronto, esse resultado corresponde ao valor do quadradinho.
  • Obtemos, então, os dois números escrevendo:


Portanto, os números são [tex]20[/tex] e [tex]30[/tex].

(Observe que o esquema completo permite facilmente verificarmos que as condições do problema foram satisfeitas.)

  • A primeira coisa que alguém que saiba trabalhar com equações faz quando se depara com essa situação é chamar um dos números de [tex] \fcolorbox{black}{#b8c7d9}{$x$}[/tex] e o outro de [tex]\fcolorbox{black}{#b8c7d9}{$x+10$}[/tex].
  • Assim, equacionando a situação, obtemos [tex] \, \boxed{x+(x+10)=50}[/tex].
  • A segunda etapa é resolver a equação obtida:
    [tex]\qquad x+(x+10)=50[/tex]
    [tex]\qquad 2x=50-10[/tex]
    [tex]\qquad 2x=40[/tex]
    [tex]\qquad x=20[/tex].

Dessa forma, os números pedidos são [tex]20[/tex] e [tex]30[/tex].

Vamos ver outra situação?

Situação 2


Francimar e Noemi colecionaram as figurinhas do álbum do campeonato brasileiro de futebol de [tex]2016[/tex]. Ao final do ano, os dois tinham juntos [tex]296[/tex] figurinhas, sendo que Noemi possuía o dobro do número de figuras que Francimar possuía, menos [tex]40[/tex].
Quantas figurinhas cada um colecionou?

  • Uma vez que Francimar e Noemi possuem juntos [tex]296[/tex] figurinhas, desenhamos um quadrado e dentro dele colocamos o número [tex]296[/tex], que é a quantidade de figurinhas que iremos distribuir.

  • Digamos que o número de figurinhas de Francimar seja representado por um "quadradinho", então a quantidade de figurinhas que tem Noemi será representada por "dois quadradinhos menos [tex]40[/tex]" e, assim, montamos o seguinte esquema:

  • Observe que não podemos distribuir o total de [tex]296[/tex] figurinhas igualmente entre os três quadradinhos pequenos (um do Francimar e dois da Noemi), pois Noemi não tem exatamente o dobro de figurinhas que tem o Francimar: faltam-lhe [tex]40[/tex] figurinhas para que ela tenha o dobro.
    Assim, vamos somar [tex]40[/tex] figurinhas ao total de [tex]296,[/tex] [tex]40+296=336, \, [/tex] e dividir esse resultado por [tex]3[/tex], obtendo [tex]336\div 3=112.[/tex] (Note que, após a distribuição das figurinhas nos quadradinhos, as [tex]40[/tex] figurinhas acrescentadas serão retiradas da cota de figurinhas da Noemi.)
    O resultado da divisão corresponde, então, ao valor do quadradinho.
  • Obtemos a quantidade de figurinhas do Francimar e da Noemi escrevendo:


Portanto, Francimar colecionou [tex]112[/tex] figurinhas e, Noemi, [tex]184,[/tex] totalizando as [tex]296[/tex] figurinhas.

  • Considere que Francimar tinha [tex]\fcolorbox{black}{#b8c7d9}{$x$}[/tex] figurinhas; então, Noemi tinha [tex]\fcolorbox{black}{#b8c7d9}{$2x-40$}[/tex] figurinhas.
  • Equacionando a situação, temos que [tex]\boxed{x+(2x-40)=296}[/tex].
  • Vamos então resolver a equação:
    [tex]\qquad x+(2x-40)=296[/tex]
    [tex]\qquad 3x=296+40[/tex]
    [tex]\qquad 3x=336[/tex]
    [tex]\qquad x=112.[/tex]

Logo, Francimar tinha [tex]112[/tex] figurinhas e, Noemi, [tex]2\times 112-40=184 \, [/tex] figurinhas.

Vamos continuar exercitando!

O próximo é o meu problema…

Situação 3


A soma de cinco números consecutivos pares é [tex]80[/tex]. Determine os números.

  • Como a soma dos cinco números pares e consecutivos é [tex]80[/tex], desenhamos um retângulo e dentro dele colocamos o [tex]80[/tex]: é a quantidade de unidades que temos que distribuir.

