Trigonometria do triângulo retângulo – Oficina: Somas e diferenças

Quais os comprimentos dos segmentos [tex]AE[/tex], [tex]EC \, [/tex] e [tex]DE[/tex] ?

Qual a medida do ângulo definido pelo vértice [tex]C[/tex] ?

1) Cliquem aqui para abrir o applet. (O applet abrirá em uma janelinha no canto superior esquerdo.)
2) Aguardem o aplicativo carregar completamente.
3) Com esse applet, vocês poderão reproduzir passo a passo a construção que resulta em uma figura como a Figura 1. Para isso, depois que o applet carregar, cliquem em Construção e, a seguir, cliquem ordenadamente nos quadradinhos até completar a construção.
4) Cliquem, agora, em Perguntas.
5) A seguir, cliquem em cada uma das perguntas da Dica 1. Pelas respostas vocês podem concluir que a medida do ângulo definido pelo vértice [tex]C[/tex] é [tex]90^{\circ}-\alpha[/tex].
6) Ao terminar de utilizar o applet, não se esqueçam de fechar a janelinha que se abriu.

Utilizando a figura sugerida observamos que [tex] \, cos(\alpha-\beta )=\dfrac{x}{y}[/tex], assim
[tex]\qquad \qquad x=y \, cos(\alpha-\beta ). \qquad \qquad (i)[/tex]
Por outro lado, [tex]cos \, \alpha=\dfrac{x}{y \, cos \, \beta + sen \, \alpha}[/tex], donde
[tex]\qquad \qquad x=cos \, \alpha \, (y \, cos \, \beta + sen \, \alpha). \qquad \qquad (ii)[/tex]
Por [tex](i) \, [/tex] e [tex] \, (ii)[/tex],
[tex]\qquad \qquad y \, cos(\alpha-\beta ) = cos \, \alpha \, (y \, cos \, \beta +sen \, \alpha)[/tex],
logo
[tex]\qquad\qquad cos(\alpha-\beta ) = cos \, \alpha\cdot cos \, \beta + \dfrac{cos \, \alpha}{y} \, sen \, \alpha . \qquad \qquad (iii)[/tex]
Mas, [tex] \, sen \, \beta=\dfrac{cos \, \alpha}{y}[/tex], assim, por [tex](iii) \, [/tex], finalmente, temos que
[tex]\qquad\qquad cos(\alpha-\beta ) = cos \, \alpha\cdot cos \, \beta + sen \, \alpha\cdot sen \, \beta [/tex].

Quais os comprimentos dos segmentos [tex]AB[/tex], [tex]BD \, [/tex] e [tex]DC[/tex] ?

Vocês vão precisar de uma expressão diferente para [tex]cos \, \alpha[/tex].
Para isso, encontrem outro ângulo com medida [tex] \, \alpha[/tex] e determinem o comprimento do segmento EA.

1) Cliquem aqui para abrir o applet. (O applet abrirá em uma janelinha no canto superior esquerdo.)
2) Aguardem o aplicativo carregar completamente.
3) Com esse applet, vocês poderão reproduzir passo a passo a construção que resulta em uma figura como a Figura 2. Para isso, depois que o applet carregar, cliquem em Construção e, a seguir, cliquem ordenadamente nos quadradinhos até completar a construção.
4) Cliquem, agora, em Perguntas.
5) A seguir, cliquem em cada uma das perguntas da Dica 1.
6) Cliquem, finalmente, em [tex](iv)[/tex] para obter o segundo ângulo [tex]\alpha[/tex].
7) Ao terminar de utilizar o applet, não se esqueçam de fechar a janelinha que se abriu.

Observando a figura sugerida, temos que [tex] \, sen(\alpha-\beta )=\dfrac{x}{y}[/tex], logo
[tex]\qquad \qquad x=y \, sen(\alpha-\beta ). \qquad \qquad (i)[/tex]

Utilizando o triângulo [tex]DEC[/tex], podemos observar, também, que
[tex]cos \, \alpha=\dfrac{x}{sen \, \alpha-y \, sen \, \beta}[/tex], donde
[tex]\qquad \qquad x=cos \, \alpha \, (sen \, \alpha-y \, sen \, \beta). \qquad \qquad (ii)[/tex]
Por [tex](i) \, [/tex] e [tex] \, (ii)[/tex],
[tex]\qquad \qquad y \, sen(\alpha-\beta ) = cos \, \alpha \, (sen \, \alpha-y \, sen \, \beta)[/tex],
logo
[tex]\qquad\qquad sen(\alpha-\beta ) = \dfrac{cos \, \alpha}{y} \, sen \, \alpha-cos \, \alpha\cdot sen \, \beta. \qquad \qquad (iii)[/tex]
Mas, [tex] \, cos \, \beta=\dfrac{cos \, \alpha}{y}[/tex], assim, por [tex](iii) \, [/tex], finalmente, temos que [tex] \, sen(\alpha-\beta) = cos \, \beta\cdot sen \, \alpha-cos \, \alpha\cdot sen \, \beta [/tex], ou ainda,
[tex]\qquad \qquad \, sen(\alpha-\beta) = sen \, \alpha\cdot cos \, \beta-sen \, \beta\cdot cos \, \alpha[/tex].

Quais os comprimentos dos segmentos [tex]BC[/tex], [tex]CD \, [/tex] e [tex]ED[/tex] ?

Encontrem um ângulo com medida [tex] \, \alpha[/tex] e determinem o comprimento do segmento [tex]DA[/tex].

1) Cliquem aqui para abrir o applet. (O applet abrirá em uma janelinha no canto superior esquerdo.)
2) Aguardem o aplicativo carregar completamente.
3) Com esse applet, vocês poderão reproduzir passo a passo a construção que resulta em uma figura como a Figura 3. Para isso, depois que o applet carregar, cliquem em Construção e, a seguir, cliquem ordenadamente nos quadradinhos até completar a construção.
4) Cliquem, agora, em Perguntas.
5) A seguir, cliquem em cada uma das perguntas da Dica 1.
6) Cliquem, finalmente, em [tex](iv)[/tex] para obter o segundo ângulo [tex]\alpha[/tex].
7) Ao terminar de utilizar o applet, não se esqueçam de fechar a janelinha que se abriu.

Considere a próxima figura, resultante das Dicas 1 e 2.

Observando o triângulo [tex]ABC[/tex] podemos concluir que [tex] \, \, tg \, \alpha=\dfrac{cos \, \beta}{sen \, \beta+\dfrac{cos(\alpha +\beta)}{sen \, \alpha}}. \qquad\qquad (i)[/tex]

Como sabemos que [tex] \, \, tg \, \alpha=\dfrac{sen \, \alpha}{cos \, \alpha} [/tex], segue de [tex](i)[/tex] que [tex] \, \dfrac{sen \, \alpha}{cos \, \alpha}=\dfrac{cos \, \beta}{sen \, \beta+\dfrac{cos(\alpha +\beta)}{sen \, \alpha}} \, [/tex] e, então,
[tex]\qquad \, sen \, \alpha\left( sen \, \beta+\dfrac{cos(\alpha +\beta)}{sen \, \alpha}\right)=cos \, \alpha\cdot cos \, \beta[/tex]

[tex]\qquad \, sen \, \alpha\cdot sen \, \beta+cos(\alpha +\beta)=cos \, \alpha\cdot cos \, \beta[/tex]
[tex]\qquad \, cos(\alpha +\beta)=cos \, \alpha\cdot cos \, \beta-sen \, \alpha\cdot sen \, \beta[/tex].
Observação:
Para obter que a medida do ângulo [tex]BAC[/tex] é [tex]\alpha[/tex], chame essa medida de [tex]x[/tex] e a medida do ângulo [tex]EBD[/tex] de [tex]y[/tex].

Do triângulo [tex]ABC[/tex], temos, em graus, que [tex]x+y+\beta +90=180[/tex], assim:
[tex]\qquad\qquad x=90-y-\beta. \qquad\qquad(i)[/tex]
Do triângulo [tex]EBD[/tex] segue que
[tex]\qquad\qquad 90+y+(\alpha +\beta)=180. \qquad\qquad(ii)[/tex]
De [tex](ii)[/tex], temos [tex]y=90-(\alpha +\beta)[/tex]; assim, de [tex](i)[/tex], podemos concluir que
[tex]\qquad\qquad x=90-90+(\alpha +\beta)-\beta=\alpha[/tex].

Quais os comprimentos dos segmentos [tex]BE[/tex], [tex]DE \, [/tex] e [tex]BC[/tex] ?

Encontrem um ângulo com medida [tex] \, \alpha[/tex].
Qual o comprimento do segmento [tex]AE[/tex]?

1) Cliquem aqui para abrir o applet. (O applet abrirá em uma janelinha no canto superior esquerdo.)
2) Aguardem o aplicativo carregar completamente.
3) Com esse applet, vocês poderão reproduzir passo a passo a construção que resulta em uma figura como a Figura 4. Para isso, depois que o applet carregar, cliquem em Construção e, a seguir, cliquem ordenadamente nos quadradinhos até completar a construção.
4) Cliquem, agora, em Perguntas.
5) A seguir, cliquem em cada uma das perguntas da Dica 1.
6) Cliquem, finalmente, em [tex](iv)[/tex] e [tex](v)[/tex] para concluir a Dica 2.
7) Ao terminar de utilizar o applet, não se esqueçam de fechar a janelinha que se abriu.

Considere a figura abaixo.

Observando o triângulo [tex]ACB[/tex] podemos concluir que [tex] \, sen \, \alpha=\dfrac{sen(\alpha+\beta)}{cos \, \beta+\dfrac{sen \, \beta\cdot cos \, \alpha}{sen \, \alpha}}[/tex], donde
[tex]\qquad \qquad sen(\alpha+\beta)=sen \, \alpha\cdot cos \, \beta+sen \, \beta\cdot cos \, \alpha[/tex].
Observação:

Para obter que a medida do ângulo [tex]BAC[/tex] é [tex]\alpha[/tex], chame essa medida de [tex]x[/tex] e a medida do ângulo [tex]CBD[/tex] de [tex]y[/tex].

Do triângulo [tex]ABC[/tex], temos, em graus, que [tex]x+\beta +y+90=180[/tex], assim:
[tex]\qquad\qquad x=90-y-\beta. \qquad\qquad(i)[/tex]
Do triângulo [tex]BCD[/tex] segue que
[tex]\qquad\qquad y+90+(\alpha +\beta)=180. \qquad\qquad(ii)[/tex]
De [tex](ii)[/tex], temos [tex]y=90-(\alpha +\beta)[/tex]; assim, de [tex](i)[/tex], podemos concluir que
[tex]\qquad\qquad x=90-90+(\alpha +\beta)-\beta=\alpha[/tex].