  • Os cinco números pares consecutivos serão "quadradinho", "quadradinho mais dois", "quadradinho mais quatro", "quadradinho mais seis", "quadradinho mais oito". O esquema para visualizar o problema e fazer a distribuição das [tex]80[/tex] unidades fica assim:

  • Agora, temos que distribuir as [tex]80[/tex] unidades. Mas note, pelo esqueminha acima, que [tex]2+4+6+8=20[/tex] unidades já têm “endereço certo”; assim, subtraímos [tex]20[/tex] unidades das [tex]80[/tex], [tex]80-20=60[/tex], e dividimos, então, esse resultado pela quantidade de quadradinhos pequenos que é [tex]5[/tex], [tex]60 \div 5=12[/tex].
    O resultado corresponde, portanto, ao valor de cada quadradinho.
  • Substituindo, então, as unidades correspondentes de cada quadradinho, obtemos o resultado final:


Os cinco números pedidos são [tex]12, 14, 16, 18, 20.[/tex]


Quem sabe trabalhar com P.A. – progressão aritmética – pode também utilizar esses esqueminhas para solucionar este problema. Para isso, como temos um número ímpar de termos (cinco termos), chamamos o termo central de "quadradinho" e os demais termos seriam "quadradinho menos dois", "quadradinho menos quatro", "quadradinho mais dois" e "quadradinho mais quatro". Dessa forma, podemos utilizar o seguinte esquema fazer a distribuição das [tex]80[/tex] unidades:

Como os números a serem somados e subtraídos antes de distribuirmos as [tex]80[/tex] unidades se anulam, o valor do quadradinho seria [tex]80 \div 5=16[/tex], o que nos fornece o seguinte esquema da solução final:


  • Chamando o menor dos números de [tex]\fcolorbox{black}{#b8c7d9}{$x$}[/tex], os demais serão [tex]\fcolorbox{black}{#b8c7d9}{$x+2$} \, , \fcolorbox{black}{#b8c7d9}{$x+4$} \, , \fcolorbox{black}{#b8c7d9}{$x+6$} \, , \fcolorbox{black}{#b8c7d9}{$x+8$} \, .[/tex]
  • Equacionando a situação, obtemos que [tex]\boxed{x+(x+2)+(x+4)+(x+6)+(x+8)=80}.[/tex]
  • Resolvendo a equação, segue que:
    [tex]\qquad x+(x+2)+(x+4)+(x+6)+(x+8)=80[/tex]
    [tex]\qquad 5x=80-20[/tex]
    [tex]\qquad 5x=60[/tex]
    [tex]\qquad x=12.[/tex]

Assim, os cinco números em questão são [tex]12, 14, 16, 18, 20.[/tex]

Bom, já deu para entender que o processo é realmente muito útil para quem está iniciando o estudo das equações. Mas existem problemas nos quais é informada a diferença em vez da soma dos dois números.
E como proceder nesse caso? Seria da mesma forma que na soma? A resposta é não! O processo é muito parecido e é tão divertido quanto o da soma. Vamos ver como funciona?

Situação 4


A diferença de dois números naturais é [tex]80[/tex] e um dos números é o triplo do outro. Calcule os dois números.

  • Como agora temos um problema que envolve a diferença entre os números procurados, em vez de colocarmos um quadrado inicial, colocamos um triângulo para nos lembrar que unidades serão distribuídas entre uma diferença de quadradinhos e não entre uma soma.

  • O número natural e o seu triplo serão representados por, respectivamente, "quadradinho" e "três quadradinhos" e o esquema para resolução fica assim:

  • Vamos distribuir [tex]80[/tex] unidades entre uma diferença de quadradinhos; assim, de [tex]3[/tex] quadradinhos subtraímos [tex]1[/tex], [tex]3-1=2, \, [/tex] e dividimos, então, as [tex]80[/tex] unidades entre [tex]2[/tex] quadradinhos, [tex]80 \div 2=40 \, [/tex].
    O resultado corresponde, portanto, ao valor de cada quadradinho.
  • Com a substituição das unidades em cada quadradinho, temos, então, o resultado final:


Os números procurados são [tex]40, 120.[/tex]

  • Digamos que um dos números é [tex]\fcolorbox{black}{#b8c7d9}{$x$}[/tex] e, o outro, [tex]\fcolorbox{black}{#b8c7d9}{$3x$}[/tex].
  • Equacionando o problema, segue que [tex]\boxed{3x-x=80} \, .[/tex]
  • Resolvendo a equação, temos que:
    [tex]\qquad 3x-x=80[/tex]
    [tex]\qquad 2x=80[/tex]
    [tex]\qquad x=40.[/tex]

Dessa forma, os números pedidos são [tex]40[/tex] e [tex]80[/tex].

E aí, outros probleminhas para treinar um pouco mais?

Situação 5


André, Bruno e Caio colecionam selos. Certo dia, os três se reuniram para cada um conhecer a coleção dos outros dois. Juntos, eles tinham [tex]257[/tex] selos; mas Bruno tinha três selos a mais do que André e Caio tinha quatorze selos a menos do dobro de selos de André. Quantos selos tinha cada um dos três rapazes?

  • Este é um problema que envolve soma de números; portanto utilizaremos um quadrado inicial para colocarmos os selos que serão distribuídos.

  • O número de selos de André será representado por um "quadradinho", já que essa quantidade é referência para a quantidade de selos dos demais. As quantidades de selos de Bruno e de Caio serão representadas, respectivamente, por "quadradinho mais [tex]3[/tex]" e "[tex]2[/tex] quadradinhos menos [tex]14[/tex]".
    Com isso o esquema para resolução fica assim:

  • Não podemos distribuir os [tex]257[/tex] selos entre os quatro quadradinhos do esquema; pois três selos já têm endereço certo e Caio não tem exatamente o dobro de selos que tem André (faltam-lhe [tex]14[/tex] selos para isso).
    Assim, para sabermos a quantidade de selos que iremos distribuir pelos quatro quadradinhos, de [tex]257[/tex] subtraímos os [tex]3[/tex] selos a mais de Bruno e somamos os [tex]14[/tex] selos que Caio deveria ter para completar os dois quadradinhos, [tex]257-3+14=268.[/tex] Dividimos, então, [tex]268[/tex] selos entre [tex]4[/tex] quadradinhos, [tex]268 \div 4=67.[/tex]
    Essa é a quantidade de selos correspondente a cada quadradinho.
  • Com a substituição dos [tex]67[/tex] selos em cada quadradinho, temos o resultado final:


Assim, a quantidade de selos que cada rapaz possui é:

  • André: [tex]67[/tex] selos; Bruno: [tex]70[/tex] selos e Caio: [tex]120[/tex] selos.

  • Suponhamos que André tenha [tex]\fcolorbox{black}{#b8c7d9}{$s$}[/tex] selos. Assim, Bruno tem [tex]\fcolorbox{black}{#b8c7d9}{$s+3$}[/tex] selos e, Caio, [tex]\fcolorbox{black}{#b8c7d9}{$2s-14$}[/tex] .
  • Equacionando o problema, segue que [tex]\boxed{s+(s+3)+(2s-14)=257} \, [/tex].
  • Resolvendo a equação, temos que:
    [tex]\qquad s+(s+3)+(2s-14)=257[/tex]
    [tex]\qquad 4s-11=257[/tex]
    [tex]\qquad 4s=268[/tex]
    [tex]\qquad s=67.[/tex]

Dessa forma, as quantidades de selos de André, Bruno e Caio são, respectivamente, [tex]67[/tex], [tex]70[/tex] e [tex]120[/tex].

Situação 6


Hoje, as idades de Rosa e de Júlia somam [tex]71[/tex] anos. Há oito anos, a idade de Rosa era quatro vezes a idade de Júlia. Atualmente, qual é a idade de cada uma delas?

  • Este é mais um problema que envolve soma de números; utilizaremos um quadrado inicial para colocarmos o número de anos que serão distribuídos: 71 anos.

  • A idade de Júlia há oito anos será representada por um "quadradinho", a idade de Rosa na mesma época será representada por "[tex]4[/tex] quadradinhos" já que a idade de Rosa há oito anos era quatro vezes maior do que a de Júlia. Assim, as idades atuais de Júlia e de Rosa serão representadas, respectivamente, por "quadradinho mais [tex]8[/tex]" e "[tex]4[/tex] quadradinhos mais [tex]8[/tex]". Dessa forma, o nosso esquema para a distribuição dos [tex]71[/tex] anos fica assim:

  • Os [tex]71[/tex] anos não podem ser distribuídos diretamente entre os cinco quadradinhos do esquema, pois [tex]16[/tex] dos [tex]71[/tex] anos já têm destino definido.
    Assim, a quantidade de anos que vamos distribuir pelos cinco quadradinhos será [tex]71-16=55[/tex] e, consequentemente, a cada quadradinho corresponderá [tex]55 \div 5=11.[/tex]
  • Com a substituição dos [tex]11[/tex] anos em cada quadradinho, finalizamos o problema.


Assim, a idade atual de Júlia é [tex]19[/tex] anos e, a de Rosa, [tex]52.[/tex]

  • Suponhamos que a idade de Júlia há oito anos era [tex]\fcolorbox{black}{#b8c7d9}{$x$}[/tex]; assim, a idade de Rosa há oito anos era [tex]\fcolorbox{black}{#b8c7d9}{$4x$}[/tex]. Dessa forma, hoje Júlia e Rosa têm, respectivamente, [tex]\fcolorbox{black}{#b8c7d9}{$x+8$}[/tex] e [tex]\fcolorbox{black}{#b8c7d9}{$4x+8$}[/tex].
  • Equacionando o problema, segue que [tex]\boxed{(x+8)+(4x+8)=71} \, [/tex].
  • Resolvendo a equação, temos que:
    [tex]\qquad (x+8)+(4x+8)=71[/tex]
    [tex]\qquad 5x+16=71[/tex]
    [tex]\qquad 5x=55[/tex]
    [tex]\qquad x=11.[/tex]

Dessa forma, atualmente Júlia e Rosa têm, respectivamente, [tex]19[/tex] anos e [tex]52[/tex] anos.

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Equipe COM – OBMEP

